Θεώρημα του Όιλερ (τετράπλευρα)

Τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ και τα μέσα ${\rm {M}}$ και ${\rm {N}}$ των διαγωνίων του.

Στην γεωμετρία, το θεώρημα Όιλερ στα τετράπλευρα είναι μία μετρική σχέση σε ένα τετράπλευρο που συνδέει τα τετράγωνα των πλευρών, των διαγωνίων και του ευθυγράμμου τμήματος που συνδέει τα μέσα των διαγωνίων του.

Πιο συγκεκριμένα, σε ένα τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$, ισχύει ότι

${\rm {AB^{2}+B\Gamma ^{2}+\Gamma \Delta ^{2}+\Delta A^{2}=A\Gamma ^{2}+B\Delta ^{2}+4\cdot MN^{2}}}$,

όπου ${\rm {M,N}}$ τα μέσα των διαγωνίων του ${\rm {A\Gamma }}$ και ${\rm {B\Delta }}$ αντίστοιχα.

Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον Ελβετό μαθηματικό Λέοναρντ Όιλερ που το δημοσίευσε το 1750.

Αποδείξεις

Απόδειξη με πρώτο θεώρημα διαμέσων  

Σχήμα πρώτης απόδειξης.

Από το πρώτο θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ για τη διάμεσο ${\rm {BM}}$ έχουμε ότι

${\rm {AB}}^{2}+{\rm {B\Gamma }}^{2}=2\cdot {\rm {BM}}^{2}+{\tfrac {1}{2}}\cdot {\rm {A\Gamma }}^{2}$.

(1)

Αντίστοιχα στο τρίγωνο ${\rm {A\Gamma \Delta }}$ για τη διάμεσο ${\rm {\Delta M}}$ έχουμε ότι

${\rm {\Gamma \Delta }}^{2}+{\rm {A\Delta }}^{2}=2\cdot {\rm {\Delta M}}^{2}+{\tfrac {1}{2}}\cdot {\rm {A\Gamma }}^{2}$.

(2)

Προσθέτοντας κατά μέλη τις (1) και (2) έχουμε ότι

${\rm {AB^{2}+B\Gamma ^{2}+\Gamma \Delta ^{2}+\Delta A^{2}=A\Gamma ^{2}+2\cdot (BM^{2}+M\Delta ^{2})}}$.

(3)

Έπειτα από το τρίγωνο ${\rm {BM\Delta }}$ για την διάμεσο ${\rm {MN}}$ ισχύει ότι

${\rm {BM}}^{2}+{\rm {M\Delta }}^{2}=2\cdot {\rm {MN}}^{2}+{\tfrac {1}{2}}\cdot {\rm {B\Delta }}^{2}$.

(4)

Συνδυάζοντας με την (3) με την (4), καταλήγουμε την ζητούμενη σχέση

${\rm {AB^{2}+B\Gamma ^{2}+\Gamma \Delta ^{2}+\Delta A^{2}=A\Gamma ^{2}+B\Delta ^{2}+4\cdot MN^{2}}}$.

$\square$

Απόδειξη με διανύσματα  

Από το άθροισμα διανυσμάτων έχουμε ότι:

${\rm {{\vec {AB}}={\vec {AN}}-{\vec {MN}}+{\vec {MB}}={\tfrac {1}{2}}{\vec {A\Gamma }}-{\vec {MN}}-{\tfrac {1}{2}}{\vec {B\Delta }}}}$,

και αντίστοιχα

${\rm {{\vec {B\Gamma }}={\tfrac {1}{2}}B\Delta +{\vec {MN}}+{\tfrac {1}{2}}{\vec {A\Gamma }}}}$, ${\rm {{\vec {\Gamma \Delta }}={\tfrac {1}{2}}B\Delta +{\vec {MN}}-{\tfrac {1}{2}}{\vec {A\Gamma }}}}$, και ${\rm {{\vec {\Delta A}}=-{\tfrac {1}{2}}B\Delta +{\vec {MN}}-{\tfrac {1}{2}}{\vec {A\Gamma }}}}$.

Από αυτές τις σχέσεις προκύπτει ότι

${\rm {AB^{2}={\vec {AB}}\cdot {\vec {AB}}={\tfrac {1}{4}}A\Gamma ^{2}+{MN}^{2}+{\tfrac {1}{4}}B\Delta ^{2}-MN\cdot A\Gamma +MN\cdot B\Delta -{\tfrac {1}{2}}A\Gamma \cdot B\Delta }}$,

και αντίστοιχα

${\rm {B\Gamma ^{2}={\vec {B\Gamma }}\cdot {\vec {B\Gamma }}={\tfrac {1}{4}}A\Gamma ^{2}+{MN}^{2}+{\tfrac {1}{4}}B\Delta ^{2}+MN\cdot A\Gamma +MN\cdot B\Delta +{\tfrac {1}{2}}A\Gamma \cdot B\Delta }}$,

${\rm {\Gamma \Delta ^{2}={\vec {\Gamma \Delta }}\cdot {\vec {\Gamma \Delta }}={\tfrac {1}{4}}A\Gamma ^{2}+{MN}^{2}+{\tfrac {1}{4}}B\Delta ^{2}+MN\cdot A\Gamma -MN\cdot B\Delta -{\tfrac {1}{2}}A\Gamma \cdot B\Delta }}$,

${\rm {\Delta A^{2}={\vec {\Delta A}}\cdot {\vec {\Delta A}}={\tfrac {1}{4}}A\Gamma ^{2}+{MN}^{2}+{\tfrac {1}{4}}B\Delta ^{2}-MN\cdot A\Gamma ^{2}-MN\cdot B\Delta +{\tfrac {1}{2}}A\Gamma \cdot B\Delta }}$.

Προσθέτοντας κατά μέλη τις παραπάνω σχέσεις, λαμβάνουμε τη ζητούμενη σχέση.$\quad \square$

Απόδειξη Όιλερ με τον νόμο του παραλληλογράμμου  

(Αριστερά) Τα ${\rm {E}}$ και ${\rm {Z}}$ είναι τέτοια ώστε το ${\rm {AB\Gamma E}}$ και ${\rm {A\Delta \Gamma Z}}$ να είναι παραλληλόγραμμα. (Δεξιά) Το διάγραμμα από την αρχική δημοσίεση του Όιλερ.

Στην δημοσίευση του Όιλερ το 1750 δίνεται η εξής απόδειξη για αυτό το θεώρημα. Θεωρούμε το σημείο ${\rm {E}}$ ώστε το παραλληλόγραμμο ${\rm {AB\Gamma E}}$ να είναι παραλληλόγραμμο, και το σημείο ${\rm {Z}}$ ώστε το ${\rm {A\Delta \Gamma Z}}$ να είναι παραλληλόγραμμο.

Εφαρμόζοντας τον νόμο του παραλληλογράμμου στο ${\rm {AB\Gamma E}}$ έχουμε ότι

${\rm {2\cdot (AB^{2}+B\Gamma ^{2})=A\Gamma ^{2}+BE^{2}}}$.

(1)

Αντίστοιχα, εφαρμόζοντας τον νόμο του παραλληλογράμμου στο ${\rm {A\Delta \Gamma Z}}$ έχουμε ότι

${\rm {2\cdot (\Gamma \Delta ^{2}+\Delta A^{2})=A\Gamma ^{2}+\Delta Z^{2}}}$.

(2)

Συνδυάζοντας τις (1) και (2), έχουμε ότι

${\rm {AB^{2}+B\Gamma ^{2}+\Gamma \Delta ^{2}+A\Delta ^{2}=B\Delta ^{2}+{\tfrac {1}{2}}\cdot (BE^{2}+\Delta Z^{2})}}$.

(3)

Το ${\rm {B\Delta EZ}}$ είναι επίσης παραλληλόγραμμο καθώς οι διαγώνιοι του ${\rm {\Delta Z}}$ και ${\rm {BE}}$ διχοτομούνται στο ${\rm {M}}$. Επομένως

${\rm {2\cdot (B\Delta ^{2}+\Delta E^{2})=BE^{2}+\Delta Z^{2}}}$.

(4)

Από το θεώρημα του Θαλή έχουμε ότι

${\rm {\Delta E=2\cdot MN}}$.

Άρα συνδυάζοντας τις (4) και (5) λαμβάνουμε ότι

${\rm {BE^{2}+\Delta Z^{2}=2\cdot (A\Gamma ^{2}+4MN^{2})}}$.

(5)

Αντικαθιστώντας στην (3), καταλήγουμε στην ζητούμενη σχέση

${\rm {AB^{2}+B\Gamma ^{2}+\Gamma \Delta ^{2}+\Delta A^{2}=A\Gamma ^{2}+B\Delta ^{2}+4\cdot MN^{2}}}$.

$\square$

Ειδικές περιπτώσεις

• Σε ένα παραλληλόγραμμο, τα δύο μέσα ${\rm {M}}$ και ${\rm {N}}$ ταυτίζονται, δηλαδή ${\rm {MN=0}}$ και συνεπώς λαμβάνουμε τον νόμο του παραλληλογράμμου,

$2\cdot ({\rm {AB}}^{2}+{\rm {B\Gamma }}^{2})={\rm {A\Gamma }}^{2}+{\rm {B\Delta }}^{2}$.

• Σε ένα ορθογώνιο, οι δύο διαγώνιοι είναι ίσες άρα λαμβάνουμε ότι

$2\cdot ({\rm {AB}}^{2}+{\rm {B\Gamma }}^{2})=2\cdot {\rm {A\Gamma }}^{2}$,

που είναι ισοδύναμο με το Πυθαγόρειο θεώρημα

${\rm {AB}}^{2}+{\rm {B\Gamma }}^{2}={\rm {A\Gamma }}^{2}$.

• Όταν ${\rm {\Delta =\Gamma }}$, τότε το ${\rm {N}}$ είναι το μέσο της ${\rm {B\Gamma }}$ το θεώρημα Όιλερ δίνει ότι

${\rm {MN={\tfrac {1}{2}}AB}}$,

δηλαδή ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο πλευρών ενός τριγώνου είναι παράλληλη και ίση με το μισό της τρίτης.

• Όταν ${\rm {\Delta =M}}$, τότε επίσης ${\rm {N=M}}$ και το θεώρηαμα Όιλερ δίνει

${\rm {AB^{2}+B\Gamma ^{2}=2\cdot BM^{2}+{\tfrac {1}{2}}A\Gamma }}$,

δηλαδή το πρώτο θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ και την διάμεσο ${\rm {BM}}$ .

Γενίκευση

Η παραπάνω απόδειξη με την χρήση διανυσμάτων ισχύει επίσης για κάθε στρεβλό τετράπλευρο, δηλαδή για τετράπλευρα που οι κουρφές του δεν ανήκουν κατά ανάγκη στο ίδιο επίπεδο.

Δείτε επίσης

• Νόμος του παραλληλογράμμου
• Πρώτο θεώρημα διαμέσων