Ταυτοτική σχέση

Η αναπαράσταση της ταυτοτικής σχέσης $\mathrm {id} _{[5]}$ του συνόλου $[5]=\{1,2,3,4,5\}$, ως γράφο και ως πίνακα.

Στην θεωρία συνόλων, η ταυτοτική σχέση $\mathrm {id} _{S}$ στο σύνολο $S$ είναι η σχέση που σχετίζει κάθε στοιχείο του $S$ με τον εαυτό του, δηλαδή

$\mathrm {id} _{S}=\{(x,x):x\in S\}$.

Η ονομασία $\mathrm {id} _{S}$ είναι συντομογραφία της λατινικής λέξης identity που σημαίνει ταυτότητα. Όταν το σύνολο $S$ είναι ξεκάθαρο από τα συμφραζόμενα, μπορεί να παραληφθεί, και η συνάρτηση γράφετε ως $\mathrm {id}$.

Παραδείγματα

• Για το σύνολο $S=\{1,2,3,4,5\}$ η ταυτοτική σχέση είναι η εξής:

$\mathrm {id} _{S}=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)\}$.

• Για το σύνολο $S=\{\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \}$, η ταυτοτική σχέση είναι η εξής:

$\mathrm {id} _{S}=\{(\alpha ,\alpha ),(\beta ,\beta ),(\gamma ,\gamma ),(\delta ,\delta )\}$.

Ιδιότητες

• Είναι ανακλαστική, αφού για κάθε $x\in S$ έχουμε ότι $(x,x)\in \mathrm {id} _{S}$. Επίσης για κάθε ανακλαστική σχέση $R$ στο $S$ ισχύει ότι $\mathrm {id} _{S}\subseteq R$.
• Είναι συμμετρική και μεταβατική. Επομένως η $\mathrm {id} _{S}$ είναι σχέση ισοδυναμίας.
• Είναι το ουδέτερο στοιχείο για την σύνθεση σχέσεων, καθώς $R\circ \mathrm {id} _{S}=R$ για κάθε σχέση $R\subseteq S'\times S$.
• Ο πίνακας που αναπαριστά την $\mathrm {id} _{S}$ είναι ο ταυτοτικός πίνακας.
• Ο γράφος που αναπαριστά την $\mathrm {id} _{S}$ αποτελείται μόνο από βρόγχους.
• Για κάθε δύο σύνολα $S,S'$ με $S\subseteq S'$, ισχύει ότι $\mathrm {id} _{S}\subseteq \mathrm {id} _{S'}$.

Σχετικές έννοιες

Για κάθε σχέση $R$ στο σύνολο $S$, η ανακλαστική κλειστότητα της $R$ δίνεται από την σχέση $R\cup \mathrm {id} _{S}$.

Δείτε επίσης

• Ανακλαστική κλειστότητα
• Ταυτοτική συνάρτηση