Τετραγωνική ρίζα του 5

Τετραγωνική ρίζα του 5

Αναπαραστάσεις
Δεκαδική	2,23606797749978969...
Συνεχές κλάσμα	$2+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+\ddots }}}}}}}}$
Δυαδική	10,0011110001101111...
Δεκαεξαδική	2,3C6EF372FE94F82C...

Η τετραγωνική ρίζα του 5 είναι ο θετικός πραγματικός αριθμός ο οποίος όταν πολλαπλασιάζεται με τον εαυτό του, δίνει τον αριθμό 5. Πιο συγκεκριμένα ονομάζεται η κύρια τετραγωνική ρίζα του 5, ώστε να διακρίνεται από τον αριθμό με αρνητικό πρόσημο με την ίδια ιδιότητα. Αυτός ο αριθμός εμφανίζεται στην κλασματική έκφραση για τη χρυσή τομή. Μπορεί να εκφράζειαι ως ασύμμετρος αριθμός ως εξής:

${\sqrt {5}}$, δηλαδή η θετική ρίζα της εξίσωσης $x^{2}=5$.

Πρόκειται για έναν άρρητο αλγεβρικό αριθμό. Τα πρώτα εξήντα ψηφία του στην δεκαδική αναπαράσταση είναι:

2,23606797749978969640917366873127623544061835961152572427089... (ακολουθία A002163 στην OEIS)

το οποίο στρογγυλοποιείται στο 2,236 με ακρίβεια 99,99%. Ως τις Ιουνίου 2024, η αριθμητική τιμή του είχε υπολογιστεί σε τουλάχιστον 2.250.000.000.000 δεκαδικά ψηφία.

Απόδειξη αρρητότητας

Ας υποθέσουμε ότι η ${\sqrt {5}}$ είναι ρητός αριθμός, και την εκφράζουν ως το ανάγωγο κλάσμα ${\tfrac {m}{n}}$ για τους φυσικούς αριθμούς $m$ και $n$ με τον ελάχιστο αριθμητή. Στη συνέχεια η ${\sqrt {5}}$ μπορεί επίσης να εκφραστεί ως ${\tfrac {5n-2m}{m-2n}}$, καθώς

${\frac {5n-2m}{m-2n}}={\frac {5-2{\frac {m}{n}}}{{\frac {m}{n}}-2}}={\frac {5-2{\sqrt {5}}}{{\sqrt {5}}-2}}={\frac {5-2{\sqrt {5}}}{{\sqrt {5}}-2}}\cdot {\frac {{\sqrt {5}}+2}{{\sqrt {5}}+2}}={\frac {5{\sqrt {5}}-4{\sqrt {5}}+10-10}{({\sqrt {5}})^{2}-2^{2}}}={\sqrt {5}}$.

Δηλαδή υπάρχει μία αναπαράσταση με ακόμα μικρότερο αριθμητή, άτοπο. Συνεπώς δεν υπάρχει τέτοιο κλάσμα και άρα το ${\sqrt {5}}$ δεν είναι ρητός.

Το συνεχές κλάσμα

Μπορεί να εκφράζεται ως το συνεχές κλάσμα [2; 4, 4, 4, 4, 4 ...] . Η ακολουθία της καλύτερης προσέγγισης του ρητού αριθμού είναι:

${\color {OliveGreen}{\frac {2}{1}}},{\frac {7}{3}},{\color {OliveGreen}{\frac {9}{4}}},{\frac {20}{9}},{\frac {29}{13}},{\color {OliveGreen}{\frac {38}{17}}},{\frac {123}{55}},{\color {OliveGreen}{\frac {161}{72}}},{\frac {360}{161}},{\frac {521}{233}},{\color {OliveGreen}{\frac {682}{305}}},{\frac {2207}{987}},{\color {OliveGreen}{\frac {2889}{1292}}},\dots$

Οι συγκλίνουσες του συνεχούς κλάσματος είναι χρωματισμένες. Οι αριθμητές τους είναι 2, 9, 38, 161, ... και οι παρονομαστές είναι 1, 4, 17, 72, ... . Οι υπόλοιποι (μη χρωματισμένοι) όροι είναι ημι-συγκλίνοντες.

Βαβυλώνια μέθοδος

Όταν ${\sqrt {5}}$ υπολογίζεται με τη βαβυλώνια μέθοδο, ξεκινώντας με r₀ = 2 και χρησιμοποιώντας r_n+1 = (r_n + 5/r_n) / 2,το n του approximant r_n είναι ίσο με το 2ⁿ-οστό συγκλίνουσα της συγκλίνουσας ακολουθία:

${\frac {2}{1}}=2.0,\quad {\frac {9}{4}}=2.25,\quad {\frac {161}{72}}=2.23611\dots ,\quad {\frac {51841}{23184}}=2.2360679779\ldots$

Σχέση με τη χρυσή τομή και οι αριθμοί Φιμπονάτσι

Το √ 5/2 αποτελεί τη βάση για την γεωμετρική κατασκευή ενός χρυσού ορθογωνίου.

Η χρυσή τομή $\phi$ είναι ο αριθμητικός μέσος όρος του 1 και η τετραγωνική ρίζα του 5, δηλαδή

$\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$.

H αλγεβρική σχέση μεταξύ της τετραγωνικής ρίζας του 5, της χρυσής τομής και του συζυγή της χρυσής τομής ($\Phi =1/\varphi =\varphi -1$) εκφράζονται από τους ακόλουθους τύπους:

${\sqrt {5}}=\varphi +\Phi =2\varphi -1=2\Phi +1$,

$\varphi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}$,

$\Phi ={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}$.

(Βλ. παρακάτω ενότητα για την γεωμετρική ερμηνεία τους ως αποσυνθέσεις της ρίζας-5 ορθογώνιο.)

Έτσι, η τετραγωνική ρίζα του 5 τότε προκύπτει στον κλειστό τύπο για τους αριθμούς Φιμπονάτσι, όπου ο $n$-οστός όρος δίνεται από την έκφραση:

$F_{n}={{\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}} \over {\sqrt {5}}}.$

Το πηλίκο του √ 5 και $\varphi$ (ή το γινόμενο του √ 5 και $\Phi$), και ο αντίστροφός του, δίνουν μια ενδιαφέρουσα ακολουθία στην αναπαράστασή τους ως συνεχή κλάσματα, που σχετίζεται με τους αριθμούς Φιμπονάτσι και τους αριθμούς Λυκά:

${\frac {\sqrt {5}}{\varphi }}=\Phi \cdot {\sqrt {5}}={\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}=1.3819660112501051518\dots =[1;2,1,1,1,1,1,1,1,\dots ]$

${\frac {\varphi }{\sqrt {5}}}={\frac {1}{\Phi \cdot {\sqrt {5}}}}={\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}=0.72360679774997896964\dots =[0;1,2,1,1,1,1,1,1,\dots ].$

Η σειρά των συγκλίνουσων έχει ως αριθμητές τους αριθμούς Φιμπονάτσι και ως παρονομαστές τους αριθμούς Λυκά, και το αντίστροφο κλάσμα, αντίστοιχα:

${1,{\frac {3}{2}},{\frac {4}{3}},{\frac {7}{5}},{\frac {11}{8}},{\frac {18}{13}},{\frac {29}{21}},{\frac {47}{34}},{\frac {76}{55}},{\frac {123}{89}}},\dots \dots [1;2,1,1,1,1,1,1,1,\dots ]$

${1,{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{7}},{\frac {8}{11}},{\frac {13}{18}},{\frac {21}{29}},{\frac {34}{47}},{\frac {55}{76}},{\frac {89}{123}}},\dots \dots [0;1,2,1,1,1,1,1,1,\dots ].$

Γεωμετρία

Διαίρεση ενός $1\times 2$ ορθογωνίου τριγώνου σε πέντε όμοια τρίγωνα που συνιστά την βάση για την μη-περιοδική πλακόστρωση pinwheel.

Η κατασκευή των ορθογωνίων ριζών του Jay Hambidge.

Αποστάσεις μεταξύ των κορυφών ενός διπλού μοναδιαίου κύβου είναι οι τετραγωνικές ρίζες των πρώτων έξι φυσικών αριθμών.

Γεωμετρικά, η τετραγωνική ρίζα του 5 αντιστοιχεί στην διαγώνιο ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου του οποίου οι πλευρές έχουν μήκος 1 και 2, όπως προκύπτει από το πυθαγόρειο θεώρημα. Ένα τέτοιο ορθογώνιο μπορεί να κατασκευαστεί με διαιρώντας στην μέση ένα τετράγωνο, ή με την τοποθέτηση δύο ίσων τετραγώνων δίπλα δίπλα. Μαζί με την αλγεβρική σχέση μεταξύ ${\sqrt {5}}$ και $\varphi$, αυτό αποτελεί τη βάση για τη γεωμετρική κατασκευή ενός χρυσού ορθογωνίου από ένα τετράγωνο, και για την κατασκευή ενός κανονικού πεντάγωνου, δεδομένης κάθε πλευράς του (από τότε που η δεξιά-διαγώνια είναι ανάλογη σε ένα κανονικό πεντάγωνο είναι $\varphi$).

Δύο διαδοχικές πλευρές ενός κύβου αναπτύσσονται σε ένα ορθογώνιο με αναλογία πλευρών 1:2, επομένως ο λόγος μεταξύ του μήκους μίας πλευράς ενός κύβου προς την συντομότερη απόσταση από μία κορυφή προς την απέναντί της, όταν διατρέχουμε την επιφάνεια του κύβου, είναι ${\sqrt {5}}$. Εν αντιθέσει, η συντομότερη απόσταση όταν διατρέχουμε στο εσωτερικό του κύβου αντιστοιχεί αντιστοιχεί στην διαγώνιο του κύβου που είναι τετραγωνική ρίζα του 3 επί την πλευρά.

Ο αριθμός √ 5 μπορεί να είναι γεωμετρικά και αλγεβρικά να σχετίζεται με την τετραγωνική ρίζα του 2 και την τετραγωνική ρίζα του 3, όπως είναι το μήκος της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές μήκους ${\sqrt {2}}$ και ${\sqrt {3}}$ (και πάλι, το Πυθαγόρειο θεώρημα το αποδεικνύει αυτό). Τα ορθογώνια τρίγωνα τέτοιων διαστάσεων εντοπίζονται μέσα σε ένα κύβο: οι πλευρές του κάθε τριγώνου που ορίζεται από το κεντρικό σημείο ενός κύβου, μία από τις κορυφές του, και το μέσο σημείο της πλευράς που βρίσκεται σε ένα από τα στάδια που περιέχει η κορυφή και η απέναντι σε αυτό, είναι σε αναλογία √ 2: √ 3: √ 5. Αυτό προκύπτει από τις γεωμετρικές σχέσεις μεταξύ ενός κύβου και τις ποσότητες √ 2 (η άκρη να είναι απέναντι από τη διαγώνια αναλογία, ή την απόσταση μεταξύ των απέναντι στα άκρα), √ 3 (η άκρη στον κύβο, διαγώνια αναλογία) και √ 5 (ακριβώς η σχέση παραπάνω).

Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με αναλογία πλευρών $1:{\sqrt {5}}$ ονομάζεται ρίζα πέντε ορθογώνιο και αποτελεί μέρος της σειράς των ορθογωνίων των ριζών, ένα υποσύνολο των δυναμικών ορθογωνίων, τα οποία είναι βασισμένα στα ${\sqrt {1}}$ ($=1$), ${\sqrt {2}}$, ${\sqrt {3}}$, $4$ ($=2$), ${\sqrt {5}},\ldots$, και κατασκευάζονται διαδοχικά χρησιμοποιώντας την διαγώνιο του προηγούμενου ορθογωνίου της σειράς, ξεκινώντας από ένα τετράγωνο. Το ρίζα 5 ορθογώνιο είναι ιδιαίτερα σημαντικό, δεδομένου ότι μπορεί να χωριστεί σε ένα τετράγωνο και σε δύο ίσα χρυσά ορθογώνια, (διαστάσεων $\Phi \times 1$), ή σε δύο χρυσά ορθογώνια διαφόρων μεγεθών (με διαστάσεις $\Phi \times 1$ and $1\times \phi$). Μπορεί επίσης να αναλυθεί ως την ένωση των δύο ίσων χρυσών ορθογωνίων (με διαστάσεις $1\times \phi$), του οποίου αποτελεί τομή σε ένα τετράγωνο. Όλα αυτά μπορεί να θεωρηθούν ως η γεωμετρική ερμηνεία των αλγεβρικών σχέσεων μεταξύ των ${\sqrt {5}}$, $\phi$ και $\Phi$ που αναφέρθηκαν παραπάνω. Το ρίζα 5 ορθογώνιο μπορεί να κατασκευαστεί από ένα ορθογώνιο με αναλογία πλευρών 1:2 (δηλαδή το ρίζα 4 ορθογώνιο), ή απευθείας από ένα τετράγωνο με τρόπο παρόμοιο με εκείνο για το χρυσό ορθογώνιο φαίνεται στην εικόνα, αλλά και την επέκταση του μήκους του τόξου √ 5/2 και στις δύο πλευρές.

Τριγωνομετρία

Όπως η ${\sqrt {2}}$ και η ${\sqrt {3}}$, η τετραγωνική ρίζα του 5 εμφανίζεται σε αρκετούς τριγωνομετρικούς τύπους, συμπεριλαμβανομένων των ημιτόνων και συνημιτόνων κάθε γωνίας της οποίας οι μοίρες διαιρούνται με το τρία και όχι με το 15. Οι πιο απλές από αυτές είναι οι εξής:

${\begin{aligned}\sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }&={\tfrac {1}{4}}({\sqrt {5}}-1)={\frac {1}{{\sqrt {5}}+1}},\\[5pt]\sin {\frac {\pi }{5}}=\sin 36^{\circ }&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}},\\[5pt]\sin {\frac {3\pi }{10}}=\sin 54^{\circ }&={\tfrac {1}{4}}({\sqrt {5}}+1)={\frac {1}{{\sqrt {5}}-1}},\\[5pt]\sin {\frac {2\pi }{5}}=\sin 72^{\circ }&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\,.\end{aligned}}$

Επομένως, ο υπολογισμός της τιμής της με ακρίβεια είναι σημαντικό στην κατασκευή τριγωνομετρικών πινάκων. Δεδομένου ότι η ${\sqrt {5}}$ είναι γεωμετρικά συνδεμένη σε ένα ορθογώνιο με αναλογία πλευρών $1:2$ και σε κανονικά πεντάγωνα, εμφανίζεται επίσης συχνά στις γεωμετρικές ιδιότητες των σχημάτων που προέρχονται από αυτά, όπως στον τύπο για τον όγκο του δωδεκάεδρου.

Διοφαντικές προσεγγίσεις

Το θεώρημα του Hurwitz στην Diophantine προσεγγίσεων αναφέρει ότι κάθε άρρητος αριθμός $x$ μπορεί να προσεγγιστεί από άπειρους ρητούς αριθμούς $m/n$ (με $m$ και $n$ σχετικά πρώτοι μεταξύ τους) κατά τέτοιον τρόπο ώστε:

$\left|x-{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}\,n^{2}}}$,

και ότι η ${\sqrt {5}}$ είναι η καλύτερη δυνατή σταθερά, με την έννοια ότι για κάθε σταθερά μεγαλύτερη της ${\sqrt {5}}$, υπάρχουν κάποιοι άρρητοι αριθμοί όπως το $x$ για τα οποία υπάρχουν μόνο πολλές πεπερασμένες τέτοιες προσεγγίσεις. Στενά συνδεδεμένο με αυτό είναι το θεώρημα ότι για οποιεσδήποτε τρεις διαδοχικές συγκλίνουσες p_i/q_i, p_i+1/q_i+1, p_i+2/q_i+2, ενός αριθμού $\alpha$, τουλάχιστον μία των τριών ανισοτήτων ισχύει:

$\left|\alpha -{p_{i} \over q_{i}}\right|<{1 \over {\sqrt {5}}q_{i}^{2}},\qquad \left|\alpha -{p_{i+1} \over q_{i+1}}\right|<{1 \over {\sqrt {5}}q_{i+1}^{2}},\qquad \left|\alpha -{p_{i+2} \over q_{i+2}}\right|<{1 \over {\sqrt {5}}q_{i+2}^{2}}.$.

Και η ${\sqrt {5}}$ στον παρονομαστή είναι η καλύτερη δυνατή τιμή από τις συγκλίνουσες της χρυσής αναλογίας κάνει τη διαφορά στην αριστερή πλευρά αυθαίρετα κοντά στην αξία στη δεξιά πλευρά. Ειδικότερα, δεν μπορεί κανείς να αποκτήσει ένα αυστηρότερο δεσμεύτη από την εξέταση των ακολούθων τεσσάρων ή περισσότερων διαδοχικών συγκλινουσών.

Άλγεβρα

Ο δακτύλιος $\mathbb {Z} \left[\,{\sqrt {-5}}\,\right]$ περιέχει τους αριθμούς της μορφής $a+b{\sqrt {-5}}$, όπου $a$ και $b$ είναι ακέραιοι και ${\sqrt {-5}}$ είναι ο φανταστικός αριθμός $i{\sqrt {5}}$. Αυτός ο δακτύλιος είναι το πιο συχνό παράδειγμα πεδίου για το οποίο δεν ισχύει η μοναδικότητα της παραγοντοποίησης. Για παράδειγμα σε αυτόν τον δακτύλιο, ο αριθμός 6 έχει δύο ισότιμες παραγοντοποιήσεις:

$6=2\cdot 3=(1-{\sqrt {-5}})(1+{\sqrt {-5}}).\,$

Το σώμα $\mathbb {Q} \left[\,{\sqrt {5}}\,\right]$, όπως και κάθε άλλο τετραγωνικό σώμα, είναι μία αβελιανή επέκταση των ρητών αριθμών. Το θεώρημα Κρόνεκερ-Weber εγγυάται, συνεπώς, ότι η τετραγωνική ρίζα του πέντε μπορεί να γραφτεί ως ένας ρητός γραμμικός συνδυασμός των ριζών της μονάδας, δηλαδή:

${\sqrt {5}}=e^{2\pi i/5}-e^{4\pi i/5}-e^{6\pi i/5}+e^{8\pi i/5}.\,$

Ταυτότητες Ramanujan

Η τετραγωνική ρίζα του 5 εμφανίζεται σε διάφορες ταυτότητες Rogers Ραμανούτζαν, οι οποίες εμπλέκονται σε συνεχή κλάσματα. Για παράδειγμα, οι εξής περίπτωση του συνεχούς κλάσματος Ρότζερς-Ραμανούτζαν:

${\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+{\cfrac {e^{-6\pi }}{1+\ddots }}}}}}}}=\left({\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)e^{2\pi /5}=e^{2\pi /5}\left({\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi \right).$

${\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-4\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-6\pi {\sqrt {5}}}}{1+\ddots }}}}}}}}=\left({{\sqrt {5}} \over 1+\left[5^{3/4}(\varphi -1)^{5/2}-1\right]^{1/5}}-\varphi \right)e^{2\pi /{\sqrt {5}}}.$

$4\int _{0}^{\infty }{\frac {xe^{-x{\sqrt {5}}}}{\cosh x}}\,dx={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {3^{2}}{1+{\cfrac {3^{2}}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}.$

Δείτε επίσης

• Τετραγωνική ρίζα του 2
• Τετραγωνική ρίζα του 3
• Χρυσή τομή