Αξιώματα Μπίρκοφ

Το 1932, ο Γ. Ντ. Μπίρκοφ δημιούργησε ένα σύνολο τεσσάρων αξιωμάτων της Ευκλείδειας γεωμετρίας στο επίπεδο, τα οποία μερικές φορές αναφέρονται ως αξιώματα του Μπίρκοφ. Αυτά τα αξιώματα βασίζονται όλα στη βασική γεωμετρία που μπορεί να επιβεβαιωθεί πειραματικά με μια κλίμακα και ένα μοιρογνωμόνιο. Δεδομένου ότι τα αξιώματα βασίζονται στους πραγματικούς αριθμούς, η προσέγγιση είναι παρόμοια με μια εισαγωγή στην ευκλείδεια γεωμετρία με βάση το μοντέλο.

Το αξιωματικό σύστημα του Μπίρκοφ χρησιμοποιήθηκε στο σχολικό εγχειρίδιο δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης των Μπίρκοφ και Μπίτλεϊ. Αυτά τα αξιώματα τροποποιήθηκαν επίσης από την Ομάδα Μελέτης Σχολικών Μαθηματικών (School Mathematics Study Group) για να παρέχουν ένα νέο πρότυπο για τη διδασκαλία της γεωμετρίας στο γυμνάσιο, γνωστό ως αξιώματα SMSG. Μερικά άλλα εγχειρίδια στα θεμέλια της γεωμετρίας χρησιμοποιούν παραλλαγές των αξιωμάτων του Μπίρκοφ.

Τα τέσσερα αξιώματα του Μπίρκοφ

Η απόσταση μεταξύ δύο σημείων A και B συμβολίζεται με d(A, B), και η γωνία που σχηματίζουν τρία σημεία A, B, C συμβολίζεται με ∠ ABC.

Αξίωμα Α': Το αξίωμα του μέτρου της γραμμής.
Το σύνολο των σημείων {A, B, ...} σε οποιαδήποτε ευθεία μπορεί να τεθεί σε αντιστοιχία 1:1 με τους πραγματικούς αριθμούς {a, b, ...} έτσι ώστε |b − a| = d(A, B) για όλα τα σημεία A and B.

Αξίωμα Β': Αξίωμα της σημειακής γραμμής.
Υπάρχει μία και μόνο μία ευθεία ℓ που περιέχει δύο οποιαδήποτε δεδομένα διακριτά σημεία P και Q.

Αξίωμα Γ': Αξίωμα του μέτρου της γωνίας.
Το σύνολο των ακτίνων {ℓ, m, n, ...} που διέρχεται από οποιοδήποτε σημείο O μπορεί να τεθεί σε αντιστοιχία 1:1 με τους πραγματικούς αριθμούς a (mod 2π), έτσι ώστε αν τα A και B είναι σημεία (μη ίσα με το O) των ℓ και m, αντίστοιχα, η διαφορά a_m − a_ℓ (mod 2π) των αριθμών που σχετίζονται με τις ευθείες ℓ και m είναι ∠ AOB. Επιπλέον, αν το σημείο B στο m μεταβάλλεται συνέχεια σε μια ευθεία r που δεν περιέχει την κορυφή O, ο αριθμός a_m μεταβάλλεται επίσης συνεχώς.

Αξίωμα Δ': Αξίωμα της ομοιότητας.
Δίνονται δύο τρίγωνα ABC και A'B'C'  και κάποια σταθερά k > 0 τέτοια ώστε d(A', B' ) = kd(A, B), d(A', C' ) = kd(A, C) και ∠ B'A'C'  = ±∠ BAC, τότε d(B', C' ) = kd(B, C), ∠ C'B'A'  = ±∠ CBA, και ∠ A'C'B'  = ±∠ ACB.

Δημοσιεύσεις

• Scott, J. A. (Νοεμβρίου 2007). «91.68 Bridging parallelograms of equal area». The Mathematical Gazette 91 (522): 530–533. doi:10.1017/S0025557200182257. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2007-11_91_522/page/530. 
• Wilhelm Killing: Lehrbuch Der Analytischen Geometrie. Teil 2, Outlook Verlagsgesellschaft, Bremen 2011, ISBN 978-3-86403-540-1.
• Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd έκδοση), Reading: Addison-Wesley 

• Olivier Faugeras and Q.T. Luong (2001). The Geometry of Multiple Images. MIT Press. ISBN 978-0-262-06220-6. 

• Richard I. Hartley (1992). «Estimation of relative camera positions for uncalibrated cameras». https://link.springer.com/chapter/10.1007/3-540-55426-2_62. 

• Richard Hartley and Andrew Zisserman (2003). Multiple View Geometry in Computer Vision. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54051-3. 

• Richard I. Hartley (1997). «In Defense of the Eight-Point Algorithm». IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence 19 (6): 580–593. doi:10.1109/34.601246. 
• Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2009), When less is more: Visualizing basic inequalities, The Dolciani Mathematical Expositions, 36, Mathematical Association of America, Washington, DC, ISBN 978-0-88385-342-9 
• George David Birkhoff, NNDB MAPPER, https://www.nndb.com/people/926/000166428/ 
• Ball, W. W. Rouse; Coxeter, H. S. M. (1987), Mathematical Recreations and Essays (13th έκδοση), Dover, footnote, p. 77, ISBN 0-486-25357-0 
• Baloglou, George; Helfgott, Michel (2008), «Angles, area, and perimeter caught in a cubic», Forum Geometricorum 8: 13–25, http://forumgeom.fau.edu/FG2008volume8/FG200803.pdf, ανακτήθηκε στις 2018-06-03 
• Roland, Brossard (1964), «Birkhoff's Axioms for Space Geometry», The American Mathematical Monthly, https://www.jstor.org/stable/2312318 
• Barnes, John (2012), Gems of Geometry (2nd, illustrated έκδοση), Springer, σελ. 27, ISBN 9783642309649, https://books.google.com/books?id=7YCUBUd-4BQC&pg=PA27 

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Βικιπαίδεια:Εγχειρίδιο μορφής/Μαθηματικά (Περιέχει και τα αγγλοελληνικά Λεξικά Μαθηματικής Ορολογίας)
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Στοιχεία του Ευκλείδη
• Ευκλείδειος χώρος
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Ομογενές πολυώνυμο
• Παραμετρικές εξισώσεις
• Παραβολή (γεωμετρία)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Κλίμακα Βερνιέρου
• Συνέχεια συνάρτησης
• Μοιρογνωμόνιο
• Πολλαπλασιασμός πινάκων
• Πραγματικός αριθμός
• Χώρος Γραμμών και Χώρος Στηλών
• Μηδενοδύναμο στοιχείο
• Μονοδύναμο στοιχείο
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Euclid’s elements of geometry - The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885) Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Όστιν
• A History of Greek Mathematics, Τόμος 1
• A History of Greek Mathematics: Τόμος 2
• Advanced Euclidean Geometry
• Methods for Euclidean Geometry.
• Exploring Advanced Euclidean Geometry with GeoGebra.
• Methods for Euclidean Geometry
• Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads
• Methods of Geometry
• A Full Axiomatic Development of High School Geometry ....
• Unipotent and Nilpotent Classes in Simple Algebraic Groups and Lie Algebras..

Παραπομπές

• * Β. Ζώτας; Μ. Ρεκλείτης (1980). «Η δημιουργία του συνόλου των πραγματικών αριθμών». Ευκλείδης Β΄ (2): 100-104. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3764. 
• «Isaac Physics». Isaac Physics (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 30 Σεπτεμβρίου 2024. 
• Paolo Vighi, Igino Aschieri: From Art to Mathematics in the Paintings of Theo van Doesburg. In: Vittorio Capecchi (Hrsg.), Massimo Buscema (Hrsg.), Pierluigi Contucci (Hrsg.), Bruno D’Amore (Hrsg.): Applications of Mathematics in Models, Artificial Neural Networks and Arts. Springer, 2010, ISBN 978-90-481-8581-8, S. 601–610, insbesondere S. 303–306