Επεκτεταμένη πραγματική ευθεία

Επεκτεταμένοι πραγματικοί αριθμοί: α) Αφφινικοί επεκτεταμένοι πραγματικοί αριθμοί και β) Προβολικοί επεκτεταμένοι πραγματικοί αριθμοί

Στα μαθηματικά, το επεκτεταμένο σύστημα των πραγματικών αριθμών είναι ένα σύστημα των πραγματικών αριθμών $\mathbb {R}$ με την πρόσθεση δύο στοιχείων απείρου, το $+\infty$ και το $-\infty ,$ όπου τα άπειρα αντιμετωπίζονται ως πραγματικοί αριθμοί. Είναι χρήσιμο στην περιγραφή της άλγεβρας για τα άπειρα και των διαφόρων ορίων στον λογισμό και στην μαθηματική ανάλυση, ειδικότερα στη θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης. Το επεκτεταμένο σύστημα των πραγματικών αριθμών συμβολίζεται με ${\overline {\mathbb {R} }}$ ή $[-\infty ,+\infty ]$ ή $\mathbb {R} \cup \left\{-\infty ,+\infty \right\}.$

Υπάρχει επίσης και η προβολική επεκτεταμένη πραγματική ευθεία όπου το $+\infty$ και το $-\infty$ δεν διακρίνονται, άρα το άπειρο συμβολίζεται μόνο με $\infty$.

Κίνητρο

Όρια

Είναι συχνά χρήσιμο να περιγράψουμε τη συμπεριφορά μιας συνάρτησης $f$ καθώς είτε το $x$ είτε η τιμή της συνάρτησης $f$ γίνεται "άπειρα μεγάλη" κατά κάποιο τρόπο. Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε την παρακάτω συνάρτηση:

$f(x)={\frac {1}{x^{2}}}.$

Το γράφημα αυτής της συνάρτησης έχει μια οριζόντια ασύμπτωτη, την ευθεία $y=0.$ Γεωμετρικά, όσο κινούμαστε όλο και πιο δεξιά κατά μήκος του άξονα $x$, η τιμή του ${\textstyle {1}/{x^{2}}}$ τείνει στο 0. Αυτή η οριακή συμπεριφορά είναι παρόμοια με το όριο μιας συνάρτησης ${\textstyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)}$ στην οποία ο πραγματικός αριθμός $x$ προσεγγίζει το $x_{0},$ αλλά στην πρώτη περίπτωση δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός στον οποίο το $x$ προσεγγίζει.

Με τη προσθήκη του $+\infty$ και του $-\infty$ στο $\mathbb {R} ,$ επιτρέπεται η διατύπωση ενός "ορίου στο άπειρο", με τοπολογικές ιδιότητες παρόμοιες με εκείνες στο $\mathbb {R} .$

Για να πούμε τα πράγματα εντελώς αυστηρά, ο ορισμός της ακολουθίας Κωσύ στο $\mathbb {R}$ επιτρέπει τον ορισμό του $+\infty$ ως το σύνολο όλων των ακολουθιών $(a_{n})$ των ρητών αριθμών έτσι ώστε κάθε $M\in \mathbb {R}$ να συνδέεται με ένα αντίστοιχο $N\in \mathbb {N}$ για το οποίο $a_{n}>M$ για κάθε $n>N.$ Ο ορισμός του $-\infty$ μπορεί να κατασκευαστεί παρόμοια.

Μέτρο και ολοκλήρωση

Στη θεωρία μέτρου, είναι συχνά χρήσιμο να επιτρέπονται σύνολα που έχουν άπειρο μέτρο και ολοκληρώματα των οποίων η τιμή μπορεί να είναι άπειρη.

Τέτοια μέτρα προκύπτουν φυσικά από τον λογισμό. Για παράδειγμα, αν ορίσουμε ένα μέτρο στο $\mathbb {R}$ που συμφωνεί με το συνηθισμένο μήκος των διαστημάτων, αυτό το μέτρο πρέπει να είναι μεγαλύτερο από οποιονδήποτε πεπερασμένο πραγματικό αριθμό. Επίσης, όταν εξετάζουμε μη γνήσια ολοκληρώματα, όπως π.χ

$\int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x}}$

προκύπτει η τιμή "άπειρο". Τέλος, είναι συχνά χρήσιμο να λαμβάνεται υπόψη το όριο μιας ακολουθίας συναρτήσεων, όπως π.χ.

$f_{n}(x)={\begin{cases}2n(1-nx),&{\mbox{if }}0\leq x\leq {\frac {1}{n}}\\0,&{\mbox{if }}{\frac {1}{n}}<x\leq 1\end{cases}}$

Χωρίς να επιτρέπεται στις συναρτήσεις να λαμβάνουν άπειρες τιμές, τέτοια ουσιαστικά αποτελέσματα όπως το θεώρημα μονότονης σύγκλισης και το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης δεν θα είχαν νόημα.

Τάξη και τοπολογικές ιδιότητες

Το επεκτεταμένο σύστημα των πραγματικών αριθμών ${\overline {\mathbb {R} }}$, που ορίζεται ως $[-\infty ,+\infty ]$ ή $\mathbb {R} \cup \left\{-\infty ,+\infty \right\}$, μπορεί να μετατραπεί σε ένα πλήρες διατεταγμένο σύνολο ορίζοντας $-\infty \leq a\leq +\infty$ για κάθε $a\in {\overline {\mathbb {R} }}.$ Με αυτό τον τρόπο, το ${\overline {\mathbb {R} }}$ έχει πλέον την ιδιότητα της συμπάγειας: Κάθε υποσύνολο του ${\overline {\mathbb {R} }}$ έχει ένα supremum και ένα infimum (το infimum του κενού συνόλου είναι το $+\infty$ και το supremum είναι το $-\infty$). Επιπλέον, με αυτήν την τοπολογία, το ${\overline {\mathbb {R} }}$ είναι ομοιομορφικό στο διάστημα $[0,1].$ Έτσι, η τοπολογία είναι μετρήσιμη, αντιστοιχώντας (για έναν δεδομένο ομοιομορφισμό) στη συνηθισμένη μετρική σε αυτό το διάστημα. Ωστόσο, δεν υπάρχει μετρική που να αποτελεί επέκταση της συνηθισμένης μετρικής στο $\mathbb {R} .$

Σε αυτή την τοπολογία, ένα σύνολο $U$ είναι μια γειτονιά του $+\infty$ αν και μόνο αν περιέχει ένα σύνολο $\{x:x>a\}$ για κάποιο πραγματικό αριθμό $a.$ Η έννοια της γειτονιάς του $-\infty$ μπορεί να οριστεί παρόμοια. Χρησιμοποιώντας αυτόν τον χαρακτηρισμό των επεκτεταμένων πραγματικών γειτονιών, τα όρια με το $x$ να τείνει στο $+\infty$ ή στο $-\infty$, και τα όρια "ίσα" με $+\infty$ και $-\infty$, ανάγονται στον γενικό τοπολογικό ορισμό των ορίων — αντί να υπάρχει ειδικός ορισμός στο σύστημα των πραγματικών αριθμών.

Αριθμητικές πράξεις

Οι αριθμητικές πράξεις στο $\mathbb {R}$ μπορούν να επεκταθούν εν μέρει στο ${\overline {\mathbb {R} }}$ ως εξής:

$${\begin{aligned}a\pm \infty =\pm \infty +a&=\pm \infty ,&a&\neq \mp \infty \\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty ]\\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\mp \infty ,&a&\in [-\infty ,0)\\{\frac {a}{\pm \infty }}&=0,&a&\in \mathbb {R} \\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty )\\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\mp \infty ,&a&\in (-\infty ,0)\end{aligned}}$$

Εδώ, το $a+\infty$ σημαίνει $a+(+\infty )$ και $a-(-\infty ),$ ενώ το $a-\infty$ σημαίνει $a-(+\infty )$ και $a+(-\infty ).$

Οι εκφράσεις $\infty -\infty ,0\times (\pm \infty )$ και $\pm \infty /\pm \infty$ (που ονομάζονται απροσδιόριστες μορφές) συνήθως αφήνονται έτσι όπως είναι. Αυτοί οι κανόνες διαμορφώνονται με βάση τους νόμους για τα άπειρα όρια. Ωστόσο, στο πλαίσιο της θεωρίας πιθανοτήτων ή της θεωρίας μέτρου, το $0\times \pm \infty$ συχνά ορίζεται ως $0.$

Όταν ασχολούμαστε τόσο με θετικούς όσο και με αρνητικούς επεκτεταμένους πραγματικούς αριθμούς, η έκφραση $1/0$ συνήθως αφήνεται απροσδιόριστη, επειδή, αν και είναι αλήθεια ότι για κάθε πραγματική μη μηδενική ακολουθία $f$ που συγκλίνει στο $0,$ η αντίστροφη ακολουθία $1/f$ περιέχεται τελικά στο σύνολο $\{\infty ,-\infty \},$ δεν είναι αλήθεια ότι η ακολουθία $1/f$ πρέπει να συγκλίνει είτε στο $-\infty$ είτε στο $\infty .$ Με άλλα λόγια, αν μια συνεχής συνάρτηση $f$ είναι μηδέν σε μια ορισμένη τιμή $x_{0},$ τότε δεν σημαίνει ότι η συνάρτηση $1/f$ τείνει στο $-\infty$ ή στο $\infty$ καθώς το $x$ τείνει στο $x_{0}$. Αυτό ισχύει π.χ. για τα όρια της ταυτοτικής συνάρτησης $f(x)=x$ όταν το $x$ τείνει στο $0$ και της συνάρτησης $f(x)=x^{2}\sin \left(1/x\right)$ (στην τελευταία συνάρτηση, ούτε το $-\infty$ ούτε το $\infty$ είναι όρια της συνάρτησης $1/f(x),$ ακόμη και αν λαμβάνονται υπόψη μόνο θετικές τιμές του $x$).

Ωστόσο, σε περιπτώσεις όπου λαμβάνονται υπόψη μόνο μη αρνητικές τιμές, είναι συχνά βολικό να ορίζουμε $1/0=+\infty .$ Για παράδειγμα, στις δυναμοσειρές, η ακτίνα σύγκλισης μιας δυναμοσειράς με συντελεστές $a_{n}$ ορίζεται συχνά ως το αντίστροφο του ορίου του supremum της ακολουθίας $\left(|a_{n}|^{1/n}\right)$. Έτσι, αν ορίσουμε $1/0=+\infty ,$ τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον τύπο ανεξάρτητα από το αν το όριο του supremum της ακολουθίας είναι $0$ ή όχι.

Αλγεβρικές ιδιότητες

Με αυτούς τους ορισμούς, το ${\overline {\mathbb {R} }}$ δεν είναι καν μια ημιομάδα, πόσο μάλλον μια ομάδα, ένας δακτύλιος ή ένα σώμα όπως στην περίπτωση του $\mathbb {R} .$ Ωστόσο, έχει πολλές σημαντικές ιδιότητες:

• Οι παραστάσεις $a+(b+c)$ και $(a+b)+c$ είναι είτε ίσες είτε και οι δύο απροσδιόριστες μορφές.
• Οι παραστάσεις $a+b$ και $b+a$ είναι είτε ίσες είτε και οι δύο απροσδιόριστες μορφές.
• Οι παραστάσεις $a\cdot (b\cdot c)$ και $(a\cdot b)\cdot c$ είναι είτε ίσες είτε και οι δύο απροσδιόριστες μορφές.
• Οι παραστάσεις $a\cdot b$ και $b\cdot a$ είναι είτε ίσες είτε και οι δύο απροσδιόριστες μορφές.
• Οι παραστάσεις $a\cdot (b+c)$ και $(a\cdot b)+(a\cdot c)$ είναι ίσες αν ορίζονται και οι δύο.
• Αν $a\leq b$ και οι παραστάσεις $a+c$ και $b+c$ ορίζονται, τότε $a+c\leq b+c.$
• Αν $a\leq b$, $c>0$ και οι δύο παραστάσεις $a\cdot c$ και $b\cdot c$ ορίζονται, τότε $a\cdot c\leq b\cdot c.$

Άλλα παραδείγματα

Πολλές συναρτήσεις μπορούν να επεκταθούν συνεχώς στο ${\overline {\mathbb {R} }}$ παίρνοντας όρια. Για παράδειγμα, μπορούμε να ορίσουμε τα ακραία σημεία των παρακάτω συναρτήσεων ως εξής:

$\exp(-\infty )=0,$

$\ln(0)=-\infty ,$

$\tanh(\pm \infty )=\pm 1,$

$\arctan(\pm \infty )=\pm {\frac {\pi }{2}}.$

Ως άλλο παράδειγμα, η συνάρτηση $1/x^{2}$ μπορεί να επεκταθεί συνεχώς στο ${\overline {\mathbb {R} }}$ (κάτω από ορισμένους ορισμούς της συνέχειας), ορίζοντας την τιμή $+\infty$ για $x=0$ και την τιμή $0$ για $x=+\infty$ και $x=-\infty .$ Από την άλλη, η συνάρτηση $1/x$ δεν μπορεί να επεκταθεί συνεχώς, καθώς πλησιάζει το $-\infty$ όσο το $x$ τείνει στο $0$ από τα αριστερά και το $+\infty$ όσο το $x$ τείνει στο $0$ από τα δεξιά, δηλαδή, η συνάρτηση δεν συγκλίνει στην ίδια τιμή.

Ένα παρόμοιο αλλά διαφορετικό σύστημα, η προβολική επεκτεταμένη πραγματική ευθεία, δεν κάνει διάκριση μεταξύ του $+\infty$ και του $-\infty$ (δηλαδή το άπειρο γράφεται ως $\infty$). Ως αποτέλεσμα, μια συνάρτηση μπορεί να έχει όριο το $\infty$ στην προβολική επεκτεταμένη πραγματική ευθεία, ενώ στο επεκτεταμένο σύστημα των πραγματικών αριθμών μόνο η απόλυτη τιμή της συνάρτησης έχει όριο, π.χ. στην περίπτωση της συνάρτησης $1/x$ για $x=0.$ Από την άλλη πλευρά, στην προβολική επεκτεταμένη πραγματική ευθεία, το $\lim _{x\to -\infty }{f(x)}$ και το$\lim _{x\to +\infty }{f(x)}$ αντιστοιχούν μόνο σε ένα όριο από τα αριστερά και σε ένα όριο από τα δεξιά, αντίστοιχα, με το όριο να υπάρχει μόνο όταν και τα δύο είναι ίσα.

Δείτε επίσης

• Σφαίρα του Ρίμαν
• Άπειρο
• Σειρά (μαθηματικά)
• Προβολική επεκτεταμένη πραγματική ευθεία

Περαιτέρω ανάγνωση

• Aliprantis, Charalambos D.; Burkinshaw, Owen (1998), Principles of Real Analysis (3η έκδοση), San Diego, CA: Academic Press, Inc., σελ. 29, ISBN 0-12-050257-7, https://books.google.com/books?id=m40ivUwAonUC&pg=PA29 
• Weisstein, Eric W., "Affinely Extended Real Numbers" από το MathWorld.