Θεώρημα του Κωσύ (γεωμετρία)

Το θεώρημα του Κωσύ είναι ένα θεώρημα της γεωμετρίας, το οποίο πήρε το όνομά του από τον Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ. Δηλώνει ότι τα κυρτά πολύτοπα σε τρεις διαστάσεις με σύμφωνες αντίστοιχες επιφάνειες πρέπει να είναι σύμφωνες μεταξύ τους. Δηλαδή, κάθε πολυεδρικό δίχτυ που σχηματίζεται με το ξεδίπλωμα των όψεων του πολυέδρου πάνω σε μια επίπεδη επιφάνεια, μαζί με οδηγίες κόλλησης που περιγράφουν ποιες όψεις πρέπει να συνδεθούν μεταξύ τους, καθορίζει με μοναδικό τρόπο το σχήμα του αρχικού πολυέδρου. Παραδείγματος χάριν, εάν έξι τετράγωνα συνδέονται με το μοτίβο ενός κύβου, τότε πρέπει να σχηματίζουν κύβο: δεν υπάρχει κυρτό πολύεδρο με έξι τετράγωνες επιφάνειες συνδεδεμένες με τον ίδιο τρόπο που να μην έχει το ίδιο σχήμα.

Αυτό αποτελεί ένα θεμελιώδες αποτέλεσμα στη θεωρία ακαμψίας: μια συνέπεια του θεωρήματος είναι ότι, αν κάποιος φτιάξει ένα φυσικό μοντέλο ενός κυρτού πολυέδρου συνδέοντας άκαμπτες πλάκες για κάθε μια από τις επιφάνειες του πολυέδρου με εύκαμπτες αρθρώσεις κατά μήκος των ακμών του πολυέδρου, τότε αυτό το σύνολο πλακών και αρθρώσεων θα σχηματίσει αναγκαστικά μια άκαμπτη δομή.

Δήλωση

Έστω τα P και Q είναι συνδυαστικά ισοδύναμα 3-διάστατα κυρτά πολύτοπα- δηλαδή, είναι κυρτά πολύτοπα με ισόμορφα πλέγματα όψεων. Ας υποθέσουμε επιπλέον ότι κάθε ζεύγος αντίστοιχων όψεων από τα P και Q είναι σύμφωνες μεταξύ τους, δηλαδή ίσες μέχρι μια άκαμπτη κίνηση. Τότε τα P και Q είναι και τα δύο ισότιμα.

Για να διαπιστώσουμε ότι η κυρτότητα είναι απαραίτητη, ας εξετάσουμε ένα κανονικό εικοσάεδρο. Μπορεί κανείς να «σπρώξει» μια κορυφή για να δημιουργήσει ένα μη κυρτό πολύεδρο που εξακολουθεί να είναι συνδυαστικά ισοδύναμο με το κανονικό εικοσάεδρο- δηλαδή, μπορεί να πάρει πέντε πλευρές του εικοσάεδρου που συναντώνται σε μια κορυφή, οι οποίες σχηματίζουν τις πλευρές μιας πενταγωνικής πυραμίδας, και να αντανακλάσει την πυραμίδα ως προς τη βάση της.

Ιστορία

Το αποτέλεσμα προήλθε από το έργο του Ευκλείδη Στοιχεία, όπου τα στερεά ονομάζονται ίσα αν το ίδιο ισχύει και για τις επιφάνειές τους. Αυτή η εκδοχή του αποτελέσματος αποδείχθηκε από τον Κωσύ το 1813 με βάση προηγούμενη εργασία του Λαγκράνζ. Ένα λάθος στην απόδειξη του Κωσύ για το κύριο λήμμα διορθώθηκε από τους Έρνστ Στάινιτζ, Ισαάκ Γιάκομπ Σένμπεργκ και Αλεξάντρ Ντανίλοβιτς Αλεξάντροφ. Η διορθωμένη απόδειξη του Κωσύ είναι τόσο σύντομη και κομψή, που θεωρείται μία από τις αποδείξεις από ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ.^[1]

Γενικεύσεις και συναφή αποτελέσματα

Το αποτέλεσμα δεν ισχύει σε επίπεδο ή για μη κυρτά πολύεδρα στο $\mathbb {R} ^{3}$ : υπάρχουν μη κυρτά εύκαμπτα πολύεδρα που έχουν έναν ή περισσότερους βαθμούς ελευθερίας κίνησης που διατηρούν τα σχήματα των όψεών τους. Συγκεκριμένα, τα οκτάεδρα Μπρικάρ είναι αυτοτεμνόμενες εύκαμπτες επιφάνειες που ανακαλύφθηκαν από τον Γάλλο μαθηματικό Ραούλ Μπρικάρ το 1897. Η σφαίρα Κόνελι, ένα εύκαμπτο μη κυρτό πολύεδρο ομοιομορφικό με μια 2-σφαίρα, ανακαλύφθηκε από τον Ρόμπερτ Κόνελι το 1977.^[2]^[3]
Αν και αρχικά αποδείχθηκε από τον Κωσύ σε τρεις διαστάσεις, το θεώρημα επεκτάθηκε σε διαστάσεις μεγαλύτερες από 3 από τον Αλεξάντροφ (1950).
Το Θεώρημα ακαμψίας του Κωσύ είναι ένα επακόλουθο από το θεώρημα του Κωσύ που δηλώνει ότι ένα κυρτό πολύτοπο δεν μπορεί να παραμορφωθεί έτσι ώστε οι όψεις του να παραμείνουν άκαμπτες.
Το 1974, ο Χέρμαν Γκλουκ έδειξε ότι με μια ορισμένη ακριβή έννοια σχεδόν όλες οι απλά συνδεδεμένες κλειστές επιφάνειες είναι άκαμπτες.^[4]
Το Θεώρημα ακαμψίας του Ντεν είναι μια επέκταση του θεωρήματος ακαμψίας του Κωσύ σε απειροελάχιστη ακαμψία. Το αποτέλεσμα αυτό προέκυψε από τον Ντεν το 1916.
Το θεώρημα μοναδικότητας του Αλεξάντροφ είναι ένα αποτέλεσμα του Αλεξάντροφ (1950), που γενικεύει το θεώρημα του Κωσύ αποδεικνύοντας ότι τα κυρτά πολύεδρα περιγράφονται μοναδικά από τους μετρικούς χώρους των γεωδαισιακών στην επιφάνειά τους. Το ανάλογο θεώρημα μοναδικότητας για λείες επιφάνειες αποδείχθηκε από τους Κον-Βόσεν το 1927. Το θεώρημα μοναδικότητας του Πογκορέλοφ είναι ένα αποτέλεσμα του Πογκορέλοφ που γενικεύει και τα δύο αυτά αποτελέσματα και εφαρμόζεται σε γενικές κυρτές επιφάνειες.

Δημοσιεύσεις

Scott, J. A. (Νοεμβρίου 2007). «91.68 Bridging parallelograms of equal area». The Mathematical Gazette 91 (522): 530–533. doi:10.1017/S0025557200182257. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2007-11_91_522/page/530.
Wilhelm Killing: Lehrbuch Der Analytischen Geometrie. Teil 2, Outlook Verlagsgesellschaft, Bremen 2011, ISBN 978-3-86403-540-1.
Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd έκδοση), Reading: Addison-Wesley

Olivier Faugeras and Q.T. Luong (2001). The Geometry of Multiple Images. MIT Press. ISBN 978-0-262-06220-6.

Overmars, M. H.; van Leeuwen, J. (1981), «Maintenance of configurations in the plane», Journal of Computer and System Sciences 23 (2): 166–204, doi:10.1016/0022-0000(81)90012-X .
Richard Hartley and Andrew Zisserman (2003). Multiple View Geometry in Computer Vision. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54051-3.

Günter M. Ziegler's homepage, including a list of editions and translations.
Shepherd, Mary (2002-08-15). «Review of Proofs from THE BOOK». MAA Reviews (Mathematical Association of America). https://www.maa.org/press/maa-reviews/proofs-from-the-book-1.
Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2009), When less is more: Visualizing basic inequalities, The Dolciani Mathematical Expositions, 36, Mathematical Association of America, Washington, DC, ISBN 978-0-88385-342-9

Barany, Michael (2011), «God, king, and geometry: revisiting the introduction to Cauchy's Cours d'analyse», Historia Mathematica 38 (3): 368–388, doi:10.1016/j.hm.2010.12.001
Boyer, C.: The concepts of the calculus. Hafner Publishing Company, 1949.
Benis-Sinaceur, Hourya (1973). «Cauchy et Bolzano». Revue d'Histoire des Sciences 26 (2): 97–112. doi:10.3406/rhs.1973.3315. https://halshs.archives-ouvertes.fr/halshs-01119625/file/1973_RHS_vol26_n2_p97_CauchyBolzano.pdf.
Laugwitz, D. (1989), «Definite values of infinite sums: aspects of the foundations of infinitesimal analysis around 1820», Arch. Hist. Exact Sci. 39 (3): 195–245, doi:10.1007/BF00329867 .
Gilain, C. (1989), «Cauchy et le Course d'Analyse de l'École Polytechnique», Bulletin de la Société des amis de la Bibliothèque de l'École polytechnique 5: 3–145
Ladislav Beran: The Complex Roots of a Quadratic from a Circle. In: The Mathematical Gazette, Vol. 83, No. 497 (Jul., 1999), S. 287–291 (JSTOR 3619064)
George F. Seelinger, Brent E. Kinser: Revisiting Thomas Carlyle and Mathematics. In: Carlyle Studies Annual, Nr. 24 (2008), S. 67–76 (JSTOR 26592961)

Δείτε επίσης

Field Arithmetic
Βικιπαίδεια:Εγχειρίδιο μορφής/Μαθηματικά (Περιέχει και τα αγγλοελληνικά Λεξικά Μαθηματικής Ορολογίας)
Πραγματικό προβολικό επίπεδο
Στοιχεία του Ευκλείδη
Ευκλείδειος χώρος
Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
Ομογενές πολυώνυμο
Παραμετρικές εξισώσεις
Παραβολή (γεωμετρία)
Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
Σπείρα του Αρχιμήδη
Συνέχεια συνάρτησης
Διπλή εφαπτομένη
Εικοσάεδρο
Κυρτό πολύτοπο
Τετραγωνισμός του κύκλου
Συνημίτονο
Μονοδύναμο στοιχείο
High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Παραπομπές

↑ Aigner, Martin· Ziegler, Günter M. (2014). Proofs from THE BOOK. Springer. σελίδες 91–93. ISBN 9783540404606.
↑ Connelly, Robert (1977). «A counterexample to the rigidity conjecture for polyhedra». Publications Mathématiques de l'IHÉS 47: 333–338. doi:10.1007/BF02684342. ISSN 0073-8301. http://www.numdam.org/item/PMIHES_1977__47__333_0.pdf.
↑ Connelly, Robert (1979). «The Rigidity of Polyhedral Surfaces» (στα αγγλικά). Mathematics Magazine 52 (5): 275–283. doi:10.2307/2689778.
↑ Gluck, Herman (1975). «Almost all simply connected closed surfaces are rigid». Στο: Glaser, Leslie Curtis· Rushing, Thomas Benjamin. Geometric Topology. Lecture Notes in Mathematics (στα Αγγλικά). 438. Springer Berlin Heidelberg. σελίδες 225–239. doi:10.1007/bfb0066118. ISBN 9783540374121.

A. L. Cauchy, "Recherche sur les polyèdres – premier mémoire", Journal de l'École Polytechnique 9 (1813), 66–86.
Max Dehn, "Über die Starrheit konvexer Polyeder" (in German), Math. Ann. 77 (1916), 466–473.
Aleksandr Danilovich Aleksandrov, Convex polyhedra, GTI, Moscow, 1950. English translation: Springer, Berlin, 2005.
James J. Stoker, "Geometrical problems concerning polyhedra in the large", Comm. Pure Appl. Math. 21 (1968), 119–168.
Robert Connelly, "Rigidity", in Handbook of Convex Geometry, vol. A, 223–271, North-Holland, Amsterdam, 1993.

[1] Aigner, Martin· Ziegler, Günter M. (2014). Proofs from THE BOOK. Springer. σελίδες 91–93. ISBN 9783540404606.

[2] Connelly, Robert (1977). «A counterexample to the rigidity conjecture for polyhedra». Publications Mathématiques de l'IHÉS 47: 333–338. doi:10.1007/BF02684342. ISSN 0073-8301. http://www.numdam.org/item/PMIHES_1977__47__333_0.pdf.

[3] Connelly, Robert (1979). «The Rigidity of Polyhedral Surfaces» (στα αγγλικά). Mathematics Magazine 52 (5): 275–283. doi:10.2307/2689778.

[4] Gluck, Herman (1975). «Almost all simply connected closed surfaces are rigid». Στο: Glaser, Leslie Curtis· Rushing, Thomas Benjamin. Geometric Topology. Lecture Notes in Mathematics (στα Αγγλικά). 438. Springer Berlin Heidelberg. σελίδες 225–239. doi:10.1007/bfb0066118. ISBN 9783540374121.

[1]

[2]

[3]

[4]