Θεώρημα του Θαλή

Το θεώρημα τομής του Θαλή λέει ότι

{\rm {{\tfrac {\Sigma A}{AB}}={\tfrac {\Sigma \Gamma }{\Gamma \Delta }}}}

.

Στην γεωμετρία, το θεώρημα τομής, είναι ένα θεώρημα που αφορά τις αναλογίες των ευθυγράμμων τμημάτων, τα οποία δημιουργούνται όταν δύο τεμνόμενες μεταξύ τους ευθείες τέμνονται και από ένα ζεύγος παραλλήλων ευθειών.^[1]^[2]^[3]^:136-139^[4]^:9^[5]^:64

Πιο συγκεκριμένα, αν $\varepsilon _{1}$ και $\varepsilon _{2}$ είναι δύο ευθείες παράλληλες, και $\Sigma$ ένα τυχόν σημείο του επιπέδου, τότε για οποιεσδήποτε δύο ευθείες που διέρχονται από το $\Sigma$ τέμνουν την $\varepsilon _{1}$ στα σημεία ${\rm {A}}$ και ${\rm {\Gamma }}$ , και την $\varepsilon _{2}$ στα ${\rm {B}}$ και ${\rm {\Delta }}$ , ισχύει ότι^[6]^[7]^[8]

{\rm {{\frac {\Sigma A}{AB}}={\frac {\Sigma \Gamma }{\Gamma \Delta }}}}

.

Αντίστροφα, ισχύει ότι αν

{\rm {{\frac {\Sigma A}{AB}}={\frac {\Sigma \Gamma }{\Gamma \Delta }}}}

,

τότε οι ευθείες $\varepsilon _{1}$ και $\varepsilon _{2}$ είναι παράλληλες.

Το θεώρημα παραδοσιακά αποδίδεται στον Έλληνα μαθηματικό Θαλή.^[9]^[10] Η πρώτη γνωστή απόδειξη βρίσκεται στα Στοιχεία του Ευκλείδη (Πρόταση 17 Βιβλίο 11)^[11]. Το θεώρημα είναι ισοδύναμο με αυτό περί των αναλογιών σε όμοια τρίγωνα.

Παραδείγματα

Το αντίστροφο του θεωρήματος τομής μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αποδείξει ότι μια συγκεκριμένη κατασκευή αποδίδει παράλληλα ευθύγραμμα τμήματα.

Το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών ενός τριγώνου είναι παράλληλο με την τρίτη πλευρά του τριγώνου.
Το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα τα μέσα δύο μη παραλλήλων πλευρών ενός τραπεζίου είναι παράλληλο με τις άλλες δύο πλευρές του τραπεζίου.

Εφαρμογές

Το θεώρημα τομής του Θαλή χρησιμοποιείται στην απόδειξη πολλών θεωρημάτων στην γεωμετρία, συμπεριλαμβανομένων των εξής:

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Διαδραστική εφαρμογή για θεώρημα του Θαλή στο Geogebra.
Διαδραστική εφαρμογή για το θεώρημα του Θαλή σε ασύμβατες ευθείες στο Φωτόδεντρο.
Διαδραστική εφαρμογή για το θεώρημα του Θαλή στο Geogebra

Ελληνικά άρθρα

Αρδαβάνη, Καλλιόπη; Μάλλιαρης, Χρήστος (Οκτώβριος 2022). «Το θεώρημα Θαλή και οι εφαρμογές του». Ευκλείδης Α΄ (126): 29-31. http://niobe.hms.gr/sites/default/files/subsites/problems/material/EYKLEIDHS_A_t126_2022.pdf.
Στέλλας Χρήστος; Μαρουσάκης Παρασκευάς (1980). «Θεώρημα Θαλή». Ευκλείδης Α΄ (4): 111-113. http://niobe.hms.gr/apothema/?s=sa&i=1371.
Γ. Δημάκος; Δ. Κοντογιάννης (1986). «Το θεώρημα Θαλή και οι εφαρμογές του». Ευκλείδης Β΄ (1): 43-45. http://niobe.hms.gr/apothema/?s=sa&i=1371.
«Θεώρημα Θαλή». Ευκλείδης Β΄ (1): 21-26. 1977. http://niobe.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3108.
Δ. Ζέρβας; Λ. Γιαννακόπουλος (1977). «Θαλής και ομοιότητα». Ευκλείδης Β΄ (1): 24-27. http://niobe.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2768.

Παραπομπές

↑ Agricola, Ilka· Friedrich, Thomas (2008). Elementary Geometry. AMS. σελ. 16. ISBN 0-8218-4347-8.
↑ Stillwell, John (2005). The Four Pillars of Geometry. Springer. σελ. 34. ISBN 978-0-387-25530-9.
↑ Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτελη.
↑ Στεργίου, Μπάμπης. Γεωμετρία για διαγωνισμούς 2: Μετρικές σχέσεις σε τρίγωνα, Πολύγωνα, Εμβαδά. Αθήνα: Σαββάλας. ISBN 978-960-493-159-0.
↑ Βασιλειάδης, Παν. Κ. (1966). Γεωμετρία Τόμος α' Επιπεδομετρία. Θεσσαλονίκη.
↑ Agricola, Ilka· Friedrich, Thomas (2008). Elementary Geometry. AMS. σελίδες 10–13, 16–18. ISBN 0-8218-4347-8. (online copy, σ. 10, στα Google Books)
↑ French, Doug (2004). Teaching and Learning Geometry. BLoomsbury. σελίδες 84–87. ISBN 9780826473622. (online copy, σ. 84, στα Google Books)
↑ Stillwell, John (2005). The Four Pillars of Geometry. Springer. σελ. 34. ISBN 978-0-387-25530-9.
↑ Ostermann, Alexander· Wanner, Gerhard (2012). Geometry by Its History. Springer. σελίδες 3–7. ISBN 978-3-642-29163-0. (online copy, σ. 3, στα Google Books)
↑ Halbeisen, Lorenz· Hungerbühler, Norbert· Läuchli, Juan (2016). Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie (στα Γερμανικά). Springer. σελίδες 191–208. ISBN 9783662530344.
↑ Ευκλείδης (2024). Ροκοπάνος, Νίκος· Σακελλάρη, Στέλλα· Τσολομύτης, Αντώνης, επιμ. Στοιχεία (PDF). Σάμος. σελ. 361. ISBN 9786180052046.

Αυτό το λήμμα σχετικά με τη γεωμετρία χρειάζεται επέκταση. Μπορείτε να βοηθήσετε την Βικιπαίδεια επεκτείνοντάς το.

[1] Agricola, Ilka· Friedrich, Thomas (2008). Elementary Geometry. AMS. σελ. 16. ISBN 0-8218-4347-8.

[2] Stillwell, John (2005). The Four Pillars of Geometry. Springer. σελ. 34. ISBN 978-0-387-25530-9.

[Tav-3] Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτελη.

[4] Στεργίου, Μπάμπης. Γεωμετρία για διαγωνισμούς 2: Μετρικές σχέσεις σε τρίγωνα, Πολύγωνα, Εμβαδά. Αθήνα: Σαββάλας. ISBN 978-960-493-159-0.

[5] Βασιλειάδης, Παν. Κ. (1966). Γεωμετρία Τόμος α' Επιπεδομετρία. Θεσσαλονίκη.

[6] Agricola, Ilka· Friedrich, Thomas (2008). Elementary Geometry. AMS. σελίδες 10–13, 16–18. ISBN 0-8218-4347-8. (online copy, σ. 10, στα Google Books)

[7] French, Doug (2004). Teaching and Learning Geometry. BLoomsbury. σελίδες 84–87. ISBN 9780826473622. (online copy, σ. 84, στα Google Books)

[8] Stillwell, John (2005). The Four Pillars of Geometry. Springer. σελ. 34. ISBN 978-0-387-25530-9.

[9] Ostermann, Alexander· Wanner, Gerhard (2012). Geometry by Its History. Springer. σελίδες 3–7. ISBN 978-3-642-29163-0. (online copy, σ. 3, στα Google Books)

[10] Halbeisen, Lorenz· Hungerbühler, Norbert· Läuchli, Juan (2016). Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie (στα Γερμανικά). Springer. σελίδες 191–208. ISBN 9783662530344.

[11] Ευκλείδης (2024). Ροκοπάνος, Νίκος· Σακελλάρη, Στέλλα· Τσολομύτης, Αντώνης, επιμ. Στοιχεία (PDF). Σάμος. σελ. 361. ISBN 9786180052046.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]