Μονοδύναμο στοιχείο

Στα μαθηματικά, ένα μονοδύναμο στοιχείο r ενός δακτυλίου R είναι ένα τέτοιο στοιχείο ώστε το r − 1 να είναι μηδενοδύναμο στοιχείο- με άλλα λόγια, το (r − 1)ⁿ είναι μηδέν για κάποιο n.

Ειδικότερα, ένας τετραγωνικός πίνακας M είναι μονοδύναμος πίνακας αν και μόνο αν το χαρακτηριστικό του πολυώνυμο P(t) είναι δύναμη του t − 1. Έτσι, όλες οι ιδιοτιμές ενός μονοπολικού πίνακα είναι 1.

Ο όρος οιονεί μονοδύναμος σημαίνει ότι κάποια δύναμη είναι μονοδύναμη, παραδείγματος χάριν για έναν διαγωνοποιήσιμο πίνακα με ιδιοτιμές που είναι όλες ρίζες της μονάδας.

Στη θεωρία των αλγεβρικών ομάδων, ένα στοιχείο μιας ομάδας είναι μονοδύναμο αν δρα μονοδύναμα σε μια ορισμένη φυσική αναπαράσταση ομάδας. Μια μονοδύναμη αφινική αλγεβρική ομάδα είναι τότε μια ομάδα με όλα τα στοιχεία της μονοδύναμα.

Ορισμός

Ορισμός με πίνακες

Θεωρήστε την ομάδα $\mathbb {U} _{n}$ των άνω τριγωνικών πινάκων με $1$ κατά μήκος της διαγωνίου, οπότε είναι η ομάδα των πινάκων

$\mathbb {U} _{n}=\left\{{\begin{bmatrix}1&*&\cdots &*&*\\0&1&\cdots &*&*\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&*\\0&0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}\right\}.$

Τότε, μια μονοδύναμη ομάδα μπορεί να οριστεί ως μια υποομάδα κάποιας $\mathbb {U} _{n}$. Χρησιμοποιώντας την Σχηματική θεωρία η ομάδα $\mathbb {U} _{n}$ μπορεί να οριστεί ως το ομαδικό σχήμα

${\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} \!\left[x_{11},x_{12},\ldots ,x_{nn},{\frac {1}{\text{det}}}\right]}{(x_{ii}=1,x_{i>j}=0)}}\right)$

και ένα σχήμα συγγενών ομάδων είναι μονοδύναμο αν είναι ένα κλειστό σχήμα ομάδων αυτού του σχήματος.

Ορισμός με τη θεωρία δακτυλίων

Ένα στοιχείο x μιας αφινικής αλγεβρικής ομάδας είναι μονοδύναμο όταν ο σχετικός δεξιός τελεστής μετάθεσης, r_x, στον δακτύλιο αφινικών συντεταγμένων A[G] της G είναι τοπικά μονοδύναμος ως στοιχείο του δακτυλίου των γραμμικών ενδομορφισμών του A[G]. (Τοπικά μονοδύναμος σημαίνει ότι ο περιορισμός του σε οποιοδήποτε πεπερασμένης διάστασης σταθερό υποδιάστημα του A[G] είναι μονοδύναμος με τη συνήθη δακτυλιοθεωρητική έννοια).

Μια αφινική αλγεβρική ομάδα ονομάζεται μονοδύναμη αν όλα τα στοιχεία της είναι μονοδύναμα. Κάθε μονοδύναμη αλγεβρική ομάδα είναι ισομορφική με μια κλειστή υποομάδα της ομάδας των άνω τριγωνικών πινάκων με διαγώνιες καταχωρήσεις 1, και αντίστροφα κάθε τέτοια υποομάδα είναι μονοδύναμη. Ειδικότερα, κάθε μονοδύναμη ομάδα είναι μηδενοδύναμη ομάδα , αν και το αντίστροφο δεν ισχύει (αντιπαράδειγμα: οι διαγώνιοι πίνακες της GL_n(k)).

Επί παραδείγματι, η τυπική αναπαράσταση της $\mathbb {U} _{n}$ στο $k^{n}$ με τυπική βάση $e_{i}$ έχει το σταθερό διάνυσμα $e_{1}$.

Ορισμός με τη θεωρία αναπαράστασης

Αν μια μονοδύναμη ομάδα δρα σε μια αφινική ποικιλία, όλες οι τροχιές της είναι κλειστές, και αν δρα γραμμικά σε έναν διανυσματικό χώρο πεπερασμένων διαστάσεων, τότε έχει ένα μη μηδενικό σταθερό διάνυσμα. Στην πραγματικότητα, η τελευταία ιδιότητα χαρακτηρίζει τις μονοδύναμες ομάδες. Συγκεκριμένα, αυτό συνεπάγεται ότι δεν υπάρχουν μη τετριμμένες ημιαπλές αναπαραστάσεις.

Παραδείγματα

U_n

Φυσικά, η ομάδα των πινάκων $\mathbb {U} _{n}$ είναι μονοδύναμη. Χρησιμοποιώντας την κατώτερη κεντρική σειρά

$\mathbb {U} _{n}=\mathbb {U} _{n}^{(0)}\supset \mathbb {U} _{n}^{(1)}\supset \mathbb {U} _{n}^{(2)}\supset \cdots \supset \mathbb {U} _{n}^{(m)}=e$

όπου

$\mathbb {U} _{n}^{(1)}=[\mathbb {U} _{n},\mathbb {U} _{n}]$ and $\mathbb {U} _{n}^{(2)}=[\mathbb {U} _{n},\mathbb {U} _{n}^{(1)}]$

υπάρχουν συναφείς μονοδύναμες ομάδες. Επί παραδείγματι, στο $n=4$, οι κεντρικές σειρές είναι οι ομάδες πινάκων

$\mathbb {U} _{4}=\left\{{\begin{bmatrix}1&*&*&*\\0&1&*&*\\0&0&1&*\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}$, $\mathbb {U} _{4}^{(1)}=\left\{{\begin{bmatrix}1&0&*&*\\0&1&0&*\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}$, $\mathbb {U} _{4}^{(2)}=\left\{{\begin{bmatrix}1&0&0&*\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}$, and $\mathbb {U} _{4}^{(3)}=\left\{{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}$

δίδονται ορισμένα επαγόμενα παραδείγματα μονοδύναμων ομάδων.

G_aⁿ

Η προσθετική ομάδα $\mathbb {G} _{a}$ είναι μια μονοδύναμη ομάδα μέσω της ενσωμάτωσης

$a\mapsto {\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}$

Notice the matrix multiplication gives

${\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&b\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&a+b\\0&1\end{bmatrix}}$

συνεπώς πρόκειται για μια ομαδική ενσωμάτωση. Γενικότερα, υπάρχει μια ενσωμάτωση $\mathbb {G} _{a}^{n}\to \mathbb {U} _{n+1}$ από τον χάρτη

$(a_{1},\ldots ,a_{n})\,\mapsto {\begin{bmatrix}1&a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n-1}&a_{n}\\0&1&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1&0\\0&0&0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}$

Χρησιμοποιώντας τη θεωρία σχημάτων, η $\mathbb {G} _{a}$ δίνεται από τον συναρτητή

${\mathcal {O}}:{\textbf {Sch}}^{op}\to {\textbf {Sets}}$

όπου

$(X,{\mathcal {O}}_{X})\mapsto {\mathcal {O}}_{X}(X)$

Πυρήνας του Φρομπένιους

Ας θεωρήσουμε τον συναρτητή ${\mathcal {O}}$ στην υποκατηγορία ${\textbf {Sch}}/\mathbb {F} _{p}$, υπάρχει ο υποσυναρτησής $\alpha _{p}$ όπου

$\alpha _{p}(X)=\{x\in {\mathcal {O}}(X):x^{p}=0\}$

οπότε δίνεται από τον πυρήνα του ενδομορφισμού Φρομπένιους.

Ταξινόμηση των μονοδύναμων ομάδων πάνω από τη χαρακτηριστική 0

Πάνω από το χαρακτηριστικό 0 υπάρχει μια ωραία ταξινόμηση των μονοδύναμων αλγεβρικών ομάδων σε σχέση με τις μηδενοδύναμές άλγεβρες Λι. Υπενθυμίζουμε ότι μια μηδενοδύναμή άλγεβρα Λι είναι μια υποάλγεβρα κάποιας ${\mathfrak {gl}}_{n}$ τέτοια ώστε η επαναληπτική συγγενής δράση να καταλήγει τελικά στο μηδενικό χάρτη. Σε όρους πινάκων, αυτό σημαίνει ότι είναι μια υποάλγεβρα ${\mathfrak {g}}$ της ${\mathfrak {n}}_{n}$, οι πίνακες με $a_{ij}=0$ για $i\leq j$.

Τότε, υπάρχει μια ισοδυναμία των κατηγοριών των πεπερασμένης διάστασης μηδενοδύναμων αλγεβρών Λι και των μονοδύναμων αλγεβρικών ομάδων. ^{σελίδα 261} Αυτή μπορεί να κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας τη Σειρά Μπέικερ- Κάμπελ- Χάουσντορφ $H(X,Y)$, όπου δεδομένης μιας πεπερασμένης διάστασης μηδενοδύναμης άλγεβρας Λι, ο χάρτης

$H:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}{\text{ όπου }}(X,Y)\mapsto H(X,Y)$

δίνει μια μονοδύναμη αλγεβρική δομή ομάδας στην ${\mathfrak {g}}$.

Στην άλλη κατεύθυνση ο εκθετικός χάρτης μετατρέπει κάθε μηδενοδύναμο τετραγωνικό πίνακα σε μονοδύναμο πίνακα. Επιπλέον, αν η U είναι μια αντιμεταθετική μονοδύναμη ομάδα, ο εκθετικός χάρτης επάγει έναν ισομορφισμό από την άλγεβρα Λι της U στην ίδια την U.

Παρατηρήσεις

Οι μονοδύναμες ομάδες πάνω σε ένα αλγεβρικά κλειστό σώμα οποιασδήποτε διάστασης μπορούν κατ' αρχήν να ταξινομηθούν, αλλά στην πράξη η πολυπλοκότητα της ταξινόμησης αυξάνεται πολύ γρήγορα με τη διάσταση, οπότε οι άνθρωποι τείνουν να εγκαταλείπουν κάπου γύρω στη διάσταση 6.

Μονοδύναμη ρίζα

Η μονοδύναμη ρίζα μιας αλγεβρικής ομάδας G είναι το σύνολο των μονοδύναμων στοιχείων της ρίζας της G. Είναι μια συνδεδεμένη μονοδύναμη κανονική υποομάδα της G, και περιέχει όλες τις άλλες τέτοιες υποομάδες. Μια ομάδα ονομάζεται αναγωγική αν η μονοδύναμη ρίζα της είναι τετριμμένη. Αν η G είναι αναγωγική τότε η ρίζα της είναι ένας τόρος.

Διάσπαση αλγεβρικών ομάδων

Οι αλγεβρικές ομάδες μπορούν να διασπαστούν σε μονοδύναμες ομάδες, πολλαπλασιαστικές ομάδες και αβελιανές ποικιλίες, αλλά η δήλωση του τρόπου διάσπασής τους εξαρτάται από τη χαρακτηριστική του πεδίου βάσης τους.

Χαρακτηριστικό 0

Πάνω από το χαρακτηριστικό 0 υπάρχει ένα ωραίο θεώρημα αποσύνθεσης μιας αλγεβρικής ομάδας $G$ που συσχετίζει τη δομή της με τη δομή μιας γραμμικής αλγεβρικής ομάδας και μιας αβελιανής ποικιλίας. Υπάρχει μια σύντομη ακριβής ακολουθία ομάδων ^{page 8}

$0\to M\times U\to G\to A\to 0$

όπου $A$ είναι μια αβελιανή ποικιλία, $M$ είναι πολλαπλασιαστικού τύπου (δηλαδή, $M$ είναι, γεωμετρικά, ένα γινόμενο tori και αλγεβρικών ομάδων της μορφής $\mu _{n}$) και $U$ είναι μια μονοδύναμη ομάδα.

Χαρακτηριστικό p

Όταν η χαρακτηριστική του πεδίου βάσης είναι p υπάρχει μια ανάλογη δήλωση για μια αλγεβρική ομάδα $G$: υπάρχει μια μικρότερη υποομάδα $H$ τέτοια ώστε

1. $G/H$ είναι μονοδύναμη ομάδα
2. $H$ είναι επέκταση μιας αβελιανής ποικιλίας $A$ από μια ομάδα $M$ πολλαπλασιαστικού τύπου.

Η # $M$ είναι μοναδική μέχρι την συγκρισιμότητα στην $G$ και η $A$ είναι μοναδική μέχρι την ισογένεια.

Παραγοντοποίηση Ζορντάν

Κάθε στοιχείο g μιας γραμμικής αλγεβρικής ομάδας πάνω από ένα τέλειο σώμα μπορεί να γραφεί με μοναδικό τρόπο ως το γινόμενο g = g_u  g_s των αντιμετατιθέμενων μονοδύναμων και ημιαπλών στοιχείων g_u και g_s. Στην περίπτωση της ομάδας GLn(C), αυτό ουσιαστικά λέει ότι οποιοσδήποτε αντιστρέψιμος μιγαδικός πίνακας είναι συζυγής με το γινόμενο ενός διαγώνιου πίνακα και ενός άνω τριγωνικού, το οποίο είναι (λίγο πολύ) η πολλαπλασιαστική εκδοχή της παραγοντοποίησης Ζορντάν-Σεβαλλί.

Υπάρχει επίσης μια εκδοχή της αποσύνθεσης Ζορντάν για ομάδες: Κάθε αντιμεταθετική γραμμική αλγεβρική ομάδα πάνω από ένα τέλειο σώμα είναι το γινόμενο μιας μονοδύναμης ομάδας και μιας ημιαπλής ομάδας.

Δημοσιεύσεις

• Olivier D. Faugeras (1992). «What can be seen in three dimensions with an uncalibrated stereo rig?». 

• Olivier D. Faugeras; Q.T. Luong; Steven Maybank (1992). «Camera self-calibration: Theory and experiments». doi:10.1007/3-540-55426-2_37. 

• Q.T. Luong and Olivier D. Faugeras (1996). «The Fundamental Matrix: Theory, Algorithms, and Stability Analysis». International Journal of Computer Vision 17 (1): 43–75. doi:10.1007/BF00127818. 

• Olivier Faugeras and Q.T. Luong (2001). The Geometry of Multiple Images. MIT Press. ISBN 978-0-262-06220-6. 

• Richard I. Hartley (1992). «Estimation of relative camera positions for uncalibrated cameras». https://link.springer.com/chapter/10.1007/3-540-55426-2_62. 

• Richard Hartley and Andrew Zisserman (2003). Multiple View Geometry in Computer Vision. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54051-3. 

• Richard I. Hartley (1997). «In Defense of the Eight-Point Algorithm». IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence 19 (6): 580–593. doi:10.1109/34.601246. 
• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Company, ISBN 0-395-14017-X, https://archive.org/details/firstcourseinlin0000beau 
• Garibaldi, Skip (2004), «The characteristic polynomial and determinant are not ad hoc constructions», American Mathematical Monthly 111 (9): 761–778, doi:10.2307/4145188 
• Werner Greub (1974) Linear Algebra 4th edition, pp 120–5, Springer, ISBN 0-387-90110-8 .
• Paul C. Shields (1980) Elementary Linear Algebra 3rd edition, p 274, Worth Publishers ISBN 0-87901-121-1
• Gilbert Strang (1988) Linear Algebra and Its Applications 3rd edition, p 246, Brooks/Cole ISBN 0-15-551005-3
• Bourbaki, Nicolas (1998), Algebra I, Chapters 1-3, Springer, ISBN 9783540642435 

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Μιγαδικός αριθμός
• Αντιερμιτιανός πίνακας
• Μέγιστος κοινός διαιρέτης
• Υπολογιστική βιολογία
• Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Συμμετρικός πίνακας
• Άλγεβρα Μπουλ
• Πολλαπλασιασμός πινάκων
• Επαναλαμβανόμενη συνάρτηση
• Χώρος Γραμμών και Χώρος Στηλών
• Αντιστρέψιμος πίνακας
• Σχέση ισοδυναμίας
• Μηδενοριζικό
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix calculator
• Matrix Analysis
• Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
• Foundation Mathematics for Computer Science: A Visual Approach
• Multidimensional Statistical Analysis and Theory of Random Matrices ...
• Quantum Probability and Spectral Analysis of Graphs.
• Symplectic Methods in Harmonic Analysis and in Mathematical Physics...
• Faith and Philosophy: Discourses and Essays ...
• High Performance Algorithms for Structured Matrix Problems ..
• Ratner's Theorems on Unipotent Flows ......
• Unipotent and Nilpotent Classes in Simple Algebraic Groups and Lie Algebras..

Παραπομπές

• A. Borel, Linear algebraic groups, (ISBN 0-387-97370-2)
• Borel, Armand (1956), «Groupes linéaires algébriques», Annals of Mathematics, Second Series (Annals of Mathematics) 64 (1): 20–82, doi:10.2307/1969949 
• Popov, V.L. (2001), «unipotent element», στο: Hazewinkel, Michiel, επιμ., Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=U/u095400 
• Popov, V.L. (2001), «unipotent group», στο: Hazewinkel, Michiel, επιμ., Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=U/u095410 
• Suprunenko, D.A. (2001), «unipotent matrix», στο: Hazewinkel, Michiel, επιμ., Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=U/u095420