Θεώρημα του Κομαντίνο

Διάμεσοι ενός τετραέδρου που τέμνονται σε ένα σημείο $S$ (το κεντροειδές του), έτσι ώστε
${\frac {|AS|}{|SS_{BCD}|}}={\frac {|BS|}{|SS_{ACD}|}}={\frac {|CS|}{|SS_{ABD}|}}={\frac {|DS|}{|SS_{ABC}|}}={\frac {3}{1}}$

Το θεώρημα του Κομαντίνο, που οφείλει το όνομά του στον Φεντερίκο Κομαντίνο (1509-1575), δηλώνει ότι οι τέσσερις διάμεσοι ενός τετραέδρου συμπίπτουν σε ένα σημείο S, το οποίο τις διαιρεί σε αναλογία 3:1. Σε ένα τετράεδρο διάμεσος είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει μια κορυφή με το κεντροειδές της απέναντι όψης - δηλαδή το κεντροειδές του απέναντι τριγώνου. Το σημείο S είναι επίσης το κεντροειδές του τετραέδρου.

Ιστορία

Το θεώρημα αποδίδεται στον Κουμαντίνο, ο οποίος δήλωσε, στο έργο του De Centro Gravitatis Solidorum (Το κέντρο βαρύτητας των στερεών, 1565), ότι οι τέσσερις διάμεσοι του τετραέδρου συμπίπτουν. Ωστόσο, σύμφωνα με τον μελετητή του 19ου αιώνα Γκιγιόμ Λιμπρί, ο Φραντσέσκο Μαουρολίκο (1494-1575) ισχυρίστηκε ότι είχε βρει το αποτέλεσμα νωρίτερα. Ωστόσο, ο Λιμπρί πίστευε ότι ήταν γνωστό ακόμη νωρίτερα στον Λεονάρντο ντα Βίντσι, ο οποίος φαίνεται ότι το είχε χρησιμοποιήσει στο έργο του. Ο Τζούλιαν Κούλιτζ συμμερίστηκε αυτή την εκτίμηση, αλλά επεσήμανε ότι δεν μπόρεσε να βρει καμία ρητή περιγραφή ή μαθηματική επεξεργασία του θεωρήματος στα έργα του ντα Βίντσι. άλλοι μελετητές υπέθεσαν ότι το αποτέλεσμα μπορεί να ήταν ήδη γνωστό στους Έλληνες μαθηματικούς κατά την αρχαιότητα.

Γενικεύσεις

Το θεώρημα του Κομαντίνο έχει ένα άμεσο ανάλογο για μονοπλέγματα οποιασδήποτε διάστασης:

Έστω $\Delta$ ένα $d$-μονόπλεγμα κάποιας διάστασης $d>1$ στο $\mathbb {R} ^{n}\;(d,n\in \mathbb {N} ,n\geq d)$ και έστω $V_{0},V_{1},\ldots ,V_{p}$ οι κορυφές του. Επιπλέον, έστω $\ell _{0},\ell _{1},\ldots ,\ell _{d}$, οι διάμεσοι της $\Delta$, οι γραμμές που συνδέουν κάθε κορυφή $V_{i}$ με το κεντροειδές της απέναντι $(d-1)$-διάστατης όψης $V_{0}\ldots V_{i-1}V_{i+1}\ldots V_{d}$. Στη συνέχεια, οι γραμμές αυτές τέμνονται μεταξύ τους σε ένα σημείο $S$, σε αναλογία $d:1$.

Απόλυτη γενικότητα

Η πρώτη αναλογία αποδεικνύεται εύκολα από το ακόλουθο γενικότερο αποτέλεσμα, το οποίο είναι ανάλογο με τη λειτουργία των μοχλών στη φυσική:

Έστω $m$ και $k$ φυσικοί αριθμοί, έτσι ώστε σε έναν $\mathbb {R}$-διανυσματικό χώρο ${\mathcal {V}}$, $m+k$ κατά ζεύγη διαφορετικά σημεία $X_{1},\dots ,X_{m},Y_{1},\dots ,Y_{k}\in {\mathcal {V}}$ δίνονται.

Έστω $S_{X}$ το κεντροειδές των σημείων $X_{i}\;(i=1,\dots ,m)$, έστω $S_{Y}$ το κεντροειδές των σημείων $Y_{j}\;(j=1,\dots ,k)$ και έστω $S$ το κεντροειδές όλων αυτών των σημείων $m+k$.

Τότε, έχουμε

$S=S_{X}+{\frac {k}{m+k}}(S_{Y}-S_{X})={\frac {m}{m+k}}S_{X}+{\frac {k}{m+k}}S_{Y}.$

Συγκεκριμένα, το κεντροειδές $S$ βρίσκεται πάνω στην ευθεία ${\overline {{S_{X}}{S_{Y}}}}$ και τη διαιρεί σε αναλογία $k:m$.

Θεώρημα Ρεούστ

Το προηγούμενο θεώρημα έχει περαιτέρω ενδιαφέρουσες συνέπειες εκτός από την προαναφερθείσα γενίκευση του θεωρήματος του Κουμαντίνο. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την απόδειξη του ακόλουθου θεωρήματος για το κεντροειδές ενός τετραέδρου, το οποίο περιγράφηκε για πρώτη φορά στο βιβλίο Mathematische Unterhaltungen (Μαθηματικές συζητήσεις) από τον Γερμανό φυσικό Φρίντριχ Έντουαρντ Ρέουστ (Friedrich Eduard Reusch) :

Θα μπορούσαμε να βρούμε το κεντροειδές ενός τετραέδρου παίρνοντας τα μέσα σημεία δύο ζευγών δύο αντίθετων ακμών του και συνδέοντας τα αντίστοιχα μέσα σημεία μέσω της αντίστοιχης μέσης γραμμής τους. Το σημείο τομής των δύο μεσαίων γραμμών θα είναι το κεντροειδές του τετραέδρου.

Δεδομένου ότι ένα τετράεδρο έχει έξι ακμές σε τρία αντίθετα ζεύγη, προκύπτει το ακόλουθο συμπέρασμα:

Σε ένα τετράεδρο, οι τρεις μέσες γραμμές που αντιστοιχούν σε αντίθετα μεσοδιαστήματα ακμών συμπίπτουν και το σημείο τομής τους είναι το κεντροειδές του τετραέδρου.

Θεώρημα Βαρινιόν

Μια ειδική περίπτωση του θεωρήματος του Ρεούστ, όπου και οι τέσσερις κορυφές ενός τετραέδρου είναι συμπίπτουσες και βρίσκονται σε ένα μόνο επίπεδο, εκφυλισμένες έτσι σε τετράπλευρο, το θεώρημα του Βαρινιόν, που πήρε το όνομά του από τον Πιερ Βαρινιόν, αναφέρει τα εξής:

Έστω ένα τετράπλευρο στο $\mathbb {R} ^{2}$. Τότε οι δύο μέσες γραμμές που συνδέουν τα απέναντι μέσα των ακμών τέμνονται στο κέντρο του τετραπλεύρου και διαιρούνται στη μέση από αυτό.

Δημοσιεύσεις

• Scott, J. A. (Νοεμβρίου 2007). «91.68 Bridging parallelograms of equal area». The Mathematical Gazette 91 (522): 530–533. doi:10.1017/S0025557200182257. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2007-11_91_522/page/530. 
• Wilhelm Killing: Lehrbuch Der Analytischen Geometrie. Teil 2, Outlook Verlagsgesellschaft, Bremen 2011, ISBN 978-3-86403-540-1.
• Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd έκδοση), Reading: Addison-Wesley 

• Olivier Faugeras and Q.T. Luong (2001). The Geometry of Multiple Images. MIT Press. ISBN 978-0-262-06220-6. 

• Alican, Necip Fikri (2012). Rethinking Plato: A Cartesian Quest for the Real Plato. Amsterdam and New York: Editions Rodopi B.V. ISBN 978-90-420-3537-9. 
• Allen, R. E. (1965). Studies in Plato's Metaphysics II. Taylor & Francis. ISBN 0-7100-3626-4
• Ambuel, David (2007). Image and Paradigm in Plato's Sophist. Parmenides Publishing. ISBN 978-1-930972-04-9
• Anderson, Mark· Osborn, Ginger (2009). Approaching Plato: A Guide to the Early and Middle Dialogues (PDF). Nashville: Belmont University. Αρχειοθετήθηκε (PDF) από το πρωτότυπο στις 20 Ιουνίου 2009. Ανακτήθηκε στις 27 Μαρτίου 2009. 
• Coxeter, H. S. M. (1948). Regular Polytopes. Methuen and Co. 
• Coxeter, H.S.M. (1973). Regular Polytopes (3rd έκδοση). New York: Dover Publications. 
• Cromwell, Peter R. (1997). Polyhedra. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55432-9. 
• Cundy, H. Martyn (1952). «Deltahedra». The Mathematical Gazette 36 (318): 263–266. doi:10.2307/3608204. 
• Fekete, A. E. (1985). Real Linear Algebra. Marcel Dekker Inc. ISBN 978-0-8247-7238-3. 
• Kahan, W. M. (2012). What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages? (PDF) (Διδακτορική διατριβή). σελίδες 16–17. 
• Kepler, Johannes (1619). Harmonices Mundi (The Harmony of the World). Johann Planck. 
• Lee, Jung Rye (1997). «The Law of Cosines in a Tetrahedron». J. Korea Soc. Math. Educ. Ser. B: Pure Appl. Math. 4 (1): 1–6. 
• Murakami, Jun; Yano, Masakazu (2005). «On the volume of a hyperbolic and spherical tetrahedron». Communications in Analysis and Geometry 13 (2): 379–400. doi:10.4310/cag.2005.v13.n2.a5. ISSN 1019-8385. . 
• Park, Poo-Sung (2016). «Regular polytope distances». Forum Geometricorum 16: 227–232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf. 

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Βικιπαίδεια:Εγχειρίδιο μορφής/Μαθηματικά (Περιέχει και τα αγγλοελληνικά Λεξικά Μαθηματικής Ορολογίας)
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Στοιχεία του Ευκλείδη
• Ευκλείδειος χώρος
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Ομογενές πολυώνυμο
• Παραμετρικές εξισώσεις
• Παραβολή (γεωμετρία)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Σπείρα του Αρχιμήδη
• Συνέχεια συνάρτησης
• Πιερ Βαρινιόν
• Λέον Μπαττίστα Αλμπέρτι
• Φιλίππο Μπρουνελλέσκι
• Διανυσματικός χώρος
• Γεωγραφικό μήκος
• Μονοδύναμο στοιχείο
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Euclid’s elements of geometry - The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885) Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Όστιν
• Τα οπτικά του Ευκλείδη Διδακτορική Διατριβή - ΕΑΔΔ
• A History of Greek Mathematics, Τόμος 1
• A History of Greek Mathematics: Τόμος 2
• Advanced Euclidean Geometry
• Methods for Euclidean Geometry.
• Exploring Advanced Euclidean Geometry with GeoGebra.
• Methods for Euclidean Geometry
• Galileo at Work: His Scientific Biography
• The Thirteen Books of Euclid's Elements
• Federici Commandini Commentaria in octo mathematicarum collectionum Pappi ...
• History of Virtual Work Laws: A History of Mechanics Prospective
• Unipotent and Nilpotent Classes in Simple Algebraic Groups and Lie Algebras..

Παραπομπές

• Commandino, Federico - Encyclopedia.com'
• Mathematicae Collectiones a Federico Commandino Urbinate in latinum conversae, et commentariis illustratae. PAPPUS OF ALEXANDRIA.
• Federico Commandino ResearchGate
• A Couple of Nice Extensions of the Median Properties
• Federici Commandini Liber de centro gravitatis solidorum