Ημιεπίπεδο

Με πράσινο και μπλε τα δύο ημιεπίπεδα που ορίζονται από την ευθεία $\varepsilon$.

Στην γεωμετρία, κάθε ευθεία χωρίζει τα σημεία του επιπέδου σε δύο μέρη τα οποία δεν έχουν κοινά σημεία με την ευθεία. Κάθε ένα από αυτά τα δύο μέρη λέγεται ημιεπίπεδο.

Η ευθεία $\varepsilon$ λέγεται αρχική ευθεία των ημιεπιπέδων. Το ημιεπίπεδο που περιέχει το σημείο ${\rm {A}}$ συμβολίζεται με $(\varepsilon ,{\rm {A)}}$.

Αναλυτική γεωμετρία

Στην αναλυτική γεωμετρία, η ευθεία ορίζεται ως το σύνολο των σημείων $(x,y)$ που ικανοποιούν την εξίσωση

$Ax+By+{\mathit {\Gamma }}=0$,

για κάποιους πραγματικούς αριθμούς $A,B,{\mathit {\Gamma }}$, όπου $A,B$ δεν είναι και οι δύο μηδέν.

Τα δύο ημιεπίπεδα που ορίζει η ευθεία είναι τα σύνολα των σημείων που ικανοποιούν τις ανισότητες

$Ax+By+{\mathit {\Gamma }}>0$,

ή αντίστοιχα

$Ax+By+{\mathit {\Gamma }}<0$.

Ιδιότητες

Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων ${\rm {M}}$ με ${\rm {MA}}<{\rm {MB}}$, είναι το ημιεπίπεδο $(\mu ,{\rm {A)}}$ όπου $\mu$ η μεσοκάθετος του ${\rm {AB}}$.

• Είναι ημιεπίπεδο είναι ένα κυρτό σύνολο.
• Τα δύο ημιεπίπεδα και η ευθεία που τα ορίζει, συνιστούν έναν διαμερισμό όλων των σημείων του επιπέδου.

Εφαρμογές

• Για δύο σημεία ${\rm {A}}$ και ${\rm {B}}$ ο γεωμετρικός τόπος των σημείων ${\rm {M}}$ με ${\rm {MA<{\rm {MB}}}}$ είναι το ημιεπίπεδο που ορίζεται από την μεσοκάθετο του ${\rm {AB}}$ και περιέχει το ${\rm {A}}$.
• Στον γραμμικό προγραμματισμό, που χρησιμοποιείται για την επίλυση πολλών προβλήματων βελτιστοποίησης, οι περιορισμοί ορίζουν ημιεπίπεδα στον χώρο.

Δείτε επίσης

• Ευθεία
• Ημιευθεία
• Ημιχώρος