Σύγκλιση υπό συνθήκη

Στα μαθηματικά, μια σειρά λέμε ότι συγκλίνει υπό συνθήκη (ή ότι είναι υπό συνθήκη συγκλίνουσα) αν συγκλίνει μεν, αλλά δεν συγκλίνει απολύτως.

Ορισμός

Πιο συγκεκριμένα, μια σειρά ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ λέμε ότι συγκλίνει υπό συνθήκη αν το όριο ${\textstyle \lim _{m\rightarrow \infty }\,\sum _{n=0}^{m}a_{n}}$ υπάρχει (ως ένας πεπερασμένος πραγματικός αριθμός, δηλ. όχι $\infty$ ή $-\infty$), αλλά ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|=\infty .}$

Ένα κλασικό παράδειγμα είναι η εναλλασσόμενη αρμονική σειρά$$1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\sum \limits _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1} \over n},$$ που συγκλίνει στο $\ln(2)$, αλλά δεν είναι απολύτως συγκλίνουσα (βλέπε Αρμονική σειρά).

Ο Μπέρναρντ Ρίμαν απέδειξε ότι μια υπό συνθήκη συγκλίνουσα σειρά μπορεί να αναδιαταχθεί ώστε να συγκλίνει σε οποιαδήποτε τιμή, συμπεριλαμβανομένων του $\infty$ ή του $-\infty$.

Δείτε επίσης

• Απόλυτη σύγκλιση

Αναφορές

• Walter Rudin, Αρχές Μαθηματικής Ανάλυσης (McGraw-Hill: Νέα Υόρκη, 1964).