Τετραγωνικό σώμα

Ως τετραγωνικό σώμα (quadratic field) ορίζουμε ένα σώμα αριθμών K βαθμού 2 επί του $\mathbb {Q}$.Επομένως $K=\mathbb {Q} (\theta )$ όπου ο θ είναι αλγεβρικός ακέραιος και $degIrr(\theta ,\mathbb {Q} )=2$.

Εύκολα αποδυκνείεται οτι κάθε τετραγωνικό σώμα είναι της μορφής $\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$ όπου $d\in \mathbb {Z}$ και o $d$ είναι ελεύθερος τετραγώνου. Αν d > 0 το σώμα ονομάζεται πραγματικό τετραγωνικό σώμα ενώ αν d < 0 τότε ονομάζεται μιγαδικό τετραγωνικό σώμα.

Τα τετραγωνικά σώματα αρχικά μελετήθηκαν ως μέρος της θεωρίας των τετραγωνικών μορφών.

Γενικότερα για τους αριθμοθεωρητικούς ενδιαφέρον παρουσιάζει η γνώση του αριθμού κλάσεων ενός σώματος αριθμών. Το θεώρημα των Stark-Steiger (Σταρκ-Στάιγκερ) μας λέει ότι

Αν d < 0, τότε ο αριθμός κλάσεων του Q(√ d) είναι ίσος με 1 αν και μόνο αν d = −1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67, or −163.

Αντίστοιχο θεώρημα για τα πραγματικά τετραγωνικά σώματα δεν είναι γνωστό.