Τύπος Bretschneider

Τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$.

Στην γεωμετρία, ο τύπος Bretschneider είναι ένας μαθηματικός τύπος για το εμβαδόν ενός τετραπλεύρου. Πιο συγκεκριμένα, το εμβαδόν ${\rm {E}}$ ενός τετραπλεύρου ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ δίνεται από

${\begin{aligned}{\rm {E}}&={\sqrt {(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )\cdot (\tau -\delta )-\alpha \beta \gamma \delta \cdot \cos ^{2}\left({\tfrac {\rm {{\hat {A}}+{\hat {\Gamma }}}}{2}}\right)}}\\&={\sqrt {(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )\cdot (\tau -\delta )-{\tfrac {1}{2}}\alpha \beta \gamma \delta \cdot \left(1+\cos({\hat {\rm {A}}}+{\hat {\rm {\Gamma }}})\right)}},\end{aligned}}$

όπου $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ είναι τα μήκη των πλευρών του.

Ειδικές περιπτώσεις

Σε ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$, έχουμε ότι οι απέναντι γωνίες είναι παραπληρωματικές, άρα $\cos \left({\tfrac {{\hat {\rm {A}}}+{\hat {\rm {\Gamma }}}}{2}}\right)=\cos 90^{\circ }=0$, και έτσι λαμβάνουμε τον τύπο του Βραχμαγκούπτα,

${\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma \Delta }}={\sqrt {(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )\cdot (\tau -\delta )}}$.

Επιπλέον σε ένα τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ έχουμε ότι $\delta =0$ και έτσι λαμβάνουμε τον τύπο του Ήρωνα,

${\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma }}={\sqrt {\tau \cdot (\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )}}$.

Απόδειξη

Θεωρούμε την διαγώνιο ${\rm {A\Gamma }}$ που χωρίζει το τετράπλευρο σε δύο τρίγωνα ${\rm {A\Gamma B}}$ και ${\rm {A\Gamma \Delta }}$. Τότε,

${\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma \Delta }}={\rm {E}}_{\rm {A\Gamma B}}+{\rm {E}}_{\rm {A\Gamma \Delta }}={\tfrac {1}{2}}\alpha \beta \sin {\hat {\rm {B}}}+{\tfrac {1}{2}}\gamma \delta \sin {\hat {\rm {\Delta }}}$.

Υψώνοντας και τα δύο μέλη στο τετράγωνο,

${\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma \Delta }}^{2}={\tfrac {1}{4}}\left(\alpha ^{2}\beta ^{2}\sin ^{2}{\hat {\rm {B}}}+\gamma ^{2}\delta ^{2}\sin ^{2}{\hat {\rm {\Delta }}}+2\alpha \beta \gamma \delta \cdot \sin {\hat {\rm {B}}}\sin {\hat {\rm {\Delta }}}\right)$.

(1)

Από τον νόμο των συνημιτόνων στα τρίγωνα ${\rm {A\Gamma B}}$ και ${\rm {A\Gamma \Delta }}$,

${\rm {A\Gamma }}^{2}=\alpha ^{2}+\beta ^{2}-2\alpha \beta \cos {\hat {\rm {B}}}$,

${\rm {A\Gamma }}^{2}=\gamma ^{2}+\delta ^{2}-2\gamma \delta \cos {\hat {\rm {\Delta }}}$.

Σνδυάζοντας τις δύο παραπάνω σχέσεις λαμβάνουμε

$\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\gamma ^{2}-\delta ^{2}=2\alpha \beta \cos {\hat {\rm {B}}}-2\gamma \delta \cos {\hat {\rm {\Delta }}}$,

και υψώνοντας στο τετράγωνο

${\tfrac {1}{4}}(\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\gamma ^{2}-\delta ^{2})^{2}=\alpha ^{2}\beta ^{2}\cos ^{2}{\hat {\rm {B}}}+\gamma ^{2}\delta ^{2}\cos ^{2}{\hat {\rm {B}}}-2\alpha \beta \gamma \delta \cdot \cos {\hat {\rm {B}}}\cos {\hat {\rm {\Delta }}}$.

(2)

Συνδυάζοντας την (1) και (2), έχουμε ότι

${\begin{aligned}{\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma \Delta }}^{2}&={\tfrac {1}{4}}\left(\alpha ^{2}\beta ^{2}\sin ^{2}{\hat {\rm {B}}}+\gamma ^{2}\delta ^{2}\sin ^{2}{\hat {\rm {\Delta }}}+2\alpha \beta \gamma \delta \cdot \sin {\hat {\rm {B}}}\sin {\hat {\rm {\Delta }}}\right)\\&\qquad +{\tfrac {1}{4}}\left(\alpha ^{2}\beta ^{2}\cos ^{2}{\hat {\rm {B}}}+\gamma ^{2}\delta ^{2}\cos ^{2}{\hat {\rm {B}}}-2\alpha \beta \gamma \delta \cdot \cos {\hat {\rm {B}}}\cos {\hat {\rm {\Delta }}}\right)\\&\qquad -{\tfrac {1}{16}}(\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\gamma ^{2}-\delta ^{2})^{2}.\end{aligned}}$

Χρησιμοποιώντας ότι $\sin ^{2}{\hat {\rm {B}}}+\cos ^{2}{\hat {\rm {B}}}=1$ και $\cos({\hat {\rm {B}}}+{\hat {\rm {\Delta }}})=\cos {\hat {\rm {B}}}\cos {\hat {\rm {\Delta }}}-\sin {\hat {\rm {B}}}\sin {\hat {\rm {\Delta }}}$, έχουμε ότι

${\begin{aligned}{\phantom {{\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma \Delta }}^{2}}}&={\tfrac {1}{4}}\left(\alpha ^{2}\beta ^{2}+\gamma ^{2}\delta ^{2}-2\alpha \beta \gamma \delta \cdot \cos({\hat {\rm {B}}}+{\hat {\rm {\Delta }}})\right)-{\tfrac {1}{16}}(\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\gamma ^{2}-\delta ^{2})^{2}\\&={\tfrac {1}{4}}\left(\alpha ^{2}\beta ^{2}+\gamma ^{2}\delta ^{2}+2\alpha \beta \gamma \delta -2\alpha \beta \gamma \delta \cdot \left(1+\cos({\hat {\rm {B}}}+{\hat {\rm {\Delta }}})\right)\right)\\&\qquad -{\tfrac {1}{16}}(\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\gamma ^{2}-\delta ^{2})^{2}\\&={\tfrac {1}{16}}\left(\left(2\alpha \beta +2\gamma \delta \right)^{2}-(\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\gamma ^{2}-\delta ^{2})^{2}\right)-{\tfrac {1}{2}}\alpha \beta \gamma \delta \cdot \left(1+\cos({\hat {\rm {B}}}+{\hat {\rm {\Delta }}})\right),\end{aligned}}$

όπου χρησιμοποιήσαμε την ταυτότητα για το τετράγωνο του αθροίσματος $(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$.

Πρώτα θα αναπτύξουμε τον πρώτο όρο του αθροίσματος, χρησιμοποιώντας την ταυτότητα για την διαφορά τετραγώνων $x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)$,

${\begin{aligned}&{\tfrac {1}{16}}\left(\left(2\alpha \beta +2\gamma \delta \right)^{2}-(\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\gamma ^{2}-\delta ^{2})^{2}\right)\\&\qquad ={\tfrac {1}{16}}\left(\left(2\alpha \beta +2\gamma \delta \right)-(\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\gamma ^{2}-\delta ^{2})\right)\cdot \left(\left(2\alpha \beta +2\gamma \delta \right)+(\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\gamma ^{2}-\delta ^{2})\right)\\&\qquad ={\tfrac {1}{16}}\left((\gamma +\delta )^{2}-(\alpha -\beta )^{2}\right)\cdot \left((\alpha +\beta )^{2}+(\gamma -\delta )^{2}\right)\\&\qquad ={\tfrac {1}{16}}\left(-\alpha +\beta +\gamma +\delta \right)\cdot \left(\alpha -\beta +\gamma +\delta \right)\cdot \left(\alpha +\beta -\gamma +\delta \right)\cdot \left(\alpha +\beta +\gamma -\delta \right)\\&\qquad =(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )\cdot (\tau -\delta ),\end{aligned}}$

χρησιμοποιώντας ότι $\tau ={\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta +\gamma +\delta )$. Για τον δεύτερο όρο, έχουμε ότι

${\begin{aligned}{\tfrac {1}{2}}\alpha \beta \gamma \delta \cdot \left(1+\cos({\hat {\rm {B}}}+{\hat {\rm {\Delta }}})\right)&={\tfrac {1}{2}}\alpha \beta \gamma \delta \cdot \left(1+\cos(360^{\circ }-({\hat {\rm {B}}}+{\hat {\rm {\Delta }}}))\right)\\&={\tfrac {1}{2}}\alpha \beta \gamma \delta \cdot \left(1+\cos({\hat {\rm {A}}}+{\hat {\rm {\Gamma }}})\right)\\&=\alpha \beta \gamma \delta \cdot \cos ^{2}\left({\tfrac {{\hat {\rm {A}}}+{\hat {\rm {\Gamma }}}}{2}}\right).\end{aligned}}$

Συνδυάζοντας τους δύο παραπάνω καταλήγουμε στο ζητούμενο

${\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma \Delta }}^{2}=(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )\cdot (\tau -\delta )-\alpha \beta \gamma \delta \cdot \cos ^{2}\left({\tfrac {{\hat {\rm {A}}}+{\hat {\rm {\Gamma }}}}{2}}\right)$.

$\square$

Ιστορία

Ο τύπος παίρνει το όνομά του από τον C. A. Bretschneider που τον δημοσίευσε το 1842. Ο τύπος εμφανίζεται και στην δημοσίευση του F. Strehlke

Πόρισμα

Ένα βασικό πόρισμα αυτού του τύπου είναι ότι το τετράπλευρο με μήκη πλευρών $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ με το μέγιστο εμβαδόν είναι το εγγεγραμμένο τετράπλευρο.

Απόδειξη  

Έστω ένα τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ με μήκη πλευρών $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$. Από τον παραπάνω τύπο, έχουμε ότι το εμβαδόν του είναι ίσο με

${\rm {E}}={\sqrt {(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )\cdot (\tau -\delta )-\alpha \beta \gamma \delta \cdot \cos ^{2}\left({\tfrac {\rm {{\hat {A}}+{\hat {\Gamma }}}}{2}}\right)}}$.

Για όλες τις γωνίες ${\hat {\rm {A}}}$ και ${\hat {\rm {\Gamma }}}$, ο όρος $\cos ^{2}\left({\tfrac {\rm {{\hat {A}}+{\hat {\Gamma }}}}{2}}\right)$ είναι μη-αρνητικός. Επομένως, το εμβαδόν μεγιστοποιείται όταν αυτός είναι $0$ ή ισοδύναμα όταν είναι ${\hat {\rm {A}}}+{\hat {\rm {\Gamma }}}=180^{\circ }$ ή ισοδύναμα όταν το ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ είναι εγγράψιμο.

Δείτε επίσης

• Τύπος του Ήρωνα
• Τύπος Βραχμαγκούπτα

Περαιτέρω ανάγνωση

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Dostor, G. (1868). «Propriétés nouvelle du quadrilatère en général avec application aux quadrilatéres inscriptibles, circonscriptibles». Arch. Math. Phys. (48): 245-348. 
• Coolidge, J. L. (1939). «A Historically Interesting Formula for the Area of a Quadrilateral». The American Mathematical Monthly 46 (6): 345–347. doi:10.2307/2302891.