Τανυστής

Tανυστής τάσεων του Κωσύ, ένας τανυστής 2ης τάξης. Οι συνιστώσες του, σε ένα τρισδιάστατο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, σχηματίζουν τον πίνακα
${\begin{aligned}\sigma &={\begin{bmatrix}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}$
του οποίου οι στήλες είναι οι τάσεις (δύναμη ανά μονάδα εμδαδού) που δρουν στις πλευρές του κύβου οι οποίες είναι κάθετες στα αντίστοιχα μοναδιαία διανύσματα e₁, e₂ και e₃

Oι τανυστές (αγγλ.: tensors) είναι γεωμετρικά αντικείμενα που μπορούν να θεωρηθούν ως γενικευμένα διανύσματα. Περιγράφουν γραμμικές σχέσεις ανάμεσα σε διανύσματα, βαθμωτά μεγέθη και άλλους τανυστές. Βασικά παραδείγματα τέτοιων σχέσεων περιλαμβάνουν το εσωτερικό γινόμενο, το εξωτερικό γινόμενο και γραμμικούς μετασχηματισμούς. Τα διανύσματα και τα βαθμωτά μεγέθη είναι επίσης τανυστές.

Οι τανυστές χρησιμοποιούνται για να αναπαραστήσουν αντιστοιχίες ανάμεσα σε σύνολα γεωμετρικών διανυσμάτων. Για παράδειγμα, ο τανυστής τάσεων Κωσύ T παίρνει τη διέυθυνση v σαν εισερχόμενα δεδομένα (input) και παράγει τις τάσεις T^(v) στην επιφάνεια κάθετα σε αυτό το διάνυσμα σαν εξερχόμενα δεδομένα (output), εκφράζοντας έτσι τη σχέση μεταξύ αυτών των δύο ειδών διανυσμάτων, όπως φαίνεται και στο σχήμα (δεξιά).

Ένας τανυστής μπορεί να απεικονιστεί σαν μία πολυδιάστατη διάταξη αριθμητικών τιμών. Η τάξη (ή βαθμός) ενός τανυστή είναι η διαστατικότητα της διάταξης που χρειάζεται για να τον απεικονίσει ή ισοδύναμα, ο αριθμός των δεικτών που χρειάζονται για να ονοματιστεί και να διαχωριστεί ένα στοιχείο αυτής της διάταξης. Για παράδειγμα, ένας γραμμικός μετασχηματισμός μπορεί να απεικονιστεί από ένα μητρώο (πίνακα) - μία δισδιάστατη διάταξη δηλαδή - και επομένως είναι τανυστής 2ης τάξης. Ένα διάνυσμα μπορεί να απεικονιστεί σαν μία μονοδιάστατη διάταξη (μητρώο μίας στήλης) και είναι τανυστής 1ης τάξης. Τα βαθμωτά μεγέθη είναι απλοί αριθμοί και συνεπώς τανυστές μηδενικής τάξης.

Επειδή εκφράζουν σχέση μεταξύ διανυσμάτων, οι ίδιοι οι τανυστές πρέπει να είναι ανεξάρτητοι της επιλογής ενός συγκεκριμένου συστήματος συντεταγμένων. Παίρνοντας ένα συστήμα συντεταγμένων αναφοράς και εφαρμόζοντας σε αυτό τον τανυστή, προκύπτει μία οργανωμένη πολυδιάστατη διάταξη που απεικονίζει τον τανυστή σε αυτό το σύστημα αναφοράς. Η ανεξαρτησία συστήματος συντεταγμένων ενός τανυστή παίρνει τότε τη μορφή ενός νόμου συναλλοίωτου μετασχηματισμού, που συσχετίζει τη διάταξη που υπολογίζεται στο ένα σύστημα με αυτήν που υπολογίζεται σε κάποιο άλλο. Αυτός ο μετασχηματισμός θωρείται ότι δημιουργείται μέσα στην ιδέα του τανυστή σε ένα γεωμετρικό ή φυσικό χώρο και η ακριβής μορφή του μετασχηματισμού προσδιορίζει τον τύπο (ή σθένος) του τανυστή.

Οι τανυστές είναι σημαντικοί στη φυσική επειδή παρέχουν ένα συνοπτικό μαθηματικό πλαίσιο για το σχηματισμό και την επίλυση φυσικών προβλημάτων, σε περιοχές όπως ελαστικότητα, ρευστομηχανική και γενική σχετικότητα. Οι τανυστές εισήχθηκαν για πρώτη φορά από τον Τούλιο Λέβι-Τσιβίτα και τον Γκρεγκόριο Ρίτσι-Κουρμπάστρο, οι οποίοι συνέχισαν το προγενέστερο έργο του Μπέρναρντ Ρίμαν και του Έλβιν Μπρούνο Κριστόφελ και υπολοίπων, σαν μέρος του απόλυτου διαφορικού λογισμού. Η σύλληψή τους επέτρεψε μια εναλλακτική διαμόρφωση της διαφορικής γεωμετρίας με φυσικές συντεταγμένες σαν πολλαπλότητα στη μορφή του τανυστή καμπυλότητας Ρίμαν.

Ιστορία

Οι ιδέες για την μεταγενέστερη τανυστική ανάλυση ξεκίνησαν από τη δουλειά του Καρλ Φρίντριχ Γκάους στη διαφορική γεωμετρία και ο σχηματισμός τους επηρεάστηκε κατά πολύ από την θεωρία αλγεβρικών μορφών και αναλλοίωτων που αναπτύχθηκε στο μέσο του 19ου αιώνα. Η λέξη "τανυστής" εισήχθηκε το 1846 από τον Ουίλιαμ Ρόουαν Χάμιλτον για να περιγράψει κάτι διαφορετικό από αυτό που σημαίνει τώρα. Η σύγχρονη χρήση ήρθε από τον Βόλντεμαρ Φόιγκτ το 1898.

Ο τανυστικός λογισμός αναπτύχθηκε γύρω στο 1890 από τον Γκρεγκόριο Ρίτσι-Κουρμπάστρο με την ονομασία απόλυτος διαφορικός λογισμός, και αρχικά παρουσιάστηκε από τον Ρίτσι το 1892. Έγινε προσιτός σε πολλούς μαθηματικούς με την δημοσίευση του Ρίτσι και του Τούλιο Λέβι-Τσιβίτα στο κλασικό κείμενο Μέθοδοι απόλυτου διαφορικού λογισμού και οι εφαρμογές τους.

Στον 20ο αιώνα, το αντικείμενο έγινε γνωστό σαν τανυστική ανάλυση και επιτεύχθηκε ευρύτερη αποδοχή με την εισαγωγή της γενική σχετικότητας του Άλμπερτ Αϊνστάιν, γύρω στο 1915. Η γενική σχετικότητα σχηματίστηκε ολοκληρωτικά στη γλώσσα των τανυστών. Ο Αϊνστάιν είχε μάθει γι αυτούς, με μεγάλη δυσκολία, από τον μαθηματικό γεωμετρίας Μαρσέλ Γκροσμάν. Ο Λέβι-Τσιβίτα ξεκίνησε τότε μια συνεργασία με τον Αϊνστάιν, για να διορθώσει τα λάθη που ο Αϊνστάιν είχε κάνει στη χρήση της τανυστικής του ανάλυσης. Η συνεργασία διήρκησε κατά τα χρόνια 1915–17 και χαρακτηριζόταν από αμοιβαίο σεβασμό:

"Θαυμάζω την κομψότητα της μεθόδου υπολογισμού σου. Πρέπει να είναι ωραίο να διασχίζεις αυτά τα πεδία πάνω στο άλογο των πραγματικών μαθηματικών, ενώ εμείς πρέπει να βγάλουμε το δρόμο κουραστικά με τα πόδια." Άλμπερτ Αϊνστάιν_{The Italian Mathematicians of Relativity}

Οι τανυστές επίσης φάνηκαν χρήσιμοι σε άλλα πεδία, όπως μηχανική συνεχούς μέσου (Continuum mechanics). Μερικά πολύ γνωστά παραδείγματα τανυστών στη διαφορική γεωμετρία είναι σε τετραγωνική μορφή, όπως οι μετρικοί τανυστές και ο τανυστής καμπυλότητας Ρίμαν. Η εξωτερική άλγεβρα του Χέρμαν Γκράσμαν, από τα μέσα του 19ου αιώνα, είναι η ίδια μια τανυστική θεωρία και εξαιρετικά γεωμετρική, αλλά πέρασε κάποιος χρόνος μέχρι να θεωρηθεί μαζί με τη θεωρία των διαφορικών μορφών, σαν φυσικά ενοποιημένη με τον τανυστικό λογισμό. Το έργο του Ελί Καρτάν έκανε τις διαφορικές μορφές από τα βασικά είδη τανυστών που χρησιμοποιούνται στα μαθηματικά.

Περίπου από το 1920 και μετά, συνειδητοποιήθηκε ότι οι τανυστές παίζουν βασικό ρόλο στην αλγεβρική τοπολογία (για παράδειγμα στο θεώρημα Κύνετ). Αντίστοιχα υπάρχουν τύποι τανυστών στο έργο πολλών κλάδων της αφηρημένης άλγεβρας, συγκεκριμένα στην ομολογική άλγεβρα και θεωρία απεικόνισης. Η πολυγραμμική άλγεβρα μπορεί να αναπτυχθεί σε μεγαλύτερη γενικότητα από τα βαθμωτά μεγέθη που προέρχονται από ένα πεδίο, αλλά η θεωρία είναι τότε σίγουρα λιγότερο γεωμετρική και οι υπολογισμοί περισσότερο τεχνικοί και λιγότερο αλγοριθμικοί. Οι τανυστές γενικεύονται μέσα στο θεώρημα κατηγορίας μέσω της έννοιας της μονοειδούς κατηγορίας, από τη δεκαετία του 1960.

Ορισμός

Υπάρχουν αρκετές προσεγγίσεις για να οριστούν οι τανυστές. Αν και φαινομενικά διαφορετικές, οι προσεγγίσεις απλώς περιγράφουν την ίδια γεωμετρική ιδεά χρησιμοποιώντας διαφορετικές γλώσσες και σε διαφορετικά επίπεδα σκέψης.

Ως πολυδιάστατες διατάξεις

Ακριβώς όπως ένα βαθμωτό πεδίο περιγράφεται από έναν μόνο αριθμό και ένα διάνυσμα σε σχέση με μία δεδομένη βάση περιγράφεται από μια μονοδιάστατη σειρά, έτσι και οποιοσδήποτε τανυστής σε σχέση με μία βάση περιγράφεται από μία πολυδιάστατη διάταξη. Τα νούμερα στη διάταξη είναι γνωστά ως βαθμωτές συνιστώσες του τανυστή ή απλά οι συνιστώσες του. Αυτές υποδηλώνονται από δείκτες που δείχνουν τη θέση τους στη διάταξη, σε άνω και κάτω δείκτες, μετά το συμβολικό όνομα του τανυστή. Ο συνολικός αριθμός των δεικτών που απαιτείται για να επιλογεί ξεχωριστά η κάθε συνιστώσα, είναι ίσος με τη διαστατικότητα της διάταξης και ονομάζεται τάξη ή βαθμός του τανυστή. Για παράδειγμα, τα στοιχεία που εισάγονται σε ένα τανυστή T 2ης τάξης θα υποδηλώνονται ως T_ij, όπου i και j είναι οι δείκτες από 1 μέχρι τη διάσταση του σχετικού διανυσματικού χώρου.

Ακριβώς όπως οι συνιστώσες ενός διανύσματος αλλάζουν όταν αλλάζει η βάση του διανυσματικού χώρου, τα στοιχεία που εισάγονται σε ένα τανυστή θα πρέπει επίσης να αλλάζουν κάτω από ένα τέτοιο μετασχηματισμό. Κάθε τανυστής είναι εφοδιασμένος με ένα νόμο μετασχηματισμού που προσδιορίζει επακριβώς πως οι συνιστώσες του τανυστή ανταποκρίνονται σε μία αλλαγή βάσης. Οι συνιστώσες ενός διανύσμαυτος μπορούν να ανταποκρίνονται με δύο χαρακτηριστικούς τρόπους σε μία αλλαγή βάσης (συναλλοίωτος και ανταλλοίωτος διανυσμάτων), όπου τα νέα διανύσματα βάσης $\mathbf {\hat {e}} _{i}$ εκφράζονται σε όρους των παλιών διανυσμάτων βάσης $\mathbf {e} _{j}$ σαν

$\mathbf {\hat {e}} _{i}=\sum _{j}R_{i}^{j}\mathbf {e} _{j}=R_{i}^{j}\mathbf {e} _{j},$

όπου R_i ^j είναι ένας πίνακας μετασχηματισμού, ενώ στη δεύτερη έκφραση το σύμβολο της πρόσθεσης παραλείπεται (μια βολική σύμβαση που εισήχθηκε από τον Αϊνστάιν που θα χρησιμοποιηθεί σε όλο αυτό το άρθρο). Οι συνιστώσες, vⁱ, ενός συνηθισμένου διανύσματος (ή διανύσματος στήλης) v, μετασχηματίζονται με τον αντίστροφο του πίνακα R,

${\hat {v}}^{i}=(R^{-1})_{j}^{i}v^{j},$

όπου το καπέλο δηλώνει τις συνιστώσες στη νέα βάση, ενώ οι συνιστώσες, w_i,ενός συν-διανύσματος(ή διάνυσμα σειράς), w μετασχηματίζεται με τον ίδιο τον πίνακα R,

${\hat {w}}_{i}=R_{i}^{j}w_{j}.$

Oι συνιστώσες ενός τανυστή μετασχηματίζονται με παρόμοιο τρόπο με ένα πίνακα μετασχηματισμού για κάθε δείκτη. Αν ένας δείκτης μετασχηματίζεται σαν ένα διάνυσμα με τον αντίστροφο του μετασχηματισμού βάσης, καλείται ανταλλοίωτος και συμβολίζεται παραδοσιακά με ένα πάνω δείκτη, ενώ ο δείκτης που μετασχηματίζεται με τον ίδιο το μετασχηματισμό βάσης καλείται συναλλοίωτος και συμβολίζεατι με ένα κάτω δείκτη. Ο νόμος μετασχηματισμού για ένα τανυστή τάξης m με n ανταλλοίωτους δείκτες και m−n συναλλοίωτους δείκτες, δίνεται συνεπώς σαν,

${\hat {T}}_{i_{n+1},\ldots ,i_{m}}^{i_{1},\ldots ,i_{n}}=(R^{-1})_{j_{1}}^{i_{1}}\cdots (R^{-1})_{j_{n}}^{i_{n}}R_{i_{n+1}}^{j_{n+1}}\cdots R_{i_{m}}^{j_{m}}T_{j_{n+1},\ldots ,j_{m}}^{j_{1},\ldots ,j_{n}}.$

Ένας τέτοιος τανυστής τάξης ή τύπου (n,m−n) Αυτή η συζήτηση έχει ως αποτέλεσμα τη δημιουργία του ακόλουθου επίσημου ορισμού:

Ορισμός : Ένας τανυστής τύπου (n, m−n) είναι το σύνολο μιας πολυσδιάστατης διάταξης

$T_{i_{n+1}\dots i_{m}}^{i_{1}\dots i_{n}}[\mathbf {f} ]$

σε κάθε βάση f = (e₁,...,e_N) τέτοια ώστε, αν εφαρμόσουμε την αλλαγή βάσης

$\mathbf {f} \mapsto \mathbf {f} \cdot R=\left(R_{1}^{i}\mathbf {e} _{i},\dots ,R_{N}^{i}\mathbf {e} _{i}\right)$

τότε η πολυδιάστατη διάταξη υπακούει στο νόμο μετασχηματισμού

$T_{i_{n+1}\dots i_{m}}^{i_{1}\dots i_{n}}[\mathbf {f} \cdot R]=(R^{-1})_{j_{1}}^{i_{1}}\cdots (R^{-1})_{j_{n}}^{i_{n}}R_{i_{n+1}}^{j_{n+1}}\cdots R_{i_{m}}^{j_{m}}T_{j_{n+1},\ldots ,j_{m}}^{j_{1},\ldots ,j_{n}}[\mathbf {f} ].$

Ο ορισμός ενός τανυστή σαν πολυδιάστατη διάταξη που ικανοποιεί ένα νόμο μετασχηματισμού, βρίκεται στην εργασία του Ricci κατά το παρελθόν. Στις μέρες μας, αυτός ο ορισμός ακόμα χρησιμοποιείται σε μερικά βιβλία φυσικής και μηχανικής.