Θεώρημα Βαρινιόν
Στην γεωμετρία, το θεώρημα Βαρινιόν δηλώνει ότι σε ένα οποιοδήποτε τετράπλευρο τα μέσα των πλευρών του, δημιουργούν ένα παραλληλόγραμμο.[1] Το παραλληλόγραμμο αυτό ονομάζεται το παραλληλόγραμμο Βαρινιόν.
Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον Πιερ Βαρινιόν που το δημοσίευσε το 1734.[2]
Αποδείξεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Υπάρχουν διάφορες αποδείξεις για το θεώρημα Βαρινιόν.[3] Παρακάτω παραθέτουμε δύο από αυτές.
Με θεώρημα τομής του Θαλή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Από το θεώρημα τομής του Θαλή στo τρίγωνo και αφού ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών, έχουμε ότι
- .
Αντίστοιχα, από το τρίγωνο , έχουμε ότι
- .
Επομένως, το τετράπλευρο έχει δύο πλευρές ίσες και παράλληλες άρα είναι παραλληλόγραμμο.
Με διανύσματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Έχουμε ότι
- , , και .
Επομένως,
- ,
και
- .
Άρα οι πλευρές και είναι παράλληλες και ίσες. Συνεπώς, το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.
Γενικεύσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Διάφορες γενικεύσεις του θεωρήματος έχουν μελετηθεί σε πολύγωνα και στον τρισδιάστατο χώρο.[4][5][6][7]
Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
- ↑ Oliver, Peter N. (2001). «Pierre Varignon and the Parallelogram Theorem». The Mathematics Teacher 94 (4): 316–319. doi:. https://archive.org/details/sim_mathematics-teacher_2001-04_94_4/page/316.
- ↑ Varignon, Pierre (1734). Elemens de mathematique. Amsterdam: Chez François Changuion.
- ↑ Palatnik, Alik (2017). «Proof Without Words: Varignon’s Theorem». The College Mathematics Journal 48 (5): 354–354. doi: .
- ↑ de Villiers, Michael (2007). «A Hexagon Result and its Generalization via Proof». The Mathematics Enthusiast 4 (2): 188–192. doi: .
- ↑ Lord, Nick (2008). «92.22 Maths bite: averaging polygons». The Mathematical Gazette 92 (523): 134–134. doi:. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2008-03_92_523/page/134.
- ↑ Oliver, Peter N. (2001). «Consequences of the Varignon Parallelogram Theorem». The Mathematics Teacher 94 (5): 406–408. doi:. https://archive.org/details/sim_mathematics-teacher_2001-05_94_5/page/406.
- ↑ Laudano, Francesco (2023). «Generalized Varignon's and median triangle theorems». Communications of the Korean Mathematical Society 38 (2): 561–573. doi: .