Θεώρημα Νεύτωνα (τετράπλευρα)

Η ευθεία Νεύτωνα σε ένα περιγεγραμμένο τετράπλευρο περιλαμβάνει το κέντρο του εγγεγραμμένου του κύκλου

Στην γεωμετρία, το θεώρημα Νεύτωνα για τα τετράπλευρα λέει ότι σε ένα περιγεγραμμένο τετράπλευρο (που δεν είναι ρόμβος), το κέντρο του εγγεγραμμένου του κύκλου ανήκει στην ευθεία Νεύτωνα (την ευθεία που διέρχεται από τα μέσα των διαγωνίων του).

Πιο συγκεκριμένα, σε ένα περιγεγραμμένο τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$, το κέντρο ${\rm {I}}$ του εγγεγραμμένου του κύκλου και τα μέσα ${\rm {M,N}}$ των διαγωνίων του ${\rm {A\Gamma ,B\Delta }}$, είναι σημεία συνευθειακά.

Απόδειξη

Απόδειξη με θεώρημα Anne  

Τα ορθογώνια τρίγωνα με ίδιο χρώμα έχουν ίσα εμβαδά, και επομένως ${\rm {E}}_{\rm {IAB}}+{\rm {E}}_{\rm {I\Gamma \Delta }}={\rm {E}}_{\rm {IB\Gamma }}+{\rm {E}}_{\rm {I\Delta A}}$.

Έστω ένα περιγεγραμμένο τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ με εγγεγραμμένο κύκλο με κέντρο ${\rm {I}}$, και ${\rm {M,N}}$ τα μέσα των διαγωνίων.

Το θεώρημα Anne λέει ότι ένα σημείο ${\rm {P}}$ ανήκει στην ευθεία των ${\rm {M,N}}$ (την ευθεία Νεύτωνα) ανν

${\rm {E}}_{\rm {PAB}}+{\rm {E}}_{\rm {P\Gamma \Delta }}={\rm {E}}_{\rm {PB\Gamma }}+{\rm {E}}_{\rm {P\Delta A}}$.

Θα αποδείξουμε ότι αυτή την σχέση την ικανοποιεί το σημείο ${\rm {I}}$ και έτσι ανήκει στην ευθεία Νεύτωνα. Θεωρούμε τις προβολές ${\rm {I}}_{\alpha },{\rm {I}}_{\beta },{\rm {I}}_{\gamma },{\rm {I}}_{\delta }$ του ${\rm {I}}$ στις πλευρές ${\rm {AB,B\Gamma ,\Gamma \Delta ,\Delta A}}$ του τετραπλεύρου.

Τα ορθογώνια τρίγωνα ${\rm {AI}}_{\alpha }{\rm {I}}$ και ${\rm {AI}}_{\beta }{\rm {I}}$ είναι ίσα, καθώς ${\rm {II}}_{\alpha }={\rm {II}}_{\beta }$ και ${\rm {AI}}$ κοινή. Συνεπώς, ${\rm {E}}_{{\rm {AI}}_{\alpha }{\rm {I}}}={\rm {E}}_{{\rm {AI}}_{\beta }{\rm {I}}}={\rm {(1)}}$.

Αντίστοιχα,

${\rm {E}}_{{\rm {BI}}_{\alpha }{\rm {I}}}={\rm {E}}_{{\rm {BI}}_{\beta }{\rm {I}}}={\rm {(2)}}$, ${\rm {E}}_{{\rm {\Gamma I}}_{\alpha }{\rm {I}}}={\rm {E}}_{{\rm {\Gamma I}}_{\beta }{\rm {I}}}={\rm {(3)}}$, και ${\rm {E}}_{{\rm {\Delta I}}_{\alpha }{\rm {I}}}={\rm {E}}_{{\rm {\Delta I}}_{\beta }{\rm {I}}}={\rm {(4)}}$.

Επομένως,

${\rm {E}}_{\rm {IAB}}+{\rm {E}}_{\rm {I\Gamma \Delta }}={\rm {(1)}}+{\rm {(2)}}+{\rm {(3)}}+{\rm {(4)}}$, και

${\rm {E}}_{\rm {IB\Gamma }}+{\rm {E}}_{\rm {I\Delta A}}={\rm {(2)}}+{\rm {(3)}}+{\rm {(1)}}+{\rm {(4)}}$.

Άρα,

${\rm {E}}_{\rm {IAB}}+{\rm {E}}_{\rm {I\Gamma \Delta }}={\rm {E}}_{\rm {IB\Gamma }}+{\rm {E}}_{\rm {I\Delta A}}$.

Δείτε επίσης

• Ευθεία Νεύτωνα
• Θεώρημα Anne

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Διαδραστική εφαρμογή με το θεώρημα Νεύτωνα στο Desmos.
• Θεώρημα Νεύτωνα στο Cut-the-Knot.