Ευθεία

Ευθεία που διέρχεται από τα σημεία ${\rm {K}}$ και ${\rm {\Lambda }}$.

Μία ευθεία στο Καρτεσιανό επίπεδο.

Στην γεωμετρία, ευθεία είναι γραμμή, απείρου μήκους και μηδενικού πάχους, χωρίς αρχή και τέλος και απολύτως ίσια.

Πιο αυστηρά, μία ευθεία στο επίπεδο είναι το σύνολο των σημείων με συντεταγμένες $(x,y)$ που ικανοποιούν την γραμμική εξίσωση

$Ax+By+{\mathit {\Gamma }}=0$,

όπου $A,B,{\mathit {\Gamma }}$ είναι πραγματικοί αριθμοί, και τουλάχιστον ένας από τους $A$ και $B$ δεν είναι $0$.

Ευθεία με εξίσωση $y=\lambda x+\beta$, όπου $\lambda =\tan \varphi$.

Αν η ευθεία δεν είναι παράλληλη στο άξονα ${\rm {O}}y$ τότε μπορεί να πάρει την μορφή

$y=\lambda x+\beta$.

Το $\lambda$ λέγεται συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας και είναι ίσος με την εφαπτομένη της γωνίας της ευθείας με τον άξονα ${\rm {O}}y$. Το $(0,\beta )$ είναι το σημείο τομής της ευθείας με τον ${\rm {O}}y$.

Η ευκλείδεια γεωμετρία δεν δίνει ορισμό της ευθείας, αλλά τη θεωρεί πρωταρχική έννοια, όπως και το σημείο και το επίπεδο. Την εικόνα ενός μέρους μιας ευθείας παρέχει ένα τεντωμένο λεπτό νήμα. Σύμφωνα με τη γεωμετρία αυτή, από δύο οποιαδήποτε σημεία του χώρου διέρχεται μία και μόνο μία ευθεία, η οποία αποτελεί και τη συντομότερη οδό μεταξύ των δύο αυτών σημείων. Η ευθεία μπορεί να περιγραφεί επίσης ως η τομή δύο επιπέδων του ευκλείδειου χώρου.

Σχετικές θέσεις δύο ευθειών στο επίπεδο

Δύο ευθείες του ίδιου επιπέδου μπορεί να έχουν:

1. Ένα κοινό σημείο, δηλαδή να τέμνονται. Υποχρεωτικά ανήκουν στο ίδιο επίπεδο.
2. Δύο ή περισσότερα κοινά σημεία, όποτε υποχρεωτικά ταυτίζονται.
3. Κανένα κοινό σημείο. Αν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο, τότε λέγονται παράλληλες.

Σχετικές θέσεις δύο ευθειών $\varepsilon _{1}$ και $\varepsilon _{2}$

Δύο ευθείες που τέμνονται στο σημείο ${\rm {I}}$.

Δύο παράλληλες ευθείες.

Εξίσωση ευθείας στο επίπεδο

Γραμμική εξίσωση

Μία ευθεία $\varepsilon$ είναι το σύνολο των σημείων του επιπέδου με συντεταγμένες $(x,y)$ που ικανοποιούν την εξίσωση

$Ax+By+{\mathit {\Gamma }}=0$,

όπου $A,B,{\mathit {\Gamma }}$ είναι πραγματικοί αριθμοί. Επιπλέον ένα από τα $A,B$ πρέπει να είναι διάφορο του μηδενός.

Σημείωση 1: Όταν $A,B\neq 0$, τότε η εξίσωση μπορεί να γραφτεί ως

${\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1$,

όπου $(a,0)$ και $(0,b)$ είναι τα σημεία τομής της ευθείας με τους άξονες ${\rm {O}}x$ και ${\rm {O}}y$ αντίστοιχα.

Σημείωση 2: Η παραπάνω εξίσωση της ευθείας δίνει την διανυσματική ερμηνεία, ως ο γεωμετρικός τόπος των σημείων ${\vec {x}}$ που έχουν σταθερό εσωτερικό γινόμενο (ίσο με ${\mathit {\Gamma }}$) με ένα σταθερό διάνυσμα ${\vec {n}}=(A,B)$, δηλαδή

$\varepsilon =\{{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{2}:{\vec {n}}\cdot {\vec {x}}={\mathit {\Gamma }}\}$.

Παραμετρική εξίσωση

Τα σημεία της ευθείας $\varepsilon$ που διέρχεται από το σημείο ${\vec {x}}=(x_{0},y_{0})$ με διεύθυνση ${\vec {d}}=(d_{x},d_{y})$ έχουν συντεταγμένες

$x=x_{0}+t\cdot d_{x}$ και $y=y_{0}+t\cdot d_{y}$,

για κάθε πραγματική τιμή της παραμέτρου $t$.

Με την μορφή διανυσμάτων μπορεί να γραφτεί και ως

$\varepsilon =\{{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{2}:{\vec {x}}+t\cdot {\vec {d}}\}$.

Ευθεία μεταξύ δύο σημείων

Υπολογισμός συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας μεταξύ των ${\rm {K}}$ και ${\rm {\Lambda }}$, όπου
$\tan \varphi ={\tfrac {{\rm {\Lambda }}_{y}-{\rm {K}}_{y}}{{\rm {\Lambda }}_{x}-{\rm {K}}_{x}}}$.

Έστω δύο διακριτά σημεία $({\rm {K}}_{x},{\rm {K}}_{y})$ και $({\rm {\Lambda }}_{x},{\rm {\Lambda }}_{y})$. Διακρίνουμε τις εξής δύο περιπτώσεις για την εξίσωση της ευθείας:

• Περίπτωση 1^η: Ισχύει ότι ${\rm {K}}_{x}={\rm {\Lambda }}_{x}$. Η ευθεία είναι κάθετη στον άξονα ${\rm {O}}x$ και έχει εξίσωση

$x={\rm {K}}_{x}$.

• Περίπτωση 2^η: Ισχύει ότι ${\rm {K}}_{x}\neq {\rm {\Lambda }}_{x}$. Η ευθεία έχει κλίση

$\lambda ={\frac {{\rm {\Lambda }}_{y}-{\rm {K}}_{y}}{{\rm {\Lambda }}_{x}-{\rm {K}}_{x}}}$,

και καθώς διέρχεται από το $({\rm {K}}_{x},{\rm {K}}_{y})$, θα έχει εξίσωση

$y-{\rm {K}}_{y}=\lambda \cdot (x-{\rm {K}}_{x})$.

Κανονική μορφή

Η κανονική μορφή (ή μορφή Hesse) της εξίσωσης της ευθείας $Ax+By+{\mathit {\Gamma }}=0$ είναι η εξίσωση

${\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}\cdot x+{\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}\cdot y+{\frac {\mathit {\Gamma }}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}=0$.

Η εξίσωση μπορεί επίσης να γραφτεί ως

$(\cos \omega )\cdot x+(\sin \omega )\cdot y+d=0$,

όπου $\omega$ είναι η προσημασμένη γωνία της ευθείας που συνδέει την αρχή των αξόνων με το κοντινότερο σημείο της ευθείας και $d$ είναι η (προσημασμένη) απόσταση της αρχής των αξόνων από την ευθεία.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης.

Θεωρούμε το σημείο ${\rm {P}}$ της ευθείας $\varepsilon$ που είναι το κοντινότερο σημείο από την αρχή των αξόνων ${\rm {O}}$. Αφού είναι το κοντινότερο σημείο έπεται ότι ${\rm {OP}}$ είναι κάθετη στην $\varepsilon$.

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ${\rm {OI}}_{x}{\rm {I}}_{y}$ έχουμε ότι η υποτείνουσα

${\rm {I}}_{x}{\rm {I}}_{y}={\sqrt {{\rm {OI}}_{x}^{2}+{\rm {OI}}_{y}^{2}}}={\frac {\mathit {\Gamma }}{A\cdot B}}\cdot {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}$.

Επίσης, το εμβαδόν ${\rm {E}}$ του ορθογωνίου τριγώνου δίνεται από τους εξής δύο τύπους

${\rm {E}}={\frac {1}{2}}\cdot {\rm {OI}}_{x}\cdot {\rm {OI}}_{y}$, και

${\rm {E}}={\frac {1}{2}}\cdot {\rm {I}}_{x}{\rm {I}}_{y}\cdot d$.

Εξισώνοντας τις δύο αυτές σχέσεις, η απόσταση $d$ είναι ίση με

$d={\frac {{\rm {OI}}_{x}\cdot {\rm {OI}}_{y}}{{\rm {I}}_{x}{\rm {I}}_{y}}}={\frac {{\mathit {\Gamma }}^{2}}{A\cdot B}}\cdot {\frac {1}{{\frac {\mathit {\Gamma }}{A\cdot B}}\cdot {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}}={\frac {\mathit {\Gamma }}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}$.

Τέλος, από τα ορθογώνια ${\rm {OPI}}_{x}$ και ${\rm {OPI}}_{y}$, προκύπτει ότι

$\cos \omega ={\frac {{\rm {OI}}_{x}}{\rm {OP}}}={\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}$ και $\sin \omega ={\frac {{\rm {OI}}_{y}}{\rm {OP}}}={\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}$.

Απόσταση σημείου από ευθεία

Η απόσταση ενός σημείου ${\rm {P}}=({\rm {P}}_{x},{\rm {P}}_{y})$ από μία ευθεία $\varepsilon$ με εξίσωση $Ax+By+{\mathit {\Gamma }}=0$ δίνεται από τον τύπο

$d={\frac {|A\cdot {\rm {P}}_{x}+B\cdot {\rm {P}}_{y}+{\mathit {\Gamma }}|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}$.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης για την απόσταση ενός σημείου ${\rm {P}}$ από μία ευθεία $\varepsilon$.

Από την κανονική μορφή της ευθείας έχουμε ότι

$d_{1}={\frac {\mathit {\Gamma }}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}$

είναι η προσημασμένη απόσταση της ευθείας $\varepsilon$ από την αρχή των αξόνων.

Η ευθεία $\varepsilon '$ με εξίσωση $A(x-{\rm {P}}_{x})+B(y-{\rm {P}}_{y})=0$ διέρχεται από το σημείο ${\rm {P}}$ και είναι παράλληλη στην $\varepsilon$ (καθώς έχει ίδιο συντελεστή διεύθυνσης). Η προσημασμένη απόστασή της από την αρχή των αξόνων είναι

$d_{2}={\frac {-A{\rm {P}}_{x}-A{\rm {P}}_{y}}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}$.

Επομένως, η ζητούμενη απόσταση είναι ίση με

$d=|d_{1}-d_{2}|={\frac {|A\cdot {\rm {P}}_{x}+B\cdot {\rm {P}}_{y}+{\mathit {\Gamma }}|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}$.

Από τον παραπάνω τύπο προκύπτει ότι δύο παράλληλες ευθείες με εξισώσεις

$Ax+By+{\mathit {\Gamma }}_{1}=0\quad (\varepsilon _{1})$,

$Ax+By+{\mathit {\Gamma }}_{2}=0\quad (\varepsilon _{2})$,

έχουν απόσταση

$d={\frac {|{\mathit {\Gamma }}_{2}-{\mathit {\Gamma }}_{1}|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}$.

Γωνία μεταξύ ευθειών

Γωνία μεταξύ δύο ευθειών $\varepsilon _{1}$ και $\varepsilon _{2}$.

Δύο κάθετες ευθείες.

Δύο ευθείες με διευθύνσεις ${\vec {d}}_{1}$ και ${\vec {d}}_{2}$ έχουν μεταξύ τους γωνία $\vartheta$ με

$\cos \vartheta ={\frac {|{\vec {d}}_{1}\cdot {\vec {d}}_{2}|}{|{\vec {d}}_{1}|\cdot |{\vec {d}}_{2}|}}$,

όπου ${\vec {d}}_{1}\cdot {\vec {d}}_{2}$ είναι το εσωτερικό τους γινόμενο και $|{\vec {d}}_{1}|,|{\vec {d}}_{2}|$ τα μέτρα τους.

Στην ειδική περίπτωση που $\cos \vartheta =0$, δηλαδή οι ευθείες σχηματίζουν τέσσερις ορθές γωνίες, λέμε ότι οι ευθείες είναι κάθετες.

Σημείο τομής δύο ευθειών

Η εύρεση του σημείου τομής δύο ευθειών ανάγεται στην επίλυση ενός συστήματος δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους (τα $x,y$):

$A_{1}x+B_{1}y=-{\mathit {\Gamma }}_{1}$,

$A_{2}x+B_{2}y=-{\mathit {\Gamma }}_{2}$,

για το οποίο υπάρχουν διάφοροι τρόποι, όπως η μέθοδος της αντικατάστασης, η μέθοδος των αντίθετων συντελεστών, ο κανόνας του Κράμερ, η Γκαουσιανή απαλοιφή, κ.λπ.

Σχετικές έννοιες

• Ευθύγραμμο τμήμα: Το τμήμα μίας ευθείας μεταξύ των δύο σημείων της ευθείας. Πιο αυστηρά, το σύνολο των σημείων του ευθυγράμμου τμήματος μεταξύ των σημείων ${\vec {a}}$ και ${\vec {b}}$ είναι

$\left\{t\cdot {\vec {a}}+(1-t)\cdot {\vec {b}}:t\in [0,1]\right\}$.

• Ημιευθεία: Το τμήμα μιας ευθείας που έχει αρχή ένα σημείο αυτής και εκτείνεται προς τη μια κατεύθυνση αυτής. Το σύνολο των σημείων των δύο ημιευθειών της ευθείας με κατεύθυνση ${\vec {d}}$ στο σημείο $\mathbf {x} _{0}$ είναι αντίστοιχα

$\left\{\mathbf {x} _{0}+t\cdot {\vec {d}}:t\geq 0\right\}\quad$ και $\quad \left\{\mathbf {x} _{0}+t\cdot {\vec {d}}:t\leq 0\right\}$.

• Ημιεπίπεδο: Τα δύο ημιεπίπεδα που ορίζει μία ευθεία με εξίσωση $Ax+By+{\mathit {\Gamma }}=0$ είναι τα σύνολα των σημείων που ικανοποιούν τις ανισότητες

$\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:Ax+By+{\mathit {\Gamma }}>0\right\}$,

ή αντίστοιχα

$\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:Ax+By+{\mathit {\Gamma }}<0\right\}$.

Ευθύγραμμο τμήμα ${\rm {AB}}$ με φορέα την ευθεία $\varepsilon$.

Μία από τις δύο ημιευθείες με αρχή το σημείο ${\rm {A}}$ και φορέα την ευθεία $\varepsilon$.

Με πράσινο και μπλε τα δύο ημιεπίπεδα που ορίζονται από την ευθεία $\varepsilon$.

Σε ένα τρίγωνο

Σε ένα τρίγωνο υπάρχουν αρκετές αξιοσημείωτες ευθείες, οι οποίες είτε συντρέχουν σε συγκεκριμένα σημεία, είτε περιλαμβάνουν άλλα αξιοσημείωτα σημεία.

Ενδεικτικά, οι μεσοκάθετοι διέρχονται από το περίκεντρο, τα ύψη διέρχονται από το ορθόκεντρο, οι διχοτόμοι των γωνιών του διέρχονται από το έγκεντρο, οι διάμεσοι από το βαρύκεντρο, οι συμμετροδιάμεσοι από το σημείο Λεμουάν, κ.λπ. Αξιοσημείωτες ευθείες είναι η ευθεία Όιλερ, ευθεία Σίμσον-Γουάλας, ευθεία Στάινερ, κ.λπ.

Κατασκευές με κανόνα και διαβήτη

Οι ευθείες εμφανίζονται επίσης και στις λεγόμενες "κατασκευές με κανόνα και διαβήτη" όπου ο σκοπός είναι ο μεθοδικός σχεδιασμός γεωμετρικών σχημάτων με κανόνα (χάρακα) και διαβήτη. Ο κανόνας επιτρέπει την χάραξη ευθειών μεταξύ δύο σημείων, ενώ ο διαβήτης επιτρέπει την χάραξη κύκλων μεταξύ δύο σημείων.

Σε πάνω από δύο διαστάσεις

Τρεις διαστάσεις

Σε τρεις διαστάσεις μία ευθεία $\varepsilon$ ορίζεται ως το σύνολο στων σημείων του χώρου $(x,y,z)$ που ικανοποιεί την γραμμική εξίσωση

$Ax+By+{\mathit {\Gamma }}z+{\mathit {\Delta }}=0$,

για πραγματικούς αριθμούς $A,B,{\mathit {\Gamma }},{\mathit {\Delta }}$ όπου δεν είναι όλοι οι $A,B,{\mathit {\Gamma }}$ μηδέν.

Παραμετρικές εξισώσεις

Τα σημεία της ευθείας $\varepsilon$ που διέρχεται από το σημείο ${\vec {x}}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ με διεύθυνση ${\vec {d}}=(d_{x},d_{y},d_{z})$ έχουν συντεταγμένες

$x=x_{0}+t\cdot d_{x}$,

$y=y_{0}+t\cdot d_{y}$, και

$z=z_{0}+t\cdot d_{z}$,

για κάθε πραγματική τιμή της παραμέτρου $t$.

Σημείωση: Με την μορφή διανυσμάτων μπορεί να γραφτεί ως το σύνολο σημείων

$\varepsilon =\left\{{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{3}:{\vec {x}}+t\cdot {\vec {d}}\right\}$.

Απόσταση σημείου από ευθεία

Η απόσταση ενός σημείου ${\vec {x}}=(x,y,z)$ από μία ευθεία που διέρχεται από το σημείο ${\vec {x}}_{0}$ και έχει διεύθυνση ${\vec {d}}$, δίνεται από τον τύπο

$d=|({\vec {x}}-{\vec {x}}_{0})\times {\hat {d}}|$,

όπου ${\hat {d}}=d/|d|$.

Σημείωση: Η παραπάνω εξίσωση μπορεί να γραφτεί και με το εξωτερικό γινόμενο, ως το σύνολο των σημείων

$\varepsilon =\left\{{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{3}:({\vec {x}}-{\vec {x}}_{0})\times {\vec {d}}=0\right\}$.

Ελάχιστη απόσταση μεταξύ δύο ευθειών

Η ελάχιστη απόσταση μεταξύ δύο ευθειών με εξισώσεις ${\vec {r}}_{1}={\vec {x}}_{1}+t\cdot {\vec {d}}_{1}$ και ${\vec {r}}_{2}={\vec {x}}_{2}+t\cdot {\vec {d}}_{2}$ δίνεται από τον τύπο

$d=({\vec {x}}_{2}-{\vec {x}}_{1})\cdot {\hat {n}}$,

όπου ${\vec {n}}={\vec {d}}_{1}\times {\vec {d}}_{2}$ και ${\textstyle {\hat {n}}={\frac {\vec {n}}{|{\vec {n}}|}}}$

Πάνω από τρεις διαστάσεις

Σε $n$ διαστάσεις μία ευθεία ορίζεται ως το σύνολο στων σημείων του χώρου $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ που ικανοποιεί την γραμμική εξίσωση

$A_{1}x_{1}+A_{2}x_{2}+\ldots A_{n}x_{n}+A_{n+1}=0$,

για πραγματικούς αριθμούς $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n},A_{n+1}$ όπου δεν είναι όλοι οι $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}$ μηδέν.

Δείτε επίσης

• Ευθύγραμμο τμήμα
• Ημιευθεία
• Άξονας συμμετρίας

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• MathWorld Encyclopedia
• Εξισώσεις της ευθείας γραμμής στο cut-the-knot.