Τοπολογική πολλαπλότητα
 |
Το λήμμα παραθέτει τις πηγές του αόριστα, χωρίς παραπομπές. |
 |
Το λήμμα περιέχει τεχνικές λεπτομέρειες που ενδεχομένως οι περισσότεροι αναγνώστες δεν είναι σε θέση να κατανοήσουν. Μπορείτε να το βελτιώσετε ώστε να είναι κατανοητό και από μη ειδικούς, χωρίς να αφαιρεθούν οι τεχνικές λεπτομέρειες, κλιμακώνοντας την εμβάθυνση προς το τέλος του λήμματος. (Σήμανση: 06/01/2012) |
Ένας τοπολογικός χώρος V λέγεται τοπολογική πολλαπλότητα διάστασης n αν: (α) ο V είναι χώρος Hausdorff, (β) ο V είναι συναφής, (γ) σε κάθε σημείο P του V υπάρχει ένα ανοιχτό σύνολο που περιέχει το σημείο αυτό που είναι ομοιόμορφο προς ένα ανοικτό σύνολο του . Ιστορικά μια από τις αιτίες για την μελέτη των πολλαπλοτήτων στάθηκε η γενική θεωρία της σχετικότητας του Άλμπερτ Αϊνστάιν, όπου ο τετραδιάστατος χωροχρόνος, λόγω της αρχής της ισοδυναμίας, αποτελεί πολλαπλότητα διάστασης 4, αλλά και η μελέτη δυναμικών συστημάτων και η αναλυτική μηχανική.
Διάσταση
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Η διάσταση της πολλαπλότητας είναι μια τοπολογική ιδιότητα, που σημαίνει ότι οποιαδήποτε πολλαπλότητα που είναι ομοιόμορφη με μια n-πολλαπλότητα έχει επίσης διάσταση n. Όπως προκύπτει από την αναλλοίωτη μια n-πολλαπλότητα δεν μπορεί να είναι ομοιόμορφη με μια m-πολλαπλότητα για n ≠ m.
Μια πολλαπλότητα διάστασης 1 συχνά καλείται καμπύλη, ενώ μια πολλαπλότητα διάστασης 2 ονομάζεται επιφάνεια. Πολλαπλότητες μεγαλύτερης διάστασης συνήθως ονομάζονται n-πολλαπλότητες.
Χώρος Hausdorff
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Ένας τοπολογικός χώρος λέγεται χώρος Hausdorff αν για κάθε x,y που ανηκουν στο Α με x y υπάρχει ε>0 τέτοιο ώστε
- B(x,ε) ∩ B(y,ε) = ∅.
Παραδείγματα
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- Ο χώρος είναι τοπολογική πολλαπλότητα διάστασης n, διότι σε κάθε σημείο του P υπάρχει ανοιχτό σύνολο που περιέχει το P και είναι ομοιόμορφο προς τον εαυτό του.
- Οποιοδήποτε διακριτός χώρος είναι μια 0-πολλαπλότητα.
- Ο κύκλος είναι μια 1-πολλαπλότητα.
- Ο τόρος είναι μια 2-πολλαπλότητα.
- Η n-διάστατη σφαίρα Sn είναι μια συμπαγή n-πολλαπλότητα.
- Ο n-διάστατος τόρος Tn (το γινόμενο n κύκλων) είναι μια συμπαγή n-πολλαπλότητα.
- Οι χώροι Lens είναι μια κατηγορία πολλαπλοτήτων που είναι πηλίκα σφαιρών που έχουν μονές διαστάσεις.
- Οι ομάδες Lie είναι πολλαπλότητες προικισμένες με μια δομή ομάδας.
- Κάθε ανοιχτό υποσύνολο μιας n-πολλαπλότητας είναι μια n-πολλαπλότητα.
- Αν M είναι μια m-πολλαπλότητα και N είναι μια n-πολλαπλότητα, το γινόμενο M × N είναι μια (m+n)-πολλαπλότητα.
- Η ένωση μιας οικογένειας n-πολλαπλοτήτων είναι μια n-πολλαπλότητα (τα κομμάτια πρέπει να έχουν όλα την ίδια διάσταση).
Ταξινόμηση των πολλαπλοτήτων
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Μια 0-πολλαπλότητα είναι απλώς ένας διακριτό χώρο. Οι χώροι αυτοί κατατάσσονται ανάλογα με την πληθικότητα τους.
Κάθε συνδετική 1-πολλαπλότητα είναι ομοιόμορφη είτε με το R ή με τον κύκλο.
Κάθε συμπαγής, 2-πολλαπλότητα είναι ομοιόμορφη με τη σφαίρα, ένα συνδεδεμένο σύνολο τόρων.
Η 3-διάστατη περίπτωση μπορεί να λυθεί. Η εικασία του Thurston, εάν είναι αλήθεια, μαζί με τις σημερινές γνώσεις, θα συνεπαγόταν την κατάταξη των 3-πολλαπλοτήτων. Ο Γκριγκόρι Πέρελμαν σκιαγράφησε μια απόδειξη αυτής της εικασίας το 2003, η οποία (από το 2011) φαίνεται να είναι ουσιαστικά σωστή.
Η πλήρης κατάταξη των n-πολλαπλοτήτων για n μεγαλύτερο από τρία είναι γνωστό ότι είναι αδύνατο.Στην πραγματικότητα, δεν υπάρχει αλγόριθμος για να διαπιστωθεί εάν μια δοσμένη πολλαπλότητα είναι απλά συνδετική. Υπάρχει, ωστόσο, μια ταξινόμηση απλά συνδετικών πολλαπλοτήτων διάστασης ≥ 5
Διαφορίσιμη πολλαπλότητα
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Η σχέση των ισοδύναμων ατλάντων είναι μια σχέση ισοδυναμίας και χωρίζει τον τοπολογικό χώρο σε κλάσεις ισοδυναμίας.Κάθε τέτοια κλάση ονομάζεται διαφορίσιμη πολλαπλότητα. Πιο συγκεκριμένα, διαφορίσιμη πολλαπλότητα διάστασης n κλάσης Ονομάζεται κάθε n-διάστατη τοπολογική πολλαπλότητα V με μια k-κλάση ισοδυναμίας από το σύνολο όλων των ατλάντων κλάσης που ορίζονται πάνω στην πολλαπλότητα V.
Παράδειγμα: Ο χώρος είναι διαφορίσιμη πολλαπλότητα της κλάσης διότι στον χώρο αυτό ορίζεται ο άτλαντας που έχει ένα μόνο στοιχείο (το χάρτη (,I)) όπου I είναι ο ταυτοτικός ομοιομορφισμός επί του που είναι της κλάσης
Θεωρήματα
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- Θεώρημα Milnor: Υπάρχει τοπολογική πολλαπλότητα ώστε να ορίσουμε δύο διαφορετικούς άτλαντες που να μην είναι ισοδύναμοι μεταξύ τους.
- Θεώρημα Whitney: Αν σε μια τοπολογική πολλαπλότητα έχουμε έναν άτλαντα κλάσης τότε μπορούμε αφαιρώντας κάποιους χάρτες,να προκύψει υποάτλαντας κλάσης
- Θεώρημα Kervaire: Μια τοπολογική πολλαπλότητα δεν επιδέχεται πάντα διαφορίσιμη δομή.
Αναφορές (στα Αγγλικά)
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- Gauld, D. B. (1974). "Topological Properties of Manifolds". The American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 81 (6): 633–636. doi:10.2307/2319220. JSTOR 2319220.
- Kirby, Robion C.; Siebenmann, Laurence C. (1977). Foundational Essays on Topological Manifolds. Smoothings, and Triangulations. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-08191-3.
- Lee, John M. (2000). Introduction to Topological Manifolds. Graduate Texts in Mathematics 202. New York: Springer. ISBN 0-387-98759-2.
Βιβλιογραφία
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- Ηλιοπούλου, Ε. - Α., Ταμία - Δημοπούλου, Π., Διαφορίσιμες πολλαπλότητες (1996)
- Spivak, Michael, Calculus On Manifolds: A Modern Approach To Classical Theorems Of Advanced Calculus (1971)
- Ζώης Ι.Π, Εισαγωγή στης διαφορίσιμες πολλαπλότητες , Pdf[νεκρός σύνδεσμος]
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
- Η λύση της Εικασίας του Πουανκαρέ, από τον Πέρελεμαν : , [1]