Μέση τιμή

Η μέση τιμή είναι μια ποσότητα που αντιπροσωπεύει το «κέντρο» μιας συλλογής αριθμών και βρίσκεται στο ενδιάμεσο των ακραίων τιμών του συνόλου των αριθμών. Υπάρχουν διάφορα είδη μέσων τιμών (ή «μέτρων κεντρικής τάσης») στα μαθηματικά, ιδίως στη στατιστική. Καθένα από αυτά επιχειρεί να συνοψίσει ή να τυποποιήσει μια δεδομένη ομάδα δεδομένων, απεικονίζοντας το μέγεθος και το πρόσημο του συνόλου δεδομένων. Το ποιο από αυτά τα μέτρα είναι πιο διαφωτιστικό εξαρτάται από το τι μετράται, καθώς και από το πλαίσιο και τον σκοπό.

Η αριθμητική μέση τιμή, επίσης γνωστή ως «αριθμητικός μέσος όρος», είναι το άθροισμα των τιμών διαιρούμενο με τον αριθμό των τιμών. Η αριθμητική μέση τιμή ενός συνόλου αριθμών x₁, x₂, ..., x_n συμβολίζεται συνήθως με μια επάνω γραμμή (overline), ${\bar {x}}$. Εάν οι αριθμοί προέρχονται από την παρατήρηση ενός δείγματος μιας μεγαλύτερης ομάδας, η αριθμητική μέση τιμή ονομάζεται δειγματική μέση τιμή (${\bar {x}}$) για να διακρίνεται από τη μέση τιμή της ομάδας (ή την αναμενόμενη τιμή) της υποκείμενης κατανομής, η οποία συμβολίζεται με $\mu$ ή $\mu _{x}$.

Εκτός των πιθανοτήτων και της στατιστικής, ένα ευρύ φάσμα άλλων εννοιών της μέσης τιμής χρησιμοποιείται συχνά στη γεωμετρία και τη μαθηματική ανάλυση- παρουσιάζονται παραδείγματα παρακάτω.

Κατηγορίες μέσες τιμές

Πυθαγόρειες μέσες τιμές

Στα μαθηματικά, οι τρεις κλασικές πυθαγόρειες μέσες τιμές είναι η αριθμητική μέση τιμή (AM), η γεωμετρική μέση τιμή (GM) και η αρμονική μέση τιμή (HM). Αυτές οι μέσες τιμές μελετήθηκαν με αναλογίες από τους Πυθαγόρειους και μεταγενέστερες γενιές Ελλήνων μαθηματικών λόγω της σημασίας τους στη γεωμετρία και τη μουσική.

Αριθμητική μέση τιμή (AM)

Η αριθμητική μέση τιμή (ή απλά «μέση τιμή» ή «μέσος όρος») μιας λίστας αριθμών, είναι το άθροισμα όλων των αριθμών διαιρούμενο με τον αριθμό τους. Ομοίως, η μέση τιμή ενός δείγματος $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$, που συνήθως συμβολίζεται με ${\bar {x}}$, είναι το άθροισμα των τιμών του δείγματος διαιρεμένο με τον αριθμό των στοιχείων του δείγματος.

${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}$

Παραδείγματος χάριν, η αριθμητική μέση τιμή πέντε τιμών: 4, 36, 45, 50, 75 είναι:

${\frac {4+36+45+50+75}{5}}={\frac {210}{5}}=42.$

Γεωμετρική μέση τιμή (GM)

Η γεωμετρική μέση τιμή είναι ένας μέσος όρος που είναι χρήσιμος για σύνολα θετικών αριθμών, τα οποία ερμηνεύονται σύμφωνα με το γινόμενό τους (όπως συμβαίνει με τους ρυθμούς ανάπτυξης) και όχι με το άθροισμά τους (όπως συμβαίνει με την αριθμητική μέση τιμή):

${\bar {x}}=\left(\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^{\frac {1}{n}}=\left(x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\right)^{\frac {1}{n}}$

Παραδείγματος χάριν, η γεωμετρική μέση τιμή πέντε τιμών: 4, 36, 45, 50, 75 είναι:

$(4\times 36\times 45\times 50\times 75)^{\frac {1}{5}}={\sqrt[{5}]{24\;300\;000}}=30.$

Αρμονική μέση τιμή (HM)

Η αρμονική μέση τιμή είναι ένας μέσος όρος που είναι χρήσιμος για σύνολα αριθμών που ορίζονται σε σχέση με κάποια μονάδα, όπως στην περίπτωση της ταχύτητας (δηλαδή της απόστασης ανά μονάδα χρόνου):

${\bar {x}}=n\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\right)^{-1}$

Παραδείγματος χάριν, η αρμονική μέση τιμή των πέντε τιμών: 4, 36, 45, 50, 75 είναι

${\frac {5}{{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{36}}+{\tfrac {1}{45}}+{\tfrac {1}{50}}+{\tfrac {1}{75}}}}={\frac {5}{\;{\tfrac {1}{3}}\;}}=15.$

Εάν έχουμε πέντε αντλίες που μπορούν να αδειάσουν μια δεξαμενή συγκεκριμένου μεγέθους σε 4, 36, 45, 50 και 75 λεπτά αντίστοιχα, τότε η αρμονική μέση τιμή των $15$ μας λέει ότι αυτές οι πέντε διαφορετικές αντλίες που δουλεύουν μαζί θα αντλήσουν με τον ίδιο ρυθμό όσο και πέντε αντλίες που η καθεμία μπορεί να αδειάσει τη δεξαμενή σε $15$ λεπτά.

Σχέση μεταξύ AM, GM και HM

Απόδειξη χωρίς λόγια της ανισότητας AM-GM:

Χρησιμοποιώντας το θεώρημα της γεωμετρικής μέσης τιμής, το υψόμετρο GQ του τριγώνου PGR είναι η γεωμετρική μέση τιμή. Για κάθε λόγο a:b, AO ≥ GQ.

Οι AM, GM και HM ικανοποιούν αυτές τις ανισότητες:

$\mathrm {AM} \geq \mathrm {GM} \geq \mathrm {HM} \,$

Η ισότητα ισχύει εάν όλα τα στοιχεία του συγκεκριμένου δείγματος είναι ίσα.

Στατιστική θέση

Στην περιγραφική στατιστική, η μέση τιμή μπορεί να συγχέεται με τη διάμεση τιμή, τον τρόπο ή το μέσο εύρος, καθώς οποιοδήποτε από αυτά μπορεί εσφαλμένα να αποκαλείται «μέσος όρος» (πιο επίσημα, μέτρο κεντρικής τάσης). Η μέση τιμή ενός συνόλου παρατηρήσεων είναι ο αριθμητικός μέσος όρος των τιμών- ωστόσο, για λοξές κατανομές, η μέση τιμή δεν είναι απαραίτητα η ίδια με τη μέση τιμή (διάμεσος) ή την πιο πιθανή τιμή (τρόπος). Παραδείγματος χάριν, το μέσο εισόδημα είναι συνήθως στραβό προς τα πάνω από ένα μικρό αριθμό ατόμων με πολύ μεγάλα εισοδήματα, έτσι ώστε η πλειοψηφία να έχει εισόδημα χαμηλότερο από τη μέση τιμή. Αντίθετα, το διάμεσο εισόδημα είναι το επίπεδο στο οποίο ο μισός πληθυσμός βρίσκεται κάτω και ο μισός πάνω από αυτό. Το μέσο εισόδημα είναι το πιθανότερο εισόδημα και ευνοεί τον μεγαλύτερο αριθμό ατόμων με χαμηλότερα εισοδήματα. Ενώ η διάμεσος και ο τρόπος είναι συχνά πιο διαισθητικά μέτρα για τέτοια στρεβλά δεδομένα, πολλές στρεβλές κατανομές περιγράφονται στην πραγματικότητα καλύτερα από τη μέση τιμή τους, συμπεριλαμβανομένων των εκθετικών κατανομών και της κατανομής Πουασόν.

Σύγκριση της αριθμητικής μέσης τιμής, της διαμέσου και του τρόπου λειτουργίας δύο στρεβλών (λογαριθμοκανονικών) κατανομών

Μέση τιμή μιας κατανομής πιθανοτήτων

Κύριο άρθρο: Αναμενόμενη τιμή

Γεωμετρική απεικόνιση του τρόπου, της διαμέσου και της μέσης τιμής μιας αυθαίρετης συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας

Η μέση τιμή μιας κατανομής πιθανοτήτων είναι η μακροχρόνια αριθμητική μέση τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής που έχει αυτή την κατανομή. Εάν η τυχαία μεταβλητή συμβολίζεται με $X$, τότε η μέση τιμή είναι επίσης γνωστή ως η αναμενόμενη τιμή της $X$ (συμβολίζεται με $E(X)$). Για μια διακριτή κατανομή πιθανότητας, η μέση τιμή δίνεται από τη σχέση $\textstyle \sum xP(x)$, όπου το άθροισμα λαμβάνεται σε όλες τις πιθανές τιμές της τυχαίας μεταβλητής και $\textstyle \sum xP(x)$ είναι η συνάρτηση μάζας πιθανότητας. Για μια συνεχή κατανομή, η μέση τιμή είναι $\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx$ είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Σε όλες τις περιπτώσεις, συμπεριλαμβανομένων εκείνων στις οποίες η κατανομή δεν είναι ούτε διακριτή ούτε συνεχής, η μέση τιμή είναι το ολοκλήρωμα Λεμπέσγκ της τυχαίας μεταβλητής ως προς το μέτρο πιθανότητάς της. Ο μέσος όρος δεν είναι απαραίτητο να υπάρχει ή να είναι πεπερασμένος- για ορισμένες κατανομές πιθανότητας η μέση τιμή είναι άπειρη (+∞ or −∞),, ενώ για άλλες η μέση τιμή είναι απροσδιόριστη.

Γενικευμένη μέση τιμή

Μέση ισχύς

Η γενικευμένη μέση τιμή, επίσης γνωστή ως μέση τιμή δύναμης ή μέση τιμή Χόλντερ, είναι μια αφαίρεση των τετραγωνικών, αριθμητικών, γεωμετρικών και αρμονικών μέσων τιμών. Ορίζεται για ένα σύνολο n θετικών αριθμών x_i με

${\bar {x}}(m)=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{m}\right)^{\frac {1}{m}}$

Επιλέγοντας διαφορετικές τιμές για την παράμετρο m, προκύπτουν οι ακόλουθες κατηγορίες μέσης τιμής:

$\lim _{m\to \infty }$

μέγιστη του $x_{i}$

$\lim _{m\to 2}$

τετραγωνική μέση τιμή

$\lim _{m\to 1}$

αριθμητική μέση τιμή

$\lim _{m\to 0}$

γεωμετρική μέση τιμή

$\lim _{m\to -1}$

αρμονική μέση τιμή

$\lim _{m\to -\infty }$

ελαχίστη του $x_{i}$

f-μέση τιμή

Αυτό μπορεί να γενικευτεί περαιτέρω ως γενικευμένη f-μέση τιμή

και πάλι μια κατάλληλη επιλογή ενός αντιστρέψιμου f θα δώσει

$f(x)=x^{m}$	μέση τιμή ισχύος,
$f(x)=x$	αριθμητική μέση τιμή,
$f(x)=\ln(x)$	γεωμετρική μέση τιμή.
$f(x)=x^{-1}={\frac {1}{x}}$	αρμονική μέση τιμή,

Σταθμισμένη αριθμητική μέση τιμή

Η σταθμισμένη αριθμητική μέση τιμή (ή σταθμισμένος μέσος όρος) χρησιμοποιείται εάν κάποιος θέλει να συνδυάσει μέσες τιμές από δείγματα διαφορετικού μεγέθους του ίδιου πληθυσμού:

${\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{w_{i}{\bar {x_{i}}}}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}.$

Όπου ${\bar {x_{i}}}$ και $w_{i}$ είναι η μέση τιμή και το μέγεθος του δείγματος $i$ αντίστοιχα. Σε άλλες εφαρμογές, αντιπροσωπεύουν ένα μέτρο για την αξιοπιστία της επιρροής του μέσου όρου από τις αντίστοιχες τιμές.

Αποκομμένη μέση τιμή

Μερικές φορές, ένα σύνολο αριθμών μπορεί να περιέχει ακραίες τιμές (δηλαδή τιμές δεδομένων που είναι πολύ χαμηλότερες ή πολύ υψηλότερες από τις υπόλοιπες). Συχνά, οι ακραίες τιμές είναι εσφαλμένα δεδομένα που προκαλούνται από τεχνουργήματα. Στην περίπτωση αυτή, μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει μια αποκομμένη μέση τιμή. Περιλαμβάνει την απόρριψη συγκεκριμένων τμημάτων των δεδομένων στο άνω ή στο κάτω άκρο, συνήθως ίσης ποσότητας σε κάθε άκρο, και στη συνέχεια τη λήψη του αριθμητικού μέσου των εναπομεινάντων δεδομένων. Ο αριθμός των τιμών που αφαιρούνται αναφέρεται ως ποσοστό του συνολικού αριθμού των τιμών.

Διατεταρτημοριακή μέση τιμή

Η διατεταρτημοριακή μέση τιμή είναι ένα συγκεκριμένο παράδειγμα μιας περικομμένης μέσης τιμής. Είναι απλώς η αριθμητική μέση τιμή μετά την αφαίρεση του χαμηλότερου και του υψηλότερου τετάρτου των τιμών.

${\bar {x}}={\frac {2}{n}}\;\sum _{i={\frac {n}{4}}+1}^{{\frac {3}{4}}n}\!\!x_{i}$

υποθέτοντας ότι οι τιμές έχουν ταξινομηθεί, οπότε είναι απλώς ένα συγκεκριμένο παράδειγμα μιας σταθμισμένης μέσης τιμής για ένα συγκεκριμένο σύνολο βαρών.

Μέση τιμή μιας συνάρτησης

Σε ορισμένες περιπτώσεις, οι μαθηματικοί μπορούν να υπολογίσουν την μέση τιμή ενός άπειρου (ή ακόμη και μη αναρίθμητου) συνόλου τιμών. Αυτό μπορεί να συμβεί κατά τον υπολογισμό της μέσης τιμής $y_{\text{avg}}$ μιας συνάρτησης $f(x)$. Διαισθητικά, η μέση τιμή μιας συνάρτησης μπορεί να θεωρηθεί ως ο υπολογισμός του εμβαδού κάτω από ένα τμήμα μιας καμπύλης και στη συνέχεια η διαίρεση με το μήκος αυτού του τμήματος. Αυτό μπορεί να γίνει χονδροειδώς μετρώντας τετράγωνα σε χαρτί γραφικών παραστάσεων, ή ακριβέστερα με ολοκλήρωση. Ο τύπος της ολοκλήρωσης γράφεται ως εξής:

$y_{\text{avg}}(a,b)={\frac {1}{b-a}}\int \limits _{a}^{b}\!f(x)\,dx$

Σε αυτή την περίπτωση, πρέπει να ληφθεί μέριμνα ώστε το ολοκλήρωμα να συγκλίνει. Αλλά η μέση τιμή μπορεί να είναι πεπερασμένη ακόμη και αν η ίδια η συνάρτηση τείνει στο άπειρο σε ορισμένα σημεία.

Μέση τιμή γωνιών και κυκλικών μεγεθών

Οι γωνίες, οι ώρες της ημέρας και άλλες κυκλικές ποσότητες απαιτούν Μοδιακή αριθμητική για να προσθέσουν και να συνδυάσουν με άλλο τρόπο αριθμούς. Σε όλες αυτές τις περιπτώσεις, δεν θα υπάρχει μία μοναδική μέση τιμή. Παραδείγματος χάριν, οι ώρες μια ώρα πριν και μετά τα μεσάνυχτα ισαπέχουν τόσο από τα μεσάνυχτα όσο και από το μεσημέρι. Είναι επίσης πιθανό να μην υπάρχει μέση τιμή. Σκεφτείτε έναν τροχό χρωμάτων - δεν υπάρχει μέση τιμή στο σύνολο όλων των χρωμάτων. Σε αυτές τις περιπτώσεις, πρέπει να αποφασίσετε ποια μέση τιμή είναι πιο χρήσιμη. Μπορούμε να το κάνουμε αυτό προσαρμόζοντας τις τιμές πριν από τη μέση τιμή ή χρησιμοποιώντας μια εξειδικευμένη προσέγγιση για τη μέση τιμή κυκλικών ποσοτήτων.

Μέση τιμή Φρεσέ

Η μέση τιμή Φρεσέ δίνει έναν τρόπο για τον προσδιορισμό του «κέντρου» μιας κατανομής μάζας σε μια επιφάνεια ή, γενικότερα, σε μια πολλαπλή του Ριμάν. Σε αντίθεση με πολλά άλλα μέσα, η μέση τιμή Φρεσέ ορίζεται σε ένα χώρο του οποίου τα στοιχεία δεν μπορούν απαραίτητα να προστεθούν ή να πολλαπλασιαστούν με κλιμάκια. Μερικές φορές είναι επίσης γνωστός ως μέση τιμή Κάρτσερ (από το όνομα του Χέρμαν Κάρτσερ).

Τριγωνικά σύνολα

Στη γεωμετρία, υπάρχουν χιλιάδες διαφορετικοί ορισμοί για το κέντρο ενός τριγώνου που μπορούν όλοι να ερμηνευθούν ως μέση τιμή ενός τριγωνικού συνόλου σημείων στο επίπεδο.

Κανόνας του Σουάνσον

Πρόκειται για μια προσέγγιση της μέσης τιμής για μια μέτρια στρεβλή κατανομή. Χρησιμοποιείται στην εξερεύνηση υδρογονανθράκων και ορίζεται ως εξής:

$m=0.3P_{10}+0.4P_{50}+0.3P_{90}$

όπου ${\textstyle P_{10}}$, ${\textstyle P_{50}}$ και ${\textstyle P_{90}}$ είναι το 10ο, 50ο και 90ο εκατοστημόριο της κατανομής, αντίστοιχα.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών

Δείτε επίσης

• Θεωρία αριθμών
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Φυσικός αριθμός
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Μοδιακή αριθμητική
• Θεωρία αναπαραστάσεων
• Μη ευκλείδειες γεωμετρίες
• Άρτιοι και περιττοί αριθμοί
• Ευκλείδειος χώρος
• Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι
• Πολλαπλάσιο (μαθηματικά)
• Συνάρτηση μάζας πιθανότητας
• Κατανομή πιθανότητας
• Διακριτός μετασχηματισμός Φουριέ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Στατιστικός πληθυσμός
• Ευκλείδειος χώρος

Βιβλιογραφία

• The Pearson Guide to Mathematics for the AIEEE 2012. Pearson Education India. ISBN 978-81-317-6390-2. 
• Singh, Dr S. K.· Singh, Dr Awadesh Kumar (15 Μαρτίου 2024). Business Mathematics And Statistics Class 12 Revised 17th Edition for the Session of 2024-25. SBPD Publications. 
• Khattar (2010). The Pearson Guide to Complete Mathematics for AIEEE, 3/e (New Edition). Pearson Education India. ISBN 978-81-317-2126-1. 
• Dinesh, Khattar (2010). The Pearson Guide To Complete Mathematics For The Aieee, 4/E. Pearson Education India. ISBN 978-81-317-3380-6. 
• Sharma/khattar (2010). The Pearson Guide To Objective Mathematics For Engineering Entrance Examinations, 3/E. Pearson Education India. ISBN 978-81-317-2363-0. 
• Agarwal, Ravi P. (2024). Mathematics Before and After Pythagoras: Exploring the Foundations and Evolution of Mathematical Thought. Springer Nature. ISBN 978-3-031-74224-8. 
• Posamentier, Alfred S. (8 Ιουνίου 2021). Creative Secondary School Mathematics: 125 Enrichment Units For Grades 7 To 12. World Scientific. ISBN 978-981-12-4044-7. 
• Comprehensive Mathematics IX. Laxmi Publications. ISBN 978-81-7008-629-1. 

Παραπομπές

• Joachim H. Ahrens, Ulrich Dieter (1974). «Computer Methods for Sampling from Gamma, Beta, Poisson and Binomial Distributions». Computing 12 (3): 223–246. doi:10.1007/BF02293108. 
• Joachim H. Ahrens, Ulrich Dieter (1982). «Computer Generation of Poisson Deviates». ACM Transactions on Mathematical Software 8 (2): 163–179. doi:10.1145/355993.355997. https://archive.org/details/sim_acm-transactions-on-mathematical-software_1982-06_8_2/page/163. 
• Pettofrezzo, Anthony J.· Byrkit, Donald R. (1970). Elements of Number Theory. Englewood Cliffs: Prentice Hall. ISBN 9780132683005. LCCN 71081766. 
• Sengadir, T. (2009). Discrete Mathematics and Combinatorics. Chennai, India: Pearson Education India. ISBN 978-81-317-1405-8. OCLC 778356123. 
• en:George W. Mackey, Harmonic analysis as the exploitation of symmetry–a historical survey, Bull. Amer. Math. Soc. 3 (1980), 543–698.
• M. Bujosa, A. Bujosa and A. Garcıa-Ferrer. Mathematical Framework for Pseudo-Spectra of Linear Stochastic Difference Equations, IEEE Transactions on Signal Processing vol. 63 (2015), 6498–6509.
• Wallach, Nolan R (1976), «On the Enright-Varadarajan modules: a construction of the discrete series», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure 4 (1): 81–101, doi:10.24033/asens.1304 
• Luiz, Atílio; Richter, Bruce (2014), «Remarks on a conjecture of Barát and Tóth», Electronic Journal of Combinatorics 21 (1): P1.57, doi:10.37236/3396, http://www.combinatorics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/v21i1p57 .

Πηγές

• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0 
• Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, New York: Copernicus, ISBN 978-0-387-97993-9 
• Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2005), Prime Numbers: A Computational Perspective (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-25282-7 
• Singer, I. M.· Thorpe, J. A. (28 Μαΐου 2015). Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry. Springer. ISBN 978-1-4615-7347-0. 
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0