Συνάρτηση μάζας πιθανότητας για την αρνητική διωνυμική κατανομή με
r
=
2
,
4
,
6
{\displaystyle r=2,4,6}
p
=
0.35
{\displaystyle p=0.35}
Αθροιστική συνάρτηση κατανομής για την αρνητική διωνυμική κατανομή με
r
=
2
,
4
,
6
{\displaystyle r=2,4,6}
p
=
0.35
{\displaystyle p=0.35}
Αρνητική Διωνυμική Κατανομή
Συμβολισμός
N
B
(
r
,
p
)
{\displaystyle {\mathsf {NB}}(r,p)}
Παράμετροι
r
∈
N
{\displaystyle r\in \mathbb {N} }
p
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle p\in [0,1]}
Φορέας
k
∈
{
0
,
1
,
2
,
…
}
{\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots \}}
Συνάρτηση Μάζας
(
r
+
k
−
1
r
−
1
)
p
r
(
1
−
p
)
k
{\displaystyle {\binom {r+k-1}{r-1}}p^{r}(1-p)^{k}}
Μέσος
r
⋅
1
−
p
p
{\displaystyle r\cdot {\frac {1-p}{p}}}
Διάμεσος
⌊
n
⋅
p
⌋
{\displaystyle \lfloor n\cdot p\rfloor }
⌈
n
⋅
p
⌉
{\displaystyle \lceil n\cdot p\rceil }
Διακύμανση
r
⋅
1
−
p
p
2
{\displaystyle r\cdot {\frac {1-p}{p^{2}}}}
Λοξότητα
1
+
p
p
r
{\displaystyle {\frac {1+p}{\sqrt {pr}}}}
Κύρτωση
6
r
+
p
2
(
1
−
p
)
⋅
r
−
3
{\displaystyle {\frac {6}{r}}+{\frac {p^{2}}{(1-p)\cdot r}}-3}
Πιθανογεννήτρια
(
p
1
−
(
1
−
p
)
t
)
r
{\displaystyle \left({\frac {p}{1-(1-p)t}}\right)^{r}}
|
t
|
<
1
/
p
{\displaystyle |t|<1/p}
Χαρακτηριστική
(
p
1
−
(
1
−
p
)
e
t
)
r
{\displaystyle \left({\frac {p}{1-(1-p)e^{t}}}\right)^{r}}
t
<
−
log
p
{\displaystyle t<-\log p}
Στην θεωρία πιθανοτήτων και στη στατιστική , η αρνητική διωνυμική κατανομή είναι μια διακριτή συνάρτηση κατανομής τυχαίας μεταβλητής . Περιγράφει το πλήθος των φορών που πρέπει να επαναλάβουμε ένα τυχαίο πείραμα με δυο πιθανά αποτελέσματα (επιτυχία - αποτυχία) και πιθανότητα επιτυχίας
p
{\displaystyle p}
r
{\displaystyle r}
Θεωρούμε την τυχαία μεταβλητή
X
{\displaystyle X}
r
+
k
{\displaystyle r+k}
r
∈
N
{\displaystyle r\in \mathbb {N} }
k
∈
N
{\displaystyle k\in \mathbb {N} }
p
∈
(
0
,
1
)
{\displaystyle p\in (0,1)}
[ 1] [ 2] [ 3]
P
(
X
=
k
)
=
(
r
+
k
−
1
r
−
1
)
p
r
(
1
−
p
)
k
{\displaystyle \operatorname {P} (X=k)={\binom {r+k-1}{r-1}}p^{r}(1-p)^{k}}
Έστω
X
1
,
…
,
X
k
{\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{k}}
ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές ώστε
X
i
+
1
{\displaystyle X_{i}+1}
γεωμετρική κατανομή
G
e
o
m
(
p
)
{\displaystyle {\mathsf {Geom}}(p)}
X
1
+
…
+
X
r
∼
N
B
(
r
,
p
)
.
{\displaystyle X_{1}+\ldots +X_{r}\sim {\mathsf {NB}}(r,p).}
Η μέση τιμή προκύπτει από τον ορισμό ως το άθροισμα
r
{\displaystyle r}
E
[
X
]
=
E
[
∑
i
=
1
r
X
i
]
=
∑
i
=
1
r
E
[
X
i
]
=
r
⋅
(
1
p
−
1
)
=
r
⋅
1
−
p
p
,
{\displaystyle \operatorname {E} [X]=\operatorname {E} \left[\sum _{i=1}^{r}X_{i}\right]=\sum _{i=1}^{r}\operatorname {E} [X_{i}]=r\cdot \left({\frac {1}{p}}-1\right)=r\cdot {\frac {1-p}{p}},}
χρησιμοποιώντας ότι
E
[
X
i
+
1
]
=
1
p
{\displaystyle \operatorname {E} [X_{i}+1]={\frac {1}{p}}}
Αντίστοιχα, από τον ορισμό της διακύμανσης και αφού
X
1
,
…
,
X
k
{\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{k}}
V
[
X
]
=
V
[
∑
i
=
1
r
X
i
]
=
r
⋅
V
[
X
1
]
=
r
⋅
1
−
p
p
2
{\displaystyle \operatorname {V} [X]=\operatorname {V} \left[\sum _{i=1}^{r}X_{i}\right]=r\cdot \operatorname {V} [X_{1}]=r\cdot {\frac {1-p}{p^{2}}}}
Χρησιμοποιώντας ότι
X
=
∑
i
=
1
r
X
i
{\textstyle X=\sum _{i=1}^{r}X_{i}}
X
i
+
1
{\displaystyle X_{i}+1}
E
[
t
X
]
=
E
[
t
∑
i
=
1
n
X
i
]
=
∏
i
=
1
r
E
[
t
X
i
]
=
(
p
1
−
(
1
−
p
)
e
t
)
r
,
{\displaystyle \operatorname {E} [t^{X}]=\operatorname {E} [t^{\sum _{i=1}^{n}X_{i}}]=\prod _{i=1}^{r}\operatorname {E} [t^{X_{i}}]=\left({\frac {p}{1-(1-p)e^{t}}}\right)^{r},}
αφού
E
[
t
X
i
−
1
]
=
p
e
t
1
−
(
1
−
p
)
t
{\displaystyle \operatorname {E} [t^{X_{i}-1}]={\frac {pe^{t}}{1-(1-p)t}}}
|
t
|
<
1
/
p
{\displaystyle |t|<1/p}
Χρησιμοποιώντας ότι
X
=
∑
i
=
1
r
X
i
{\textstyle X=\sum _{i=1}^{r}X_{i}}
X
i
+
1
{\displaystyle X_{i}+1}
E
[
e
t
X
]
=
E
[
e
∑
i
=
1
n
X
i
]
=
∏
i
=
1
r
E
[
e
t
X
i
]
=
(
p
1
−
(
1
−
p
)
e
t
)
r
,
{\displaystyle \operatorname {E} [e^{tX}]=\operatorname {E} [e^{\sum _{i=1}^{n}X_{i}}]=\prod _{i=1}^{r}\operatorname {E} [e^{tX_{i}}]=\left({\frac {p}{1-(1-p)e^{t}}}\right)^{r},}
αφού
E
[
e
t
(
X
i
−
1
)
]
=
p
e
t
1
−
(
1
−
p
)
e
t
{\displaystyle \operatorname {E} [e^{t(X_{i}-1)}]={\frac {pe^{t}}{1-(1-p)e^{t}}}}
t
<
−
log
p
{\displaystyle t<-\log p}
![{\displaystyle p\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33c3a52aa7b2d00227e85c641cca67e85583c43c)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X]=\operatorname {E} \left[\sum _{i=1}^{r}X_{i}\right]=\sum _{i=1}^{r}\operatorname {E} [X_{i}]=r\cdot \left({\frac {1}{p}}-1\right)=r\cdot {\frac {1-p}{p}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30416d63884624c966fd223cf5332cbfedc3adb8)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X_{i}+1]={\frac {1}{p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1913506e0648ca6d87e62ccbe29874b668e717c)
![{\displaystyle \operatorname {V} [X]=\operatorname {V} \left[\sum _{i=1}^{r}X_{i}\right]=r\cdot \operatorname {V} [X_{1}]=r\cdot {\frac {1-p}{p^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec327ce3578df63856bf804a3c22eb50ed4a44df)
![{\displaystyle \operatorname {E} [t^{X}]=\operatorname {E} [t^{\sum _{i=1}^{n}X_{i}}]=\prod _{i=1}^{r}\operatorname {E} [t^{X_{i}}]=\left({\frac {p}{1-(1-p)e^{t}}}\right)^{r},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d11175795bef75433088c4263e2f5297fd6a7b4)
![{\displaystyle \operatorname {E} [t^{X_{i}-1}]={\frac {pe^{t}}{1-(1-p)t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/118319f6d26ca1541d8c41c75dd7c0b29dafd286)
![{\displaystyle \operatorname {E} [e^{tX}]=\operatorname {E} [e^{\sum _{i=1}^{n}X_{i}}]=\prod _{i=1}^{r}\operatorname {E} [e^{tX_{i}}]=\left({\frac {p}{1-(1-p)e^{t}}}\right)^{r},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/821a1738e82fda5b4bb61cb856b311b37450a29f)
![{\displaystyle \operatorname {E} [e^{t(X_{i}-1)}]={\frac {pe^{t}}{1-(1-p)e^{t}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e197bef0f2078b6cc5baba700dd7bf5bab2ddcbc)