Θεώρημα Βραχμαγκούπτα

Για το εμβαδόν ενός εγγεγραμμένου τετραπλεύρου, δείτε: Τύπος Βραχμαγκούπτα.

Το θεώρημα Βραχμαγκούπτα λέει ότι αν ${\rm {IH\perp B\Gamma }}$, τότε ${\rm {AM}}={\rm {M\Delta }}$.

Στην γεωμετρία, το θεώρημα Βραχμαγκούπτα δηλώνει ότι σε ένα ορθοδιαγώνιο εγγεγραμμένο τετράπλευρο, δηλαδή σε ένα τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ που οι κορυφές του ανήκουν σε έναν κύκλο και οι διαγώνιοι του τέμνονται κάθετα στο σημείο ${\rm {I}}$, ισχύει ότι η κάθετος από το ${\rm {I}}$ προς μία πλευρά διχοτομεί την απέναντι της. Στο σχήμα αν ${\rm {IH\perp B\Gamma }}$ και ${\rm {M}}$ το σημείο τομής της προέκτασης της ${\rm {IH}}$ με την ${\rm {B\Gamma }}$, τότε ${\rm {M}}$ είναι το μέσο της ${\rm {A\Delta }}$.

Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον Ινδό μαθηματικό Βραχμαγκούπτα.

Απόδειξη

Σχήμα για την απόδειξη του θεωρήματος Βραχμαγκούπτα.

Θα αποδείξουμε ότι ${\rm {M}}$ είναι το μέσο της ${\rm {A\Delta }}$. Έχουμε ότι ${\rm {\angle A\Delta B}}={\rm {\angle A\Gamma B}}=x$ είναι ίσες ως εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο ${\rm {AB}}$. Παρομοίως, ${\rm {\angle \Delta A\Gamma }}={\rm {\angle \Delta B\Gamma }}=y$ καθώς βαίνουν στο τόξο ${\rm {\Gamma \Delta }}$. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ${\rm {BI\Gamma }}$ έχουμε ότι $x+y=90^{o}$ και επομένως από τα ορθογώνια τρίγωνα ${\rm {BIH}}$ και ${\rm {\Gamma IH}}$ προκύπτει ότι ${\rm {\angle HI\Gamma }}=x$ και ${\rm {\angle HIB}}=y$.

Επίσης, ως κατακορυφήν γωνίες έχουμε ότι ${\rm {\angle AIM}}={\rm {\angle HI\Gamma }}=x$ και ${\rm {\angle MI\Delta }}={\rm {\angle HIB}}=y$. Συνεπώς, τα τρίγωνα ${\rm {AMI}}$ και ${\rm {MI\Delta }}$ είναι ισοσκελή, άρα ${\rm {AM}}={\rm {MI}}={\rm {M\Delta }}$, ολοκληρώνοντας την απόδειξη.

Δείτε επίσης

• Εγγεγραμμένο τετράπλευρο
• Ορθοδιαγώνιο τετράπλευρο