Πίνακας με εναλλασσόμενο πρόσημο

${\begin{matrix}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}0&1&0\\1&-1&1\\0&1&0\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}}\end{matrix}}$

Οι επτά πίνακες με εναλλασσόμενο πρόσημο μεγέθους 3

Στα μαθηματικά, ένας πίνακας με εναλλασσόμενο πρόσημο είναι ένας τετραγωνικός πίνακας με 0, 1 και -1, έτσι ώστε το άθροισμα κάθε γραμμής και στήλης να είναι 1 και οι μη μηδενικές καταχωρήσεις σε κάθε γραμμή και στήλη να εναλλάσσονται ως προς το πρόσημο. Αυτοί οι πίνακες γενικεύουν τους πίνακες μεταθέσεων και προκύπτουν φυσικά όταν χρησιμοποιείται η συμπύκνωση Ντόντγκσον για τον υπολογισμό ενός καθοριστικού παράγοντα. Είναι επίσης στενά συνδεδεμένοι με το πρότυπο των έξι κορυφών με οριακές συνθήκες τοιχώματος περιοχής από τη στατιστική μηχανική. Για πρώτη φορά ορίστηκαν από τους Γουίλιαμ Μιλς, Ντέιβιντ Ρόμπινς και Χάουαρντ Ράμσεϊ στο πρώτο πλαίσιο.

Παραδείγματα

Ένας πίνακας αντιμετάθεσης είναι ένας πίνακας με εναλλασσόμενο πρόσημο, και ένας πίνακας με εναλλασσόμενο πρόσημο είναι ένας πίνακας αντιμετάθεσης εάν και μόνο εάν καμία εγγραφή δεν ισούται με -1.

Παράδειγμα ενός πίνακα εναλλασσόμενων προσήμων που δεν είναι πίνακας μετάθεσης είναι ο

Εικόνα παζλ

${\begin{bmatrix}0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&1&-1&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}.$

Θεώρημα του πίνακα με εναλλασσόμενο πρόσημο

Το θεώρημα του πίνακα με εναλλασσόμενο πρόσημο δηλώνει ότι ο αριθμός των $n\times n$ πινάκων με εναλλασσόμενο πρόσημο είναι

$\prod _{k=0}^{n-1}{\frac {(3k+1)!}{(n+k)!}}={\frac {1!\,4!\,7!\cdots (3n-2)!}{n!\,(n+1)!\cdots (2n-1)!}}.$

Οι πρώτοι όροι αυτής της ακολουθίας για n = 0, 1, 2, 3, … είναι

1, 1, 2, 7, 42, 429, 7436, 218348, … (ακολουθία A005130 στην OEIS).

Αυτό το θεώρημα αποδείχθηκε για πρώτη φορά από τον Ντόρον Ζεϊλμπεργκερ το 1992. Το 1995, ο Γκρεγκ Κούπερμπεργκ έδωσε μια σύντομη απόδειξη βασισμένη στην εξίσωση Γιανγκ-Μπάξτερ για το πρότυπο των έξι κορυφών με οριακές συνθήκες τομέα-τοίχου, που χρησιμοποιεί έναν υπολογισμό της ορίζουσας που οφείλεται στον Ανατόλι Ιζεργκίν. Το 2005, μια τρίτη απόδειξη δόθηκε από την Ίλσε Φίσερ χρησιμοποιώντας αυτό που ονομάζεται μέθοδος του τελεστή.

Πρόβλημα Ραζούμοφ-Στρογκάνοφ

Το 2001, οι Α. Ραζούμοφ και Γ. Στρογκάνοφ υπέθεσαν μια σύνδεση μεταξύ του μοντέλου βρόχων Ο(1), του μοντέλου πλήρως συσκευασμένων βρόχων (FPL) και των ASMs. Η εικασία αυτή αποδείχθηκε το 2010 από τους Καντίνι και Σπορτιέλο.

Δημοσιεύσεις

• Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf. 
• Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9. 
• Belevitch V (1950). «Theory of 2n-terminal networks with applications to conference telephony». Electrical Communication 27: 231–244. 
• Goethals J.M., Seidel J.J. (1967). «Orthogonal matrices with zero diagonal». Canadian Journal of Mathematics 19: 1001–1010. doi:10.4153/cjm-1967-091-8. https://archive.org/details/sim_canadian-journal-of-mathematics_1967_19_5/page/1001. 
• Bressoud, David M., Proofs and Confirmations: The Story of the Alternating Sign Matrix Conjecture, MAA Spectrum, Mathematical Associations of America, Washington, D.C., 1999.(ISBN 978-0521666466)
• Bressoud, David M. and Propp, James, How the alternating sign matrix conjecture was solved, Notices of the American Mathematical Society, 46 (1999), 637–646.
• Mills, William H., Robbins, David P., and Rumsey, Howard Jr., Proof of the Macdonald conjecture, Inventiones Mathematicae, 66 (1982), 73–87.
• Mills, William H., Robbins, David P., and Rumsey, Howard Jr., Alternating sign matrices and descending plane partitions, Journal of Combinatorial Theory, Series A, 34 (1983), 340–359.
• Propp, James, The many faces of alternating-sign matrices, Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science, Special issue on Discrete Models: Combinatorics, Computation, and Geometry (July 2001).
• Razumov, A. V., Stroganov Yu. G., Combinatorial nature of ground state vector of O(1) loop model, Theor. Math. Phys., 138 (2004), 333–337.
• Razumov, A. V., Stroganov Yu. G., O(1) loop model with different boundary conditions and symmetry classes of alternating-sign matrices], Theor. Math. Phys., 142 (2005), 237–243,
• Robbins, David P., The story of $1,2,7,42,429,7436,\dots$, The Mathematical Intelligencer, 13 (2), 12–19 (1991), .
• Zeilberger, Doron, Proof of the refined alternating sign matrix conjecture, New York Journal of Mathematics 2 (1996), 59–68.

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Πραγματικός αριθμός
• Αντιερμιτιανός πίνακας
• Ενελικτικός πίνακας
• Τριγωνικός πίνακας
• Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Ταυτοτικός πίνακας
• Αντιμεταθέσιμοι πίνακες
• Πολλαπλασιασμός πινάκων
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form
• Algorithm overview

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix calculator
• Matrix Analysis
• Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
• Integral Matrices
• Basic Matrix Algebra with Algorithms and Applications
• An Introduction to Optimization: With Applications to Machine Learning
• Physics and Combinatorics 2000: Proceedings of the Nagoya 2000 International ...
• Surveys in Number Theory
• Random Matrices and the Six-Vertex Model
• Symmetry and Combinatorics

Παραπομπές

• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Co., ISBN 0-395-14017-X, https://archive.org/details/firstcourseinlin0000beau 
• Muir, Thomas (1960). A Treatise on the Theory of Determinants. Dover. σελ. 19. ISBN 0-486-60670-8. 
• Weaver, James R. (1985). «Centrosymmetric (cross-symmetric) matrices, their basic properties, eigenvalues, and eigenvectors». American Mathematical Monthly 92 (10): 711–717. doi:10.2307/2323222. https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1985-12_92_10/page/711.