Μηδενοριζικό

Στην άλγεβρα, το µηδενοριζικό^[1]^[2] ενός αντιμεταθετικού δακτυλίου είναι το ιδεώδες που αποτελείται από τα μηδενοδύναμα στοιχεία:

{\mathfrak {N}}_{R}=\lbrace f\in R\mid f^{m}=0{\text{ for some }}m\in \mathbb {Z} _{>0}\rbrace .

Είναι επομένως η ρίζα του μηδενικού ιδεώδες. Εάν το µηδενοριζικό είναι το μηδενικό ιδεώδες, ο δακτύλιος καλείται µειωµένος δακτύλιος. Το µηδενοριζικό ενός αντιμεταθετικού δακτυλίου είναι η τομή όλων των πρώτων ιδεωδών.

Στην περίπτωση των μη αντιμεταθετικών δακτυλίων ο ίδιος ορισμός δεν ισχύει πάντα. Αυτό είχε ως αποτέλεσμα αρκετές ρίζες να γενικεύουν την αντιμεταθετική περίπτωση με διαφορετικούς τρόπους- δείτε το άρθρο Ρίζα ενός δακτυλίου^[3] για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με αυτό. :

Το µηδενοριζικό μιας άλγεβρας Λι ορίζεται ομοίως για τις άλγεβρες Λι.

Αντιμεταθετικοί δακτύλιοι

Το µηδενοριζικό ενός αντιμεταθετικού δακτυλίου είναι το σύνολο όλων των μηδενοδύναμων στοιχείων του δακτυλίου, ή ισοδύναμα η ρίζα του μηδενικού ιδεώδους. Αυτό είναι ένα ιδεώδες επειδή το άθροισμα δύο μηδενικών στοιχείων είναι μηδενικό (από τον διωνυμικό τύπο) και το γινόμενο οποιουδήποτε στοιχείου με ένα μηδενοδύναμο στοιχείο είναι μηδενικό (από την αντιμεταθετικότητα). Μπορεί επίσης να χαρακτηριστεί ως η τομή όλων των πρώτων ιδεωδών του δακτυλίου (στην πραγματικότητα, είναι η τομή όλων των ελάχιστων πρώτων ιδεωδών).^[4]

 Πρόταση:^[5] Έστω  $R$  ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος. Τότε το μηδενικό  ${\mathfrak {N}}_{R}$  του  $R$  ισούται με την τομή όλων των πρώτων ιδεωδών του  $R.$

Μαθηματική απόδειξη:
Πρώτον, το µηδενοριζικό  περιέχεται σε κάθε πρωταρχικό ιδεώδες. Πράγματι, αν  $r\in {\mathfrak {N}}_{R},$  έχουμε  $r^{n}=0$  για κάποιο θετικό ακέραιο  $n.$  Αφού κάθε ιδεώδες περιέχει το 0 και κάθε πρωταρχικό ιδεώδες που περιέχει ένα γινόμενο, εδώ  $r^{n}=0,$  περιέχει έναν από τους παράγοντες του, συμπεραίνουμε ότι κάθε πρωταρχικό ιδεώδες περιέχει το  $r.$ 

Αντίστροφα, έστω  $f\notin {\mathfrak {N}}_{R};$  πρέπει να αποδείξουμε ότι υπάρχει ένα πρώτο ιδεώδες που δεν περιέχει το  $f.$  Θεωρούμε το σύνολο  $\Sigma$  όλων των ιδεωδών που δεν περιέχουν καμία δύναμη του  $f.$  Έχουμε  $(0)\in \Sigma ,$  από τον ορισμό του μηδενικού. Για κάθε αλυσίδα  $J_{1}\subseteq J_{2}\subseteq \dots$  ιδανικών στο  $\Sigma ,$  η ένωση  ${\textstyle J=\bigcup _{i\geq 1}J_{i}}$  είναι ένα ιδεώδες που ανήκει στο  $\Sigma ,$  αφού αλλιώς θα περιείχε μια δύναμη του  $f,$  που πρέπει να ανήκει σε κάποιο  $J_{i},$  αντιφάσκοντας με τον ορισμό του  $J_{i}.$ 

Έτσι, το  $\Sigma$  είναι ένα μερικώς διατεταγμένο με εγκλεισμό συνόλου, έτσι ώστε κάθε αλυσίδα να έχει ένα ελάχιστο άνω όριο. Συνεπώς, ισχύει το Λήμμα του Τσορν και υπάρχει ένα μέγιστο στοιχείο  ${\mathfrak {m}}\in \Sigma$ . Τώρα πρέπει να αποδείξουμε ότι το  ${\mathfrak {m}}$  είναι ένα πρώτο ιδεώδες. Αν δεν ήταν πρώτος αριθμός θα υπήρχαν δύο στοιχεία  $g\in R$  και  $h\in R$  τέτοια ώστε  $g\notin {\mathfrak {m}},$   $h\notin {\mathfrak {m}},$  και  $gh\in {\mathfrak {m}}$ . Από τη μεγιστοποίηση του  ${\mathfrak {m}},$  έχουμε  ${\mathfrak {m}}+(g)\notin \Sigma$  και  ${\mathfrak {m}}+(h)\notin \Sigma .$  Άρα υπάρχουν θετικοί ακέραιοι  $r$  και  $s$  τέτοιοι ώστε  $f^{r}\in {\mathfrak {m}}+(g)$  και  $f^{s}\in {\mathfrak {m}}+(h).$  Προκύπτει ότι  $f^{r}f^{s}=f^{r+s}\in {\mathfrak {m}}+(gh)={\mathfrak {m}},$  που αντιφάσκει με το γεγονός ότι  ${\mathfrak {m}}$  είναι στο  $\Sigma$ . Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη, αφού έχουμε αποδείξει την ύπαρξη ενός πρώτου ιδεώδους που δεν περιέχει το  $f.$

Ένας δακτύλιος ονομάζεται ελαττωμένος αν δεν έχει μη μηδενικό μηδενοδύναμο. Έτσι, ένας δακτύλιος είναι ανηγμένος αν και μόνο αν το µηδενοριζικό του είναι μηδέν. Αν ο R είναι ένας αυθαίρετος αντιμεταθετικός δακτύλιος, τότε το πηλίκο του με το µηδενοριζικό είναι ένας µειωµένος δακτύλιος και συμβολίζεται με $R_{\text{red}}$ .

Δεδομένου ότι κάθε μέγιστο ιδεώδες είναι ένα πρώτο ιδεώδες, η ρίζα Τζέικομπσον - η οποία είναι η τομή των μέγιστων ιδεωδών - πρέπει να περιέχει το μηδενικό ιδεώδες. Ένας δακτύλιος R ονομάζεται δακτύλιος Τζέικομπσον αν το µηδενοριζικό και η ρίζα Τζέικομπσον του R/P συμπίπτουν για όλα τα πρώτα ιδεώδη P του R. Ένας δακτύλιος Αρτινιάν είναι Τζέικομπσον και το µηδενοριζικό του είναι το μέγιστο μηδενικό ιδεώδες του δακτυλίου. Γενικά, αν το µηδενοριζικό είναι πεπερασμένης παραγωγής (π.χ. ο δακτύλιος είναι Ναιτεριανός), τότε είναι μηδενικό.

Μη αντιμεταθετικοί δακτύλιοι

Για τους μη- αντιμεταθετικούς δακτυλίους, υπάρχουν διάφορα ανάλογα του µηδενοριζικού^[6]. Το κατώτερο µηδενοριζικό (ή ρίζα Μπέερ-Μακ Κόι, ή πρωταρχικό ριζικό) είναι το ανάλογο της ρίζας του µηδενικού ιδεώδους και ορίζεται ως η τοµή των πρώτων ιδεωδών του δακτυλίου. Το ανάλογο του συνόλου όλων των μηδενοδύναμων στοιχείων είναι το άνω µηδενοριζικο και ορίζεται ως το ιδεώδες που παράγεται από όλα τα µηδενοριζικά ιδεώδη του δακτυλίου, το οποίο είναι το ίδιο μηδενικό ιδεώδες. Το ίδιο το σύνολο όλων των μηδενοδύναμων στοιχείων δεν χρειάζεται να είναι ιδεώδες (ή ακόμη και υποομάδα), οπότε το άνω µηδενοριζικό μπορεί να είναι πολύ μικρότερο από αυτό το σύνολο. Η ρίζα Λεβίτσκι βρίσκεται στο ενδιάμεσο και ορίζεται ως το μεγαλύτερο τοπικά μη μηδενοδύναμο ιδεώδες. Όπως και στην αντιμεταθετική περίπτωση, όταν ο δακτύλιος είναι αρτινικός, η ρίζα Λεβίτσκι είναι μηδενική και έτσι είναι το μοναδικό μεγαλύτερο μηδενοδύναμο ιδεώδες. Πράγματι, αν ο δακτύλιος είναι απλώς Ναιτεριανός, τότε η κάτω, η άνω και η ρίζα Λεβίτσκι είναι μηδενοδύναμες και συμπίπτουν, επιτρέποντας στο µηδενοριζικό οποιουδήποτε Ναιτεριανού δακτυλίου να οριστεί ως το μοναδιαίο μεγαλύτερο (αριστερό, δεξιό ή αμφίπλευρο) µηδενοδύναμο ιδεώδες του δακτυλίου.

Δημοσιεύσεις

Olivier D. Faugeras (1992). «What can be seen in three dimensions with an uncalibrated stereo rig?».

Olivier D. Faugeras; Q.T. Luong; Steven Maybank (1992). «Camera self-calibration: Theory and experiments». doi:10.1007/3-540-55426-2_37.

Q.T. Luong and Olivier D. Faugeras (1996). «The Fundamental Matrix: Theory, Algorithms, and Stability Analysis». International Journal of Computer Vision 17 (1): 43–75. doi:10.1007/BF00127818.

Olivier Faugeras and Q.T. Luong (2001). The Geometry of Multiple Images. MIT Press. ISBN 978-0-262-06220-6.

Richard I. Hartley (1992). «Estimation of relative camera positions for uncalibrated cameras». https://link.springer.com/chapter/10.1007/3-540-55426-2_62.

Richard Hartley and Andrew Zisserman (2003). Multiple View Geometry in Computer Vision. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54051-3.

Richard I. Hartley (1997). «In Defense of the Eight-Point Algorithm». IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence 19 (6): 580–593. doi:10.1109/34.601246.
Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Company, ISBN 0-395-14017-X, https://archive.org/details/firstcourseinlin0000beau
Garibaldi, Skip (2004), «The characteristic polynomial and determinant are not ad hoc constructions», American Mathematical Monthly 111 (9): 761–778, doi:10.2307/4145188
Bott, Raoul (1988). «Morse Theory Indomitable». Publications Mathématiques de l'IHÉS 68: 99–114. doi:10.1007/bf02698544. http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1988__68__99_0.
Paul C. Shields (1980) Elementary Linear Algebra 3rd edition, p 274, Worth Publishers ISBN 0-87901-121-1
Griffiths, David J. (1999). Introduction to Electrodynamics (3rd έκδοση). Upper Saddle River, New Jersey: Prentice Hall. ISBN 978-0138053260.
Bourbaki, Nicolas (1998), Algebra I, Chapters 1-3, Springer, ISBN 9783540642435

Δείτε επίσης

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Παραπομπές

↑ «Comm. Algebra - The Nilradical». crypto.stanford.edu. Ανακτήθηκε στις 25 Σεπτεμβρίου 2024.
↑ Cagliero, Leandro; Levstein, Fernando; Szechtman, Fernando (2021-11-01). «Nilpotency degree of the nilradical of a solvable Lie algebra on two generators and uniserial modules associated to free nilpotent Lie algebras». Journal of Algebra 585: 447–483. doi:10.1016/j.jalgebra.2021.06.008. ISSN 0021-8693. https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0021869321003082.
↑ Gardner, J. W.· Wiegandt, R. (19 Νοεμβρίου 2003). Radical Theory of Rings. CRC Press. ISBN 978-0-203-91335-2.
↑ Kyomuhangi, Annet; Ssevviiri, David (2020-12-01). «The locally nilradical for modules over commutative rings» (στα αγγλικά). Beiträge zur Algebra und Geometrie / Contributions to Algebra and Geometry 61 (4): 759–769. doi:10.1007/s13366-020-00491-x. ISSN 2191-0383. https://link.springer.com/article/10.1007/s13366-020-00491-x.
↑ Atiyah, Michael· Macdonald, Ian (1994). Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley. ISBN 0-201-40751-5. , p.5
↑ Wirsing, Sven Bodo (8 Δεκεμβρίου 2016). Maximal nilpotent subalgebras I: Nilradicals and Cartan subalgebras in associative algebras. With 428 exercises. diplom.de. ISBN 978-3-96067-603-4.

A. Borel, Linear algebraic groups, (ISBN 0-387-97370-2)
Borel, Armand (1956), «Groupes linéaires algébriques», Annals of Mathematics, Second Series (Annals of Mathematics) 64 (1): 20–82, doi:10.2307/1969949
Eisenbud, David, "Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry", Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, (ISBN 0-387-94268-8).
Lam, Tsit-Yuen (2001), A First Course in Noncommutative Rings (2nd έκδοση), Berlin, New York: en:Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95325-0

[1] «Comm. Algebra - The Nilradical». crypto.stanford.edu. Ανακτήθηκε στις 25 Σεπτεμβρίου 2024.

[2] Cagliero, Leandro; Levstein, Fernando; Szechtman, Fernando (2021-11-01). «Nilpotency degree of the nilradical of a solvable Lie algebra on two generators and uniserial modules associated to free nilpotent Lie algebras». Journal of Algebra 585: 447–483. doi:10.1016/j.jalgebra.2021.06.008. ISSN 0021-8693. https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0021869321003082.

[3] Gardner, J. W.· Wiegandt, R. (19 Νοεμβρίου 2003). Radical Theory of Rings. CRC Press. ISBN 978-0-203-91335-2.

[4] Kyomuhangi, Annet; Ssevviiri, David (2020-12-01). «The locally nilradical for modules over commutative rings» (στα αγγλικά). Beiträge zur Algebra und Geometrie / Contributions to Algebra and Geometry 61 (4): 759–769. doi:10.1007/s13366-020-00491-x. ISSN 2191-0383. https://link.springer.com/article/10.1007/s13366-020-00491-x.

[5] Atiyah, Michael· Macdonald, Ian (1994). Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley. ISBN 0-201-40751-5. , p.5

[6] Wirsing, Sven Bodo (8 Δεκεμβρίου 2016). Maximal nilpotent subalgebras I: Nilradicals and Cartan subalgebras in associative algebras. With 428 exercises. diplom.de. ISBN 978-3-96067-603-4.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]