Ταξινόμηση πεπερασμένων απλών ομάδων

θεωρίας ομάδων - Απεικόνιση μιας κυκλικής ομάδας με 6 στοιχεία

Στα μαθηματικά, η ταξινόμηση των πεπερασμένων απλών ομάδων (ευρέως αποκαλούμενη ως το τεράστιο θεώρημα) είναι ένα αποτέλεσμα της θεωρίας ομάδων που δηλώνει ότι κάθε πεπερασμένη απλή ομάδα είναι είτε κυκλική, είτε εναλλασσόμενη, είτε ανήκει σε μια ευρεία άπειρη τάξη που ονομάζεται ομάδες τύπου Λι, είτε είναι μια από τις είκοσι έξι εξαιρέσεις, που ονομάζονται σποραδικές (η ομάδα Τιτς θεωρείται μερικές φορές ως σποραδική ομάδα επειδή δεν είναι αυστηρά μια ομάδα τύπου Λι, οπότε θα υπήρχαν 27 σποραδικές ομάδες). Η απόδειξη αποτελείται από δεκάδες χιλιάδες σελίδες σε αρκετές εκατοντάδες άρθρα περιοδικών γραμμένα από περίπου 100 συγγραφείς, που δημοσιεύτηκαν κυρίως μεταξύ 1955 και 2004.

Οι απλές ομάδες μπορούν να θεωρηθούν ως τα βασικά δομικά στοιχεία όλων των πεπερασμένων ομάδων, θυμίζοντας τον τρόπο με τον οποίο οι πρώτοι αριθμοί είναι τα βασικά δομικά στοιχεία των φυσικών αριθμών. Το θεώρημα Τζόρνταν-Χόλντερ είναι ένας πιο ακριβής τρόπος να δηλωθεί αυτό το γεγονός για τις πεπερασμένες ομάδες. Ωστόσο, μια σημαντική διαφορά από την παραγοντοποίηση ακέραιων αριθμών είναι ότι αυτά τα "δομικά στοιχεία" δεν καθορίζουν απαραίτητα μια μοναδική ομάδα, καθώς μπορεί να υπάρχουν πολλές μη ισομορφικές ομάδες με την ίδια σειρά σύνθεσης ή, με άλλα λόγια, το πρόβλημα της επέκτασης δεν έχει μοναδική λύση.

Οι Ντάνιελ Γκόρενσταϊν (1923-1992), Ρίτσαρντ Λάιονς και Ρόναλντ Σόλομον δημοσιεύουν σταδιακά μια απλουστευμένη και αναθεωρημένη έκδοση της απόδειξης.

Δήλωση του θεωρήματος ταξινόμησης

Κάθε πεπερασμένη απλή ομάδα είναι ισόμορφη με μία από τις ακόλουθες ομάδες:

• μέλος μιας από τις τέσσερις άπειρες τάξεις αυτών, δηλαδή:
  • οι κυκλικές ομάδες πρώτης τάξης,
  • οι εναλλάσσουσες ομάδες βαθμού τουλάχιστον 5,
  • οι ομάδες τύπου Λι,
  • η παράγωγη υποομάδα των ομάδων τύπου Λι, όπως η ομάδα Τιτς.
• ή μία από τις 26 ομάδες που ονομάζονται σποραδικές ομάδες

Η ταξινόμηση των πεπερασμένων απλών ομάδων

Το θεώρημα ταξινόμησης εφαρμόζεται σε πολλούς κλάδους των μαθηματικών, καθώς ερωτήματα σχετικά με τη δομή πεπερασμένων ομάδων (και τη δράση τους σε άλλα μαθηματικά αντικείμενα) μπορούν μερικές φορές να αναχθούν σε ερωτήματα σχετικά με πεπερασμένες απλές ομάδες. Χάρη στο θεώρημα ταξινόμησης, τέτοιες ερωτήσεις μπορούν μερικές φορές να απαντηθούν με τον έλεγχο κάθε οικογένειας απλών ομάδων και κάθε σποραδικής ομάδας.

Ο Ντάνιελ Γκορενστάιν ανακοίνωσε το 1983 ότι όλες οι πεπερασμένες απλές ομάδες είχαν ταξινομηθεί, αλλά αυτό ήταν πρόωρο, καθώς είχε παραπληροφορηθεί σχετικά με την απόδειξη της ταξινόμησης των οιονεί ομάδων. Η ολοκληρωμένη απόδειξη της ταξινόμησης ανακοινώθηκε από τον Άσμπαχερ (2004), αφού οι Άσμπαχερ και Σμιθ δημοσίευσαν μια απόδειξη 1221 σελίδων για την περίπτωση των quasithin που έλειπαν.

Επισκόπηση της απόδειξης του θεωρήματος ταξινόμησης

Ο Γκόρενσταϊν (1982, 1983) έγραψε δύο τόμους περιγράφοντας το μέρος της απόδειξης που αφορά το χαμηλόβαθμο και περιττό χαρακτηριστικό και οι Μάικλ Άσμπαχερ, Ρίτσαρντ Λάιονς και Στίβεν Ν. Σμιθ κ.ά. (2011) έγραψαν έναν 3ο τόμο που καλύπτει την υπόλοιπη περίπτωση του χαρακτηριστικού 2. Η απόδειξη μπορεί να χωριστεί σε διάφορα σημαντικά κομμάτια ως εξής:

Ομάδες χαμηλού βαθμού 2

Οι απλές ομάδες χαμηλού 2ου βαθμού είναι κυρίως ομάδες τύπου Λι μικρού βαθμού πάνω σε πεδία περιττών χαρακτηριστικών, μαζί με πέντε εναλλάσσουσες και επτά χαρακτηριστικές 2ου τύπου και εννέα σποραδικές ομάδες.

Οι απλές ομάδες χαμηλού βαθμού 2 περιλαμβάνουν:

• Ομάδες 2ου βαθμού 0, δηλαδή ομάδες περιττού βαθμού, οι οποίες είναι επιλύσιμες με το θεώρημα Φάιτ-Τόμσον.
• Ομάδες 2ου βαθμού 1. Οι υποομάδες Συλόου 2 είναι είτε κυκλικές, οι οποίες είναι εύκολο να αντιμετωπιστούν με τη χρήση του χάρτη μεταβίβασης, είτε γενικευμένες τεταρτοταγείς, οι οποίες αντιμετωπίζονται με το θεώρημα Μπράουερ - Σουζούκι: ειδικότερα δεν υπάρχουν απλές ομάδες 2 βαθμού 1 εκτός από την κυκλική ομάδα βαθμού δύο.
• Ομάδες 2ου βαθμού 2. Ο Αλπερίν έδειξε ότι η υποομάδα Συλόου πρέπει να είναι δίεδρη, οιονεί δίεδρη, περιτυλιγμένη ή υποομάδα Συλόου 2 U₃(4). Η πρώτη περίπτωση υλοποιήθηκε με το θεώρημα Γκόρενσταϊν-Γουόλτερ που απέδειξε ότι οι μόνες απλές ομάδες είναι ισομορφικές με την L₂(q) για q μονό ή A₇, η δεύτερη και η τρίτη περίπτωση πραγματοποιήθηκαν με το θεώρημα Άλπεριν-Μπράουερ-Γκόρενσταϊν που συνεπάγεται ότι οι μόνες απλές ομάδες είναι ισομορφικές με την L₃(q) ή την U₃(q) για q μονό ή M₁₁, και η τελευταία περίπτωση έγινε από τον Λάιονς που έδειξε ότι η U₃(4) είναι η μόνη απλή δυνατότητα.
• Ομάδες τμηματικού 2 βαθμού το πολύ 4, ταξινομημένες με το θεώρημα Γκόρενσταϊν-Χαράντα.

Η ταξινόμηση των ομάδων μικρου βαθμού 2, ειδικά το πολύ 2, κάνει μεγάλη χρήση της συνήθους και της μοδιακής θεωρίας χαρακτήρων, η οποία σχεδόν ποτέ δεν χρησιμοποιείται άμεσα αλλού στην ταξινόμηση.

Όλες οι ομάδες που δεν είναι χαμηλού βαθμού 2 μπορούν να χωριστούν σε δύο μεγάλες κατηγορίες: ομάδες τύπου συνιστωσών και ομάδες τύπου χαρακτηριστικών 2. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι αν μια ομάδα έχει τμηματικό 2 βαθμού τουλάχιστον 5 τότε ο ΜακΓουίλιαμς έδειξε ότι οι υποομάδες Sylow 2 της είναι συνδεδεμένες, και το θεώρημα ισορροπίας συνεπάγεται ότι κάθε απλή ομάδα με συνδεδεμένες υποομάδες Συλόου 2 είναι είτε συστατικού τύπου είτε χαρακτηριστικού 2 τύπου. (Για ομάδες χαμηλού βαθμού 2 η απόδειξη αυτού καταρρέει, επειδή θεωρήματα όπως το θεώρημα του συναρτησιακού σήματος λειτουργούν μόνο για ομάδες με στοιχειώδεις αβελιανές υποομάδες βαθμού τουλάχιστον 3).

Ομάδες τύπου συνιστώσας

Μια ομάδα λέγεται ότι είναι τύπου συνιστώσας αν για κάποιο συγκεντρωτή C μιας εκτροπής, η C/O(C) έχει μια συνιστώσα (όπου O(C) είναι ο πυρήνας της C, η μέγιστη κανονική υποομάδα περιττής τάξης). Αυτές είναι λίγο-πολύ οι ομάδες τύπου Λι περιττού χαρακτηριστικού μεγάλου βαθμού και οι εναλλασσόμενες ομάδες, μαζί με κάποιες σποραδικές ομάδες. Ένα σημαντικό βήμα σε αυτή την περίπτωση είναι να εξαλειφθεί το εμπόδιο του πυρήνα μιας εκτροπής. Αυτό επιτυγχάνεται με το θεώρημα Β, το οποίο δηλώνει ότι κάθε συνιστώσα της C/O'(C) είναι η εικόνα μιας συνιστώσας της C.

Η ιδέα είναι ότι αυτές οι ομάδες έχουν έναν συγκεντρωτή μιας εκτροπής με μια συνιστώσα που είναι μια μικρότερη οιονεί απλή ομάδα, η οποία μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι ήδη γνωστή με επαγωγή. Έτσι, για να ταξινομήσουμε αυτές τις ομάδες παίρνουμε κάθε κεντρική επέκταση κάθε γνωστής πεπερασμένης απλής ομάδας και βρίσκουμε όλες τις απλές ομάδες με έναν κεντροποιητή της αναδίπλωσης με αυτή ως συνιστώσα. Αυτό δίνει έναν αρκετά μεγάλο αριθμό διαφορετικών περιπτώσεων προς έλεγχο: δεν υπάρχουν μόνο 26 σποραδικές ομάδες και 16 οικογένειες ομάδων τύπου Λι και οι εναλλασσόμενες ομάδες, αλλά και πολλές από τις ομάδες μικρού βαθμού ή επί μικρών πεδίων συμπεριφέρονται διαφορετικά από τη γενική περίπτωση και πρέπει να αντιμετωπιστούν ξεχωριστά, και οι ομάδες τύπου Λι ζυγού και περιττού χαρακτηριστικού είναι επίσης αρκετά διαφορετικές.

Ομάδες χαρακτηριστικού τύπου 2

Μια ομάδα είναι χαρακτηριστικού τύπου 2 αν η γενικευμένη υποομάδα F*(Y) κάθε 2-τοπικής υποομάδας Y είναι μια 2-ομάδα. Όπως υποδηλώνει το όνομα, αυτές είναι περίπου οι ομάδες τύπου Λιπάνω σε πεδία χαρακτηριστικής 2, συν μια χούφτα άλλες που είναι εναλλασσόμενες ή σποραδικές ή περιττής χαρακτηριστικής. Η ταξινόμησή τους χωρίζεται στις περιπτώσεις μικρού και μεγάλου βαθμού, όπου ο βαθμός είναι ο μεγαλύτερος βαθμός μιας περιττής αβελιανής υποομάδας που κανονικοποιεί μια μη τετριμμένη 2-υποομάδα, ο οποίος συχνά (αλλά όχι πάντα) είναι ο ίδιος με τον βαθμό μιας υποάλγεβρας Καρτάν όταν η ομάδα είναι μια ομάδα τύπου ΛΙ σε χαρακτηριστική 2.

Οι ομάδες 1ης τάξης είναι οι λεπτές ομάδες, που ταξινομήθηκαν από τον Άσμπαχερ, και οι ομάδες 2ης τάξης είναι οι περιβόητες οιονεί λεπτές ομάδες, που ταξινομήθηκαν από τους Άσμπαχερ και Σμιθ. Αυτές αντιστοιχούν χονδρικά σε ομάδες τύπου Λι βαθμών 1 ή 2 πάνω σε πεδία χαρακτηριστικής 2.

Οι ομάδες βαθμού τουλάχιστον 3 υποδιαιρούνται περαιτέρω σε 3 κατηγορίες με το θεώρημα της τριχοτομίας, που αποδείχθηκε από τον Άσμπαχερ για βαθμό 3 και από τους Γκορένσταϊν και Λάιονς για βαθμό τουλάχιστον 4. Οι τρεις αυτές κατηγορίες είναι ομάδες τύπου GF(2) (ταξινομημένες κυρίως από τον Τίμεσφελντ), ομάδες «τυπικού τύπου» για κάποιο μονό αριθμό πρώτων (ταξινομημένες από το θεώρημα Γκίλμαν-Γκρις και εργασίες πολλών άλλων) και ομάδες τύπου μοναδικότητας, όπου ένα αποτέλεσμα του Άσμπαχερ συνεπάγεται ότι δεν υπάρχουν απλές ομάδες. Η γενική περίπτωση υψηλότερου βαθμού αποτελείται κυρίως από τις ομάδες τύπου Λι πάνω σε πεδία χαρακτηριστικής 2 βαθμού τουλάχιστον 3 ή 4.

Ύπαρξη και μοναδικότητα των απλών ομάδων

Το κύριο μέρος της ταξινόμησης παράγει έναν χαρακτηρισμό κάθε απλής ομάδας. Στη συνέχεια είναι απαραίτητο να ελεγχθεί ότι υπάρχει μια απλή ομάδα για κάθε χαρακτηρισμό και ότι είναι μοναδική. Αυτό δίνει έναν μεγάλο αριθμό ξεχωριστών προβλημάτων- για παράδειγμα, οι αρχικές αποδείξεις της ύπαρξης και της μοναδικότητας της ομάδας τέρας ανέρχονταν συνολικά σε περίπου 200 σελίδες, και ο προσδιορισμός των ομάδων Ρι από τους Τόμσον και Μπομπιέρι ήταν ένα από τα δυσκολότερα μέρη της ταξινόμησης. Πολλές από τις αποδείξεις ύπαρξης και ορισμένες από τις αποδείξεις μοναδικότητας για τις σποραδικές ομάδες χρησιμοποιούσαν αρχικά υπολογισμούς σε υπολογιστή, οι περισσότεροι από τους οποίους έχουν έκτοτε αντικατασταθεί από συντομότερες αποδείξεις με το χέρι.

Ιστορία της απόδειξης

Το πρόγραμμα του Γκορενστάιν

Το 1972 o Γκόρενσταϊν (Gorenstein (1979, Appendix) ανακοίνωσε ένα πρόγραμμα για την ολοκλήρωση της ταξινόμησης των πεπερασμένων απλών ομάδων, το οποίο αποτελείται από τα ακόλουθα 16 βήματα:

1. Ομάδες χαμηλού βαθμού 2. Αυτό ουσιαστικά έγινε από τους Γκόρενσταϊν και Χαράντα, οι οποίοι ταξινόμησαν τις ομάδες με τμηματική βαθμού 2 το πολύ 4. Οι περισσότερες από τις περιπτώσεις με 2-βαθμου το πολύ 2 είχαν γίνει μέχρι τη στιγμή που ο Γκόρενσταϊν ανακοίνωσε το πρόγραμμά του.
2. Η ημι-απλότητα των 2 στρωμάτων. Το πρόβλημα είναι να αποδειχθεί ότι το 2-στρώμα του συγκεντρωτή μιας εκτροπής σε μια απλή ομάδα είναι ημι-απλή.
3. Τυπική μορφή σε περιττή χαρακτηριστική. Αν μια ομάδα έχει μια εμπλοκή με 2-συνιστώσα που είναι μια ομάδα τύπου Λι σε περιττή χαρακτηριστική, ο στόχος είναι να δείξουμε ότι έχει έναν συγκεντρωτή της εμπλοκής σε "τυπική μορφή" που σημαίνει ότι ένας συγκεντρωτής της εμπλοκής έχει μια συνιστώσα που είναι τύπου Λι σε περιττή χαρακτηριστική και έχει επίσης έναν συγκεντρωτή 2 βαθμού 1.
4. Ταξινόμηση ομάδων περιττού τύπου. Το πρόβλημα είναι να δείξουμε ότι αν μια ομάδα έχει έναν συγκεντρωτή εκτροπής σε "τυπική μορφή" τότε είναι μια ομάδα τύπου Λι περιττής χαρακτηριστικής. Αυτό επιλύθηκε με το κλασικό θεώρημα της αναδίπλωσης του Άσμπαχερ.
5. Οιονεί τυπική μορφή
6. Κεντρική ενέλιξη
7. Ταξινόμηση των εναλλασσόμενων ομάδων.
8. Μερικές σποραδικές ομάδες
9. Λεπτές ομάδες. Οι απλές λεπτές πεπερασμένες ομάδες, εκείνες με 2-τοπικό p-βαθμό το πολύ 1 για περιττούς πρώτους p, ταξινομήθηκαν από τον Άσμπαχερ το 1978
10. Ομάδες με έντονα ενσωματωμένη υποομάδα p για p περιττό
11. Η μέθοδος του signalizer συναρτητή για περιττούς πρώτους αριθμούς. Το κύριο πρόβλημα είναι να αποδειχθεί ένα θεώρημα συναρτητή signalizer για μη επιλύσιμους συναρτητές signalizer
12. Ομάδες χαρακτηριστικού τύπου p. Αυτό είναι το πρόβλημα των ομάδων με μια έντονα p-ενσωματωμένη 2-τοπική υποομάδα με p περιττό, το οποίο αντιμετωπίστηκε από τον Άσμπαχερ.
13. Ομάδες Quasithin. Μια quasithin ομάδα είναι μια ομάδα της οποίας οι 2-τοπικές υποομάδες έχουν p-βαθμού το πολύ 2 για όλους τους περιττούς πρώτους p, και το πρόβλημα είναι να ταξινομήσουμε τις απλές ομάδες χαρακτηριστικού 2 τύπου. Αυτό ολοκληρώθηκε από τους Ασκμπάχερ και Σμιθ. το 2004.
14. Ομάδες χαμηλού 2 τοπικού 3 βαθμού. Αυτό ουσιαστικά λύθηκε από το θεώρημα τριχοτομίας του Άσμπαχερ για ομάδες με e(G)=3. Η κύρια αλλαγή είναι ότι το 2-τοπικό 3-βαθμού αντικαθίσταται από το 2-τοπικό p-βαθμού για περιττούς πρώτους αριθμούς.
15. Κεντροποιητές των 3-στοιχείων σε τυπική μορφή. Αυτό έγινε ουσιαστικά από το θεώρημα της Τριχοτομίας.
16. Ταξινόμηση των απλών ομάδων χαρακτηριστικού τύπου 2. Αυτό έγινε με το θεώρημα Γκίλμαν-Γκρις, με τα 3-στοιχεία να αντικαθίστανται από p-στοιχεία για περιττούς πρώτους αριθμούς.

Μια ταξινόμηση δεύτερης γενιάς

Καθώς επικρίθηκε για την υπερβολική έκταση της απόδειξης ταξινόμησης για πεπερασμένες απλές ομάδες, κάποιες αποκαλούμενες "αναθεωρητικές" εργασίες, αρχικά με επικεφαλής τον Ντάνιελ Γκόρενστεϊν, αναζήτησαν μια απλούστερη απόδειξη. Η προσέγγιση αυτή έγινε γνωστή ως "απόδειξη ταξινόμησης δεύτερης γενιάς".

Έξι τόμοι εκδόθηκαν μέχρι το 2005, ενώ υπάρχουν χειρόγραφα των περισσότερων από τις υπόλοιπες αποδείξεις. Οι δύο τόμοι των Άσμπαχερ και Σμιθ γράφτηκαν με σκοπό να παρέχουν μια απόδειξη για την οιονεί λεπτή περίπτωση που θα λειτουργούσε τόσο για την απόδειξη πρώτης όσο και για την απόδειξη δεύτερης γενιάς. Έχει υπολογιστεί ότι η νέα απόδειξη θα έχει έκταση περίπου 5.000 σελίδων όταν ολοκληρωθεί. Οι νέες αποδείξεις έχουν γραφτεί σε πιο μακροσκελές ύφος.

Ο Γκόρενσταϊν και οι συνεργάτες του έδωσαν διάφορα επιχειρήματα για την ύπαρξη μιας απλούστερης απόδειξης. Το πιο σημαντικό είναι ότι η τελική και σωστή πρόταση είναι πλέον γνωστή, οπότε τα ενδιάμεσα αποτελέσματα χρειάζεται να είναι εφαρμόσιμα μόνο στις ομάδες που γνωρίζουμε για να είναι ολοκληρωμένα. Από την άλλη πλευρά, κατά την αρχική διαδικασία απόδειξης του θεωρήματος ταξινόμησης, καθώς κανείς δεν γνώριζε πόσες σποραδικές ομάδες υπήρχαν, ενώ ορισμένες (για παράδειγμα, οι ομάδες Γιάνκο) είχαν ανακαλυφθεί μόνο κατά τη διαδικασία εκπόνησης της απόδειξης, ήταν απαραίτητο να εφαρμοστούν οι πιο γενικές τεχνικές.

Από την άλλη πλευρά, καθώς το τελικό αποτέλεσμα και η διατύπωσή του ήταν άγνωστα εξ αρχής και για μεγάλο χρονικό διάστημα, η απόδειξη πρώτης γενιάς ήταν το σύνολο των πλήρων και ξεχωριστών θεωρημάτων, ταξινομώντας σημαντικές υποπεριπτώσεις. Συνεπώς, το μεγαλύτερο μέρος της αρχικής εργασίας αφιερώθηκε στην ανάλυση πολυάριθμων ειδικών περιπτώσεων. Ως στοιχεία μιας ευρύτερης απόδειξης, πολλές από αυτές τις ειδικές περιπτώσεις μπορούσαν να τεθούν σε αναμονή μέχρι να μπορέσουν να τις περιλάβουν ισχυρότερες προτάσεις. Αυτή η αναθεώρηση έχει ένα τίμημα, το οποίο είναι ότι τα θεωρήματα πρώτης γενιάς εξαρτώνται από την πλήρη ταξινόμηση, με αποτέλεσμα να χάνεται η σύντομη απόδειξή τους.

Επιπλέον, πολλά από τα θεωρήματα πρώτης γενιάς επικαλύπτονταν, διαιρώντας τις πιθανές περιπτώσεις υπο-βέλτιστα. Η αναθεωρημένη απόδειξη, από την άλλη πλευρά, στοχεύει στη σύνδεση των διαφόρων αναλύσεων περιπτώσεων, προκειμένου να εξαλειφθούν οι πλεονασμοί.

Τέλος, οι θεωρητικοί πεπερασμένων ομάδων έχουν αποκτήσει εμπειρία και ανέπτυξαν πιο αποτελεσματικές τεχνικές.

Χρονολόγιο και βασικά γεγονότα

• Αρχές της δεκαετίας του 1950

Αρχικό ενδιαφέρον: Ο τομέας της θεωρίας πεπερασμένων ομάδων δεν αποτελούσε σημαντικό πεδίο έρευνας, προσελκύοντας αρχικά μόνο λίγους μαθηματικούς.

• Τέλη της δεκαετίας του 1950'

Ανάδυση βασικών ιδεών: Στο τέλος της δεκαετίας, μια μικρή ομάδα μαθηματικών άρχισε να ενδιαφέρεται για τη θεωρία πεπερασμένων ομάδων, αναπτύσσοντας νέες τεχνικές και δημοσιεύοντας προκαταρκτικά αποτελέσματα.

• 1960-1961

Έτος της θεωρίας ομάδων στο Σικάγο: Το πρόγραμμα αυτό σηματοδότησε μια σημαντική περίοδο κατά την οποία καθιερώθηκαν οι συνεργατικές προσπάθειες και οι θεμελιώδεις μεθοδολογίες που θα καθόριζαν τις μεταγενέστερες εργασίες ταξινόμησης

• Αρχές της δεκαετίας του 1960

Τυπικοποίηση του προγράμματος ταξινόμησης: Μια συνεκτική κοινότητα θεωρητικών πεπερασμένων ομάδων αναδύεται, σηματοδοτώντας την έναρξη των επίσημων προσπαθειών ταξινόμησης.

• 1972

Ηγεσία του Ντάνιελ Γκόρενσταϊν, ο οποίος επισημοποίησε τον οδικό χάρτη για τη διαδικασία ταξινόμησης, προωθώντας σημαντικά το έργο.

• 1973

Κρίσιμες συνεισφορές από τον Μάικλ Άσμπαχερ, ο οποίος άρχισε να αποδεικνύει ουσιώδη αποτελέσματα, συμβάλλοντας σημαντικά στη δυναμική του έργου.

• 1981

Ανακοινώνεται η προκαταρκτική ολοκλήρωση: Ο Ντάνιελ Γκόρενσταϊν ανακοινώνει ότι η ταξινόμηση έχει ουσιαστικά ολοκληρωθεί, αν και πολλές αποδείξεις είναι ακόμα σε προτυπωμένη μορφή και απρόσιτες στην ευρύτερη κοινότητα.

• 1982

Πρόταση αναθεώρησης από τον Γκόρενσταϊν: Ο Ντάνιελ Γκόρενσταϊν προτείνει την ανάγκη για μια "απόδειξη δεύτερης γενιάς" για να διορθωθούν τα λάθη και να γίνει η απόδειξη πιο προσιτή και πλήρης.

• 1994

Δημοσίευση του πρώτου βιβλίου της σειράς αναθεωρήσεων: Δημοσιεύεται το πρώτο βιβλίο για την αναθεώρηση και την ενοποίηση των αποδείξεων ταξινόμησης, δύο χρόνια μετά το θάνατο του Γκόρενσταϊν.

• 2005

Τελευταία έκδοση της σειράς: Δημοσιεύθηκε το τελευταίο βιβλίο της σειράς αναθεωρημένων αποδείξεων, σηματοδοτώντας ένα σημαντικό ορόσημο στη συνεχιζόμενη προσπάθεια ενοποίησης και αποσαφήνισης της ταξινόμησης.

Διάρκεια της απόδειξης

Ο Γκόρενσταϊν συζήτησε μερικούς από τους λόγους για τους οποίους δεν μπορεί να υπάρξει μια σύντομη απόδειξη της ταξινόμησης παρόμοια με την ταξινόμηση των συμπαγών ομάδων Λι.

• Ο πιο προφανής λόγος είναι ότι ο κατάλογος των απλών ομάδων είναι αρκετά περίπλοκος: με 26 σποραδικές ομάδες είναι πιθανό να υπάρχουν πολλές ειδικές περιπτώσεις που πρέπει να εξεταστούν σε οποιαδήποτε απόδειξη. Μέχρι στιγμής κανείς δεν έχει βρει ακόμη μια καθαρή ομοιόμορφη περιγραφή των πεπερασμένων απλών ομάδων παρόμοια με την παραμετροποίηση των συμπαγών ομάδων Λι με διαγράμματα Ντάινκιν.
• Ο Ατίγια και άλλοι έχουν προτείνει ότι η ταξινόμηση θα έπρεπε να απλοποιηθεί με την κατασκευή κάποιου γεωμετρικού αντικειμένου στο οποίο δρουν οι ομάδες και στη συνέχεια με την ταξινόμηση αυτών των γεωμετρικών δομών. Το πρόβλημα είναι ότι κανείς δεν μπόρεσε να προτείνει έναν εύκολο τρόπο για την εύρεση μιας τέτοιας γεωμετρικής δομής που σχετίζεται με μια απλή ομάδα. Κατά κάποια έννοια, η ταξινόμηση λειτουργεί με την εύρεση γεωμετρικών δομών όπως τα ζεύγη BN, αλλά αυτό έρχεται μόνο στο τέλος μιας πολύ μακράς και δύσκολης ανάλυσης της δομής μιας πεπερασμένης απλής ομάδας.
• Μια άλλη πρόταση για την απλούστευση της απόδειξης είναι η μεγαλύτερη χρήση της θεωρίας αναπαράστασης. Το πρόβλημα εδώ είναι ότι η θεωρία αναπαράστασης φαίνεται να απαιτεί πολύ αυστηρό έλεγχο των υποομάδων μιας ομάδας για να λειτουργήσει καλά. Για ομάδες μικρού βαθμού, κάποιος έχει τέτοιο έλεγχο και η θεωρία αναπαράστασης λειτουργεί πολύ καλά, αλλά για ομάδες μεγαλύτερου βαθμού κανείς δεν έχει καταφέρει να τη χρησιμοποιήσει για να απλοποιήσει την ταξινόμηση. Στις πρώτες ημέρες της ταξινόμησης, καταβλήθηκε σημαντική προσπάθεια να χρησιμοποιηθεί η θεωρία αναπαράστασης, αλλά αυτό δεν είχε ποτέ μεγάλη επιτυχία στην περίπτωση των ομάδων υψηλότερου βαθμού.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών

Δείτε επίσης

• Θεωρία αριθμών
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Αντίστροφη συνάρτηση
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Διαφορική γεωμετρία
• Γεωμετρική τοπολογία
• Μη ευκλείδειες γεωμετρίες
• Θεώρημα Αλπερίν–Μπράουερ–Γκορενστείν
• Ευκλείδειος χώρος
• Ντάνιελ Γκόρενσταϊν
• Θεωρία ομάδων
• Συνάρτηση μάζας πιθανότητας
• Ομάδα Quasithin
• Διακριτός μετασχηματισμός Φουριέ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Μιγαδικός αριθμός
• Δισδιάστατος χώρος

Βιβλιογραφία

• Gorenstein, Daniel· Lyons, Richard (18 Νοεμβρίου 1994). The Classification of the Finite Simple Groups. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-0960-0. 
• Gorenstein, Daniel· Lyons, Richard (1983). The Local Structure of Finite Groups of Characteristic 2 Type. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-2276-0. 
• Ballester-Bolinches, Adolfo· Ezquerro, Luis M. (10 Ιουλίου 2006). Classes of Finite Groups. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4020-4719-0. 
• Aschbacher, Michael· Lyons, Richard (2011). The Classification of Finite Simple Groups: Groups of Characteristic 2 Type. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-5336-8. 
• Capdeboscq, Inna· Gorenstein, Daniel (22 Φεβρουαρίου 2021). The Classification of the Finite Simple Groups, Number 9: Part V, Chapters 1-8: Theorem $C_5$ and Theorem $C_6$, Stage 1. American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-6437-0. 
• Bubboloni, Daniela· Spiga, Pablo (2024). Normal 2-Coverings of the Finite Simple Groups and Their Generalizations. Springer Nature. ISBN 978-3-031-62348-6. 
• Timmesfeld, Franz Georg (2001). Abstract Root Subgroups and Simple Groups of Lie Type. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-7643-6532-5. 
• Aschbacher, M. (26 Ιουνίου 2000). Finite Group Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78675-1. 
• Aschbacher, Michael· Smith, Stephen D. (2004). The Classification of Quasithin Groups. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-3411-4. 

Παραπομπές

• Aschbacher, Michael (2004). «The Status of the Classification of the Finite Simple Groups». Notices of the American Mathematical Society 51 (7): σελ. 736–740. https://www.ams.org/notices/200407/fea-aschbacher.pdf. 
• Aschbacher, Michael; Lyons, Richard; Smith, Stephen D.; Solomon, Ronald (2011), The Classification of Finite Simple Groups: Groups of Characteristic 2 Type, Mathematical Surveys and Monographs, 172, ISBN 978-0-8218-5336-8, https://www.ams.org/bookstore?fn=20&ikey=SURV-172 
• Conway, John Horton; Curtis, Robert Turner; Norton, Simon Phillips; Parker, Richard A; Wilson, Robert Arnott (1985), Atlas of Finite Groups: Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853199-9 
• Gorenstein, D. (1979), «The classification of finite simple groups. I. Simple groups and local analysis», Bulletin of the American Mathematical Society, New Series 1 (1): 43–199, doi:10.1090/S0273-0979-1979-14551-8, ISSN 0002-9904 
• Gorenstein, D. (1982), Finite simple groups, University Series in Mathematics, New York: Plenum Publishing Corp., ISBN 978-0-306-40779-6, https://archive.org/details/finitesimplegrou0000gore 
• Gorenstein, D. (1983), The classification of finite simple groups. Vol. 1. Groups of noncharacteristic 2 type, The University Series in Mathematics, Plenum Press, ISBN 978-0-306-41305-6 
• Daniel Gorenstein (1985), "The Enormous Theorem", Scientific American, December 1, 1985, vol. 253, no. 6, pp. 104–115.
• Gorenstein, D. (1986), «Classifying the finite simple groups», Bulletin of the American Mathematical Society, New Series 14 (1): 1–98, doi:10.1090/S0273-0979-1986-15392-9, ISSN 0002-9904 
• Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (1994), The classification of the finite simple groups, Mathematical Surveys and Monographs, 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0334-9, https://bookstore.ams.org/surv-40-1-s/ 
  • Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (1996), The classification of the finite simple groups, Number 2, Mathematical Surveys and Monographs, 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0390-5, https://bookstore.ams.org/surv-40-2/ 
  • Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (1998), The classification of the finite simple groups, Number 3, Mathematical Surveys and Monographs, 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0391-2, https://bookstore.ams.org/surv-40-3/ 
  • Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (1999), The classification of the finite simple groups, Number 4. Part II, Chapters 1-4: Uniqueness Theorems, Mathematical Surveys and Monographs, 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1379-9, https://bookstore.ams.org/surv-40-4/ 
  • Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (2002), The classification of the finite simple groups, Number 5, Mathematical Surveys and Monographs, 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2776-5, https://bookstore.ams.org/surv-40-5/ 
  • Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (2005), The classification of the finite simple groups, Number 6: Part IV: The Special Odd Case, Mathematical Surveys and Monographs, 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2777-2, https://bookstore.ams.org/surv-40-6/ 
  • Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (2018), The classification of the finite simple groups, Number 7: Part III, Chapters 7–11: The Generic Case, Stages 3b and 4a, Mathematical Surveys and Monographs, 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4069-6, https://bookstore.ams.org/surv-40-7/ 
  • Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (2018), The Classification of the Finite Simple Groups, Number 8: Part III, Chapters 12–17: The Generic Case, Completed, Mathematical Surveys and Monographs, 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-1-4704-4189-0, https://bookstore.ams.org/surv-40-8/ 
  • Capdeboscq, Inna; Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (2021), The Classification of the Finite Simple Groups, Number 9: Part V, Chapters 1-8: Theorem $C_{5}$ and Theorem $C_{6}$, Stage 1, Mathematical Surveys and Monographs, 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-1-4704-6437-0, https://www.ams.org/bookstore-getitem/item=surv-40-9 
  • Capdeboscq, Inna; Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (2023), The Classification of the Finite Simple Groups, Number 10: Part V, Chapters 9-17: Theorem $C_{6}$ and Theorem $C_{4}^{*}$, Case A, Mathematical Surveys and Monographs, 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-1-4704-7553-6, https://bookstore.ams.org/surv-40-10 
• Mark Ronan, Symmetry and the Monster, ISBN 978-0-19-280723-6, Oxford University Press, 2006. (Concise introduction for lay reader)
• Marcus du Sautoy, Finding Moonshine, Fourth Estate, 2008, ISBN 978-0-00-721461-7 (another introduction for the lay reader. American edition published in 2009 as Symmetry: A Journey into the Patterns of Nature)
• Ron Solomon (1995) "On Finite Simple Groups and their Classification," Notices of the American Mathematical Society. (Not too technical and good on history. American version published in 2009 as Symmetry: A Journey into the Patterns of Nature)
• Solomon, Ronald (2001), «A brief history of the classification of the finite simple groups», Bulletin of the American Mathematical Society, New Series 38 (3): 315–352, doi:10.1090/S0273-0979-01-00909-0, ISSN 0002-9904, https://www.ams.org/bull/2001-38-03/S0273-0979-01-00909-0/S0273-0979-01-00909-0.pdf  – article won Levi L. Conant prize for exposition
• Thompson, John G. (1984), «Finite nonsolvable groups», στο: Gruenberg, K. W.; Roseblade, J. E., επιμ., Group theory. Essays for Philip Hall, Boston, MA: Academic Press, σελ. 1–12, ISBN 978-0-12-304880-6 
• Wilson, Robert A. (2009), The finite simple groups, Graduate Texts in Mathematics 251, 251, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-84800-988-2, ISBN 978-1-84800-987-5,  

Πηγές

• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0 
• Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, New York: Copernicus, ISBN 978-0-387-97993-9 
• Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2005), Prime Numbers: A Computational Perspective (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-25282-7 
• Singer, I. M.· Thorpe, J. A. (28 Μαΐου 2015). Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry. Springer. ISBN 978-1-4615-7347-0. 
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0