Τοπολογική συζυγία

Στα μαθηματικά, δύο συναρτήσεις είναι τοπολογικώς συζυγείς μεταξύ τους εάν υπάρχει κάποιος ομοιομορφισμός ώστε να συζευχθεί η μια με την άλλη. Η τοπολογική συζυγία είναι σημαντική για τη μελέτη των επαναλαμβανόμενων συναρτήσεων και γενικότερα των δυναμικών συστημάτων, δεδομένου ότι, αν η δυναμική μιας επαναλαμβανόμενης συνάρτησης μπορεί να λυθεί, τότε αυτό ισχύει ακολούθως και για οποιαδήποτε τοπολογικώς συζυγή συνάρτηση.

Για να φανεί αυτό άμεσα, ας υποθέσουμε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι επαναλαμβανόμενες και ότι υπάρχει ένας ομοιομορφισμός h τέτοιος ώστε οι f και g να είναι τοπολογικώς συζυγείς

$g=h^{-1}\circ f\circ h.$

Κατόπιν βέβαια κάποια πρέπει να υπάρχει

$g^{n}=h^{-1}\circ f^{n}\circ h$    (το συμβολο ○ δηλώνει την σύνθεση συναρτήσεων),

και έτσι οι επαναλαμβανόμενες συναρτήσεις είναι επίσης συζυγείς.

Ορισμός

Έστω ότι οι X και Y είναι τοπολογικοί χώροι και έστω ότι οι $f\colon X\to X$ και $g\colon Y\to Y$ είναι συνεχείς συναρτήσεις. Τότε λέμε ότι η f είναι τοπολογικώς ημισυζυγής στην g εάν υπάρχει μια συνεχής και επί συνάρτηση $h\colon Y\to X$ τέτοια ώστε $f\circ h=h\circ g$.

Αν h είναι ένας ομοιομορφισμός, μπορούμε να πούμε ότι οι f και g είναι τοπολογικώς συζυγείς και καλούμε τον h ως τοπολογική συζυγία μεταξύ των f και g.

Ομοίως, μια ροή φ στο X είναι τοπολογικά ημισυζυγής σε μια ροή ψ στο Y, εάν υπάρχει μια συνεχής και επί συνάρτηση $h\colon Y\to X$ τέτοια ώστε $\varphi (h(y),t)=h\psi (y,t)$ για κάθε $y\in Y,t\in \mathbb {R} .$ Αν h είναι ένας ομοιομορφισμός, τότε οι ψ και φ είναι τοπολογικώς συζυγείς.

Για παράδειγμα, η λογιστική τομή και η τομή τέντας είναι τοπολογικώς συζυγείς.

Τοπολογική ισοδυναμία

Για τοπολογική ισοδυναμία σε σχέση με ισομορφισμούς, δείτε: Τοπολογικός ισομορφισμός.

Μπορούμε να πούμε ότι δύο ροές ψ και φ είναι τοπολογικώς ισοδύναμες, εάν υπάρχει ένας ομοιομορφισμός $h:Y\to X$, που χαρτογραφεί ομοιομορφικά τις τροχιές της ψ στις τροχιές της φ, ενώ διατηρεί τον προσανατολισμό των τροχιών. Με άλλα λόγια, έστω ότι το ${\mathcal {O}}$ υποδηλώνει μια τροχιά, η οποία για κάθε $y\in Y$ έχει:

$h({\mathcal {O}}(y,\psi ))=\{h(\psi (y,t)):t\in \mathbb {R} \}=\{\varphi (h(y),t):t\in \mathbb {R} \}={\mathcal {O}}(h(y),\varphi )$

Επιπλέον, πρέπει κανείς να παρατάξει τη ροή του χρόνου, δηλαδή, για κάθε $y\in Y$, υπάρχει ένα $\delta >0$ έτσι ώστε, εάν $0<\vert s\vert <t<\delta$ και το s είναι τέτοιο ώστε $\varphi (h(y),s)=h(\psi (y,t))$, τότε το $s>0.$

Σε γενικές γραμμές, η τοπολογική ισοδυναμία είναι ασθενέστερο κριτήριο ισοδυναμίας από την τοπολογική συζυγία, καθώς δεν απαιτεί να χαρτογραφείται η έννοια του χρόνου μαζί με τις τροχιές και τον προσανατολισμό τους. Ένα παράδειγμα συστήματος με τοπολογική ισοδυναμία που δεν έχει τοπολογική συζυγία, μπορεί να είναι τα μη υπερβολικά δισδιάστατα συστημάτα διαφορικών εξισώσεων που έχουν κλειστές τροχιές. Ενώ οι τροχιές μπορούν να μετασχηματιστούν η μια στην άλλη, ώστε να επικαλύπτονται με τη χωρική έννοια, οι περίοδοι τέτοιων συστημάτων δεν μπορούν να συνδυάζονται με ανάλογο τρόπο, αποτυγχάνοντας έτσι να ικανοποιήσουν το κριτήριο της τοπολογικής συζυγίας ενώ ικανοποιούν το κριτήριο της τοπολογικής ισοδυναμίας.

Ομαλή και τροχιακή ισοδυναμία

Μπορούν να μελετηθούν περισσότερα κριτήρια ισοδυναμίας εάν οι ροές ψ και φ προκύπτουν από διαφορικές εξισώσεις.

Δύο δυναμικά συστήματα που ορίζονται από τις διαφορικές εξισώσεις $x'=f(x)$ και $y'=g(y)$ λέγεται ότι είναι ομαλώς ισοδύναμα εάν υπάρχει ένας διαφορομορφισμός $h:X\to Y$ έτσι ώστε

$f(x)=M^{-1}(x)g(h(x))\quad$   όπου   $\quad M(x)={\frac {\mathrm {d} h(x)}{\mathrm {d} x}}.$

Στην περίπτωση αυτή, τα δυναμικά συστήματα μπορούν να μετατραπούν το ένα στο άλλο με μετασχηματισμό συντεταγμένων $y=h(x).$

Δύο δυναμικά συστήματα σε χώρο ίδιας κατάστασης, που ορίζονται από το $x'=f(x)$ και $x'=g(x)$, λέγεται ότι είναι τροχιακώς ισοδύναμα εάν υπάρχει μια θετική συνάρτηση $\mu :X\to \mathbf {R}$ έτσι ώστε $g(x)=\mu (x)f(x).$ Τα συστήματα με τροχιακή ισοδυναμία διαφέρουν μόνο ως προς την παραμετροποίηση του χρόνου.

Τα συστήματα που είναι ομαλώς ισοδύναμα ή τροχιακώς ισοδύναμα είναι και τοπολογικώς ισοδύναμα. Ωστόσο, το αντίστροφο δεν ισχύει. Για παράδειγμα, σκεφτείτε τα γραμμικά συστήματα δύο διαστάσεων της μορφής $x'=Ax.$ Εάν ο πίνακας $A$ έχει δύο θετικές πραγματικές ιδιοτιμές, τότε το σύστημα έχει έναν ασταθή κόμβο. Εάν ο πίνακας $A$ έχει δύο πολύπλοκες ιδιοτιμές με θετικό πραγματικό μέρος, τότε το σύστημα έχει ασταθή εστίαση (ή είναι σπιράλ). Οι κόμβοι και οι εστίες έχουν τοπολογική ισοδυναμία, αλλά δεν έχουν ομαλή ή τροχιακή ισοδυναμία.

Γενικεύσεις των δυναμικών τοπολογικών συζυγιών

Υπάρχουν δύο αναφερόμενες επεκτάσεις της έννοιας της δυναμικής τοπολογικής συζυγίας:

• Τα ανάλογα συστήματα που ορίζονται ως ισομορφικά δυναμικά συστήματα
• Τα συνεχή συζυγή δυναμικά συστημάτα που ορίζονται μέσω συνεχών συζυγών συναρτητών και φυσικών ισοδυναμιών σε κατηγοριακή δυναμική.

Βιβλιογραφία

• «Topological conjugation». PlanetMath. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 26 Σεπτεμβρίου 2015. Ανακτήθηκε στις 14 Σεπτεμβρίου 2015.