Θεώρημα του γνώμονα

Γνώμον: $ABFPGD$
Θεώρημα του Γνώμονα: πράσινη περιοχή = κόκκινη περιοχή,
$|AHGD|=|ABFI|,\,|HBFP|=|IPGD|$

Το θεώρημα του γνώμονα δηλώνει ότι ορισμένα παραλληλόγραμμα που εμφανίζονται σε ένα γνώμονα έχουν εμβαδά ίσου μεγέθους.

Θεώρημα

Σε ένα παραλληλόγραμμο $ABCD$ με ένα σημείο $P$ στη διαγώνιο $AC$, η παράλληλος προς $AD$ που διέρχεται από το $P$ τέμνει την πλευρά $CD$ στο $G$ και την πλευρά $AB$ στο $H$. Ομοίως η παράλληλη προς την πλευρά $AB$ που διέρχεται από το $P$ τέμνει την πλευρά $AD$ στο $I$ και την πλευρά $BC$ στο $F$. Τότε το θεώρημα του γνώμονα δηλώνει ότι τα παραλληλόγραμμα $HBFP$ και $IPGD$ έχουν ίσα εμβαδά.

Γνώμων είναι η ονομασία για το σχήμα L που αποτελείται από τα δύο επικαλυπτόμενα παραλληλόγραμμα $ABFI$ και $AHGD$. Τα παραλληλόγραμμα ίσου εμβαδού $HBFP$ και $IPGD$ ονομάζονται συμπληρώματα (των παραλληλογράμμων στη διαγώνιο $PFCG$ και $AHPI$).

Απόδειξη

Η απόδειξη του θεωρήματος είναι απλή αν θεωρήσουμε τα εμβαδά του κύριου παραλληλογράμμου και των δύο εσωτερικών παραλληλογράμμων γύρω από τη διαγώνιο του:

• Πρώτον, η διαφορά μεταξύ του κύριου παραλληλογράμμου και των δύο εσωτερικών παραλληλογράμμων είναι ακριβώς ίση με το συνδυασμένο εμβαδόν των δύο συμπληρωμάτων,
• δεύτερον, και τα τρία διχοτομούνται από τη διαγώνιο. Αυτό δίνει:

$|IPGD|={\frac {|ABCD|}{2}}-{\frac {|AHPI|}{2}}-{\frac {|PFCG|}{2}}=|HBFP|$

Εφαρμογές και επεκτάσεις

γεωμετρική αναπαράσταση μιας διαίρεσης

Μεταφορά του λόγου ενός τμήματος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ στο ευθύγραμμο τμήμα HG: ${\tfrac {|AH|}{|HB|}}={\tfrac {|HP|}{|PG|}}$

Το θεώρημα του γνώμονα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή ενός νέου παραλληλογράμμου ή ορθογωνίου ίσου εμβαδού με ένα δεδομένο παραλληλόγραμμο ή ορθογώνιο χρησιμοποιώντας χάρακα και διαβήτη. Αυτό επιτρέπει επίσης την αναπαράσταση μιας διαίρεσης δύο αριθμών με γεωμετρικούς όρους, ένα σημαντικό χαρακτηριστικό για την αναδιατύπωση γεωμετρικών προβλημάτων με αλγεβρικούς όρους. Πιο συγκεκριμένα, αν δύο αριθμοί δίνονται ως μήκη ευθύγραμμων τμημάτων μπορεί κανείς να κατασκευάσει ένα τρίτο ευθύγραμμο τμήμα, το μήκος του οποίου αντιστοιχεί στο πηλίκο αυτών των δύο αριθμών (βλέπε διάγραμμα). Μια άλλη εφαρμογή είναι η μεταφορά του λόγου του τμήματος ενός ευθύγραμμου τμήματος σε ένα άλλο ευθύγραμμο τμήμα (διαφορετικού μήκους), διαιρώντας έτσι αυτό το άλλο ευθύγραμμο τμήμα με τον ίδιο λόγο όπως ένα δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα και το τμήμα του (βλ. διάγραμμα).

Το $\mathbb {A}$ είναι το (κάτω) παραλληλεπίπεδο γύρω από τη διαγώνιο με $P$ και τα συμπληρώματά του $\mathbb {B}$, $\mathbb {C}$ και $\mathbb {D}$ έχουν τον ίδιο όγκο: $|\mathbb {B} |=|\mathbb {C} |=|\mathbb {D} |$

Μια παρόμοια δήλωση μπορεί να γίνει σε τρεις διαστάσεις για τα παραλληλεπίπεδα. Σε αυτή την περίπτωση έχουμε ένα σημείο $P$ στη διαγώνιο του χώρου ενός παραλληλεπιπέδου και αντί για δύο παράλληλες ευθείες έχουμε τρία επίπεδα που διέρχονται από το $P$, το καθένα παράλληλο με τις επιφάνειες του παραλληλεπιπέδου. Τα τρία επίπεδα χωρίζουν το παραλληλεπίπεδο σε οκτώ μικρότερα παραλληλεπίπεδα- δύο από αυτά περιβάλλουν τη διαγώνιο και συναντώνται στο $P$. Τώρα κάθε ένα από αυτά τα δύο παραλληλεπίπεδα γύρω από τη διαγώνιο έχει τρία από τα υπόλοιπα έξι παραλληλεπίπεδα προσαρτημένα σε αυτό, και αυτά τα τρία παίζουν το ρόλο των συμπληρωμάτων και είναι ίσου όγκου (βλ. διάγραμμα).

Γενικό θεώρημα για ένθετα παραλληλόγραμμα

γενικό θεώρημα:
πράσινη περιοχή = μπλε περιοχή - κόκκινη περιοχή

Το θεώρημα του γνώμονα είναι ειδική περίπτωση μιας γενικότερης δήλωσης για τα ένθετα παραλληλόγραμμα με κοινή διαγώνιο. Για ένα δεδομένο παραλληλόγραμμο $ABCD$ θεωρούμε ένα αυθαίρετο εσωτερικό παραλληλόγραμμο $AFCE$ που έχει επίσης ως διαγώνιο το $AC$. Επιπλέον υπάρχουν δύο μοναδικά καθορισμένα παραλληλόγραμμα $GFHD$ και $IBJF$ των οποίων οι πλευρές είναι παράλληλες με τις πλευρές του εξωτερικού παραλληλογράμμου και τα οποία μοιράζονται την κορυφή $F$ με το εσωτερικό παραλληλόγραμμο. Τώρα η διαφορά των εμβαδών αυτών των δύο παραλληλογράμμων είναι ίση με το εμβαδόν του εσωτερικού παραλληλογράμμου, δηλαδή:

$|AFCE|=|GFHD|-|IBJF|$

Αυτή η δήλωση δίνει το θεώρημα του γνώμονα αν εξετάσουμε ένα εκφυλισμένο εσωτερικό παραλληλόγραμμο $AFCE$ του οποίου οι κορυφές βρίσκονται όλες στη διαγώνιο $AC$. Αυτό σημαίνει συγκεκριμένα για τα παραλληλόγραμμα $GFHD$ και $IBJF$, ότι το κοινό τους σημείο $F$ βρίσκεται πάνω στη διαγώνιο και ότι η διαφορά των εμβαδών τους είναι μηδέν, πράγμα που δηλώνει ακριβώς το θεώρημα του γνώμονα.

Ιστορικές πτυχές

Το θεώρημα του γνώμονα περιγράφηκε ήδη στα Στοιχεία του Ευκλείδη (γύρω στο 300 π.Χ.), και εκεί παίζει σημαντικό ρόλο στην εξαγωγή άλλων θεωρημάτων. Δίνεται ως πρόταση 43 στο Βιβλίο Ι των Στοιχείων, όπου διατυπώνεται ως δήλωση για τα παραλληλόγραμμα χωρίς να χρησιμοποιείται ο όρος «γνώμονας».

 α'-μγ' -Παντὸς παραλληλογράμμου τῶν περὶ τὴν διάμετρον παραλληλογράμμων τὰ παραπληρώματα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν

 1-43. Σε κάθε παραλληλόγραμμο τα παραπληρώματα των παραλληλογράμμων γύρω από τη διάμετρο είναι ίσες μεταξύ τους.

Ο τελευταίος εισάγεται από τον Ευκλείδη ως ο δεύτερος ορισμός του δεύτερου βιβλίου των Στοιχείων. Περαιτέρω θεωρήματα για τα οποία ο γνώμονας και οι ιδιότητές του παίζουν σημαντικό ρόλο είναι η πρόταση 6 στο Βιβλίο ΙΙ, η πρόταση 29 στο Βιβλίο VI και οι προτάσεις 1 έως 4 στο Βιβλίο XIII.

Δημοσιεύσεις

• Scott, J. A. (Νοεμβρίου 2007). «91.68 Bridging parallelograms of equal area». The Mathematical Gazette 91 (522): 530–533. doi:10.1017/S0025557200182257. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2007-11_91_522/page/530. 
• Wilhelm Killing: Lehrbuch Der Analytischen Geometrie. Teil 2, Outlook Verlagsgesellschaft, Bremen 2011, ISBN 978-3-86403-540-1.
• Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd έκδοση), Reading: Addison-Wesley 

• Olivier Faugeras and Q.T. Luong (2001). The Geometry of Multiple Images. MIT Press. ISBN 978-0-262-06220-6. 

• Richard I. Hartley (1992). «Estimation of relative camera positions for uncalibrated cameras». https://link.springer.com/chapter/10.1007/3-540-55426-2_62. 

• Richard Hartley and Andrew Zisserman (2003). Multiple View Geometry in Computer Vision. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54051-3. 

• Richard I. Hartley (1997). «In Defense of the Eight-Point Algorithm». IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence 19 (6): 580–593. doi:10.1109/34.601246. 
• Axler, Sheldon (2015). Linear Algebra Done Right. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. doi:10.1007/978-3-319-11080-6. ISBN 978-3-319-11079-0. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 27 Μαΐου 2022. Ανακτήθηκε στις 17 Απριλίου 2022. 
• Berlinski, David (2011). A Tour of the Calculus. Knopf Doubleday Publishing Group. ISBN 9780307789730. 
• Brannan, David A.· Esplen, Matthew F.· Gray, Jeremy J. (1998). Geometry. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-59787-6. 
• Burton, David M. (2011). The History of Mathematics/An Introduction (7th έκδοση). New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-338315-6. 

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Στοιχεία του Ευκλείδη
• Ευκλείδειος χώρος
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Ομογενές πολυώνυμο
• Παραμετρικές εξισώσεις
• Παραβολή (γεωμετρία)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Πολικό σύστημα συντεταγμένων
• Παραλληλόγραμμο
• Πολλαπλασιασμός πινάκων
• Επαναλαμβανόμενη συνάρτηση
• Χώρος Γραμμών και Χώρος Στηλών
• Μηδενοδύναμο στοιχείο
• Μονοδύναμο στοιχείο
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Euclid’s elements of geometry - The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885) Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Όστιν
• A History of Greek Mathematics, Τόμος 1
• A History of Greek Mathematics: Τόμος 2
• Advanced Euclidean Geometry
• Methods for Euclidean Geometry.
• Exploring Advanced Euclidean Geometry with GeoGebra.
• Methods for Euclidean Geometry
• Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads
• The Evolution of the Euclidean Elements: A Study of the Theory of...
• Representations of Nilpotent Lie Groups and Their Applications: Volume 1 .. ...
• Unipotent and Nilpotent Classes in Simple Algebraic Groups and Lie Algebras..

Παραπομπές

• George W. Evans: Some of Euclid's Algebra. The Mathematics Teacher, Band 20, Nr. 3 (März, 1927), S. 127–141 (JSTOR)
• William J. Hazard: Generalizations of the Theorem of Pythagoras and Euclid's Theorem of the Gnomon. The American Mathematical Monthly, Band 36, Nr. 1 (Jan., 1929), S. 32–34 (JSTOR)
• Paolo Vighi, Igino Aschieri: From Art to Mathematics in the Paintings of Theo van Doesburg. In: Vittorio Capecchi (Hrsg.), Massimo Buscema (Hrsg.), Pierluigi Contucci (Hrsg.), Bruno D’Amore (Hrsg.): Applications of Mathematics in Models, Artificial Neural Networks and Arts. Springer, 2010, ISBN 978-90-481-8581-8, S. 601–610, insbesondere S. 303–306