Περί σφαίρας και κυλίνδρου

Μια σελίδα από το "Περί σφαίρας και κυλίνδρου" στα Λατινικά

Το Περί σφαίρας και κυλίνδρου είναι μια πραγματεία του Αρχιμήδη σε δύο βιβλία που χρονολογείται στο 225 π.Χ. Σε αυτή την πραγματεία, ήταν ο πρώτος που περιέγραψε τον τρόπο υπολογισμού του εμβαδού και του όγκου μιας σφαίρας καθώς και τις ανάλογες τιμές για έναν κύλινδρο.

Περιεχόμενα

Ο λόγος του όγκου μιας σφαίρας προς τον όγκο του περιγεγραμμένου κυλίνδρου της είναι 2:3, όπως προσδιορίστηκε από τον Αρχιμήδη.

Οι κυριότεροι τύποι που προκύπτουν στο βιβλίο Περί σφαίρας και κυλίνδρου είναι αυτοί που αναφέρθηκαν παραπάνω: η επιφάνεια της σφαίρας, ο όγκος της περιεχόμενης σφαίρας, η επιφάνεια και ο όγκος του κυλίνδρου. Έστω $r$ η ακτίνα της σφαίρας και του κυλίνδρου και $h$ το ύψος του κυλίνδρου, με την προϋπόθεση ότι ο κύλινδρος είναι ορθός κύλινδρος - η πλευρά είναι κάθετη και στα δύο καπάκια. Στο έργο του, ο Αρχιμήδης έδειξε ότι η επιφάνεια ενός κυλίνδρου είναι ίση με:

$A_{C}=2\pi r^{2}+2\pi rh=2\pi r(r+h).\,$

και ότι ο όγκος του ίδιου είναι:

$V_{C}=\pi r^{2}h.\,$

Στη σφαίρα, έδειξε ότι το εμβαδόν της επιφάνειας είναι τετραπλάσιο του εμβαδού του μεγάλου κύκλου της. Σε σύγχρονους όρους, αυτό σημαίνει ότι το εμβαδόν της επιφάνειας είναι ίσο με:

$A_{S}=4\pi r^{2}.\,$

Το αποτέλεσμα για τον όγκο της περιεχόμενης σφαίρας ανέφερε ότι είναι τα δύο τρίτα του όγκου ενός περιγεγραμμένου d κυλίνδρου, που σημαίνει ότι ο όγκος είναι

$V_{S}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.$

Όταν ο εγγεγραμμένος κύλινδρος είναι στενός και έχει ύψος $h=2r$, έτσι ώστε η σφαίρα να αγγίζει τον κύλινδρο στο πάνω και στο κάτω μέρος, έδειξε ότι τόσο ο όγκος όσο και η επιφάνεια της σφαίρας ήταν τα δύο τρίτα του όγκου και της επιφάνειας του κυλίνδρου. Αυτό σημαίνει ότι το εμβαδόν της σφαίρας είναι ίσο με το εμβαδόν του κυλίνδρου μείον τα καπάκια του. Αυτό το αποτέλεσμα θα οδηγούσε τελικά στην κυλινδρική προβολή ίσων εμβαδών του Λαμπέρ, έναν τρόπο χαρτογράφησης του κόσμου που αναπαριστά με ακρίβεια τα εμβαδά. Ο Αρχιμήδης ήταν ιδιαίτερα υπερήφανος για το τελευταίο αυτό αποτέλεσμα (καθώς φέρεται να ήταν γραμμένο στην επιτύμβια στήλη του που ανακάλυψε ο Κικέρων), και έτσι ζήτησε να αναγραφεί στον τάφο του το σκίτσο μιας σφαίρας εγγεγραμμένης σε κύλινδρο. Αργότερα, ο Ρωμαίος φιλόσοφος Μάρκος Τύλλιος Κικέρων ανακάλυψε τον τάφο, ο οποίος είχε κατακλυστεί από τη γύρω βλάστηση.

Το επιχείρημα που χρησιμοποίησε ο Αρχιμήδης για να αποδείξει τον τύπο για τον όγκο μιας σφαίρας ήταν αρκετά σύνθετο στη γεωμετρία του, και πολλά σύγχρονα εγχειρίδια παρουσιάζουν μια απλουστευμένη εκδοχή του χρησιμοποιώντας την έννοια του ορίου, η οποία δεν υπήρχε την εποχή του Αρχιμήδη. Ο Αρχιμήδης χρησιμοποίησε ένα εγγεγραμμένο ημιπολύγωνο σε ένα ημικύκλιο, στη συνέχεια περιστρέφοντας και τα δύο για να δημιουργήσει ένα συνονθύλευμα από αποστήματα σε μια σφαίρα, του οποίου στη συνέχεια προσδιόρισε τον όγκο .

Φαίνεται ότι αυτή δεν είναι η αρχική μέθοδος που χρησιμοποίησε ο Αρχιμήδης για να εξάγει αυτό το αποτέλεσμα, αλλά το καλύτερο τυπικό επιχείρημα που είχε στη διάθεσή του από την ελληνική μαθηματική παράδοση. Η αρχική του μέθοδος πιθανότατα περιελάμβανε μια έξυπνη χρήση μοχλών. Ένα παλίμψηστο που κλάπηκε από την Ελληνική Ορθόδοξη Εκκλησία στις αρχές του 20ου αιώνα, το οποίο επανεμφανίστηκε σε δημοπρασία το 1998, περιείχε πολλά έργα του Αρχιμήδη, μεταξύ των οποίων και τη Μέθοδο των Μηχανικών Θεωρημάτων, στην οποία περιγράφει μια μέθοδο για τον προσδιορισμό των όγκων που περιλαμβάνει ζυγαριές, κέντρα μάζας και απειροελάχιστα τεμάχια.

Δημοσιεύσεις

• Bell, John L. (1999). The Art of the Intelligible: An Elementary Survey of Mathematics in its Conceptual Development. Kluwer. ISBN 0-7923-5972-0. 
• Euclid (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements, Translated from the Text of Heiberg, with Introduction and Commentary. 1 (Books I and II). Μτφρ. Heath, Thomas L. (Reprint of 2nd (1925) έκδοση). Dover.  On-line text at archive.org

• Axler, Sheldon (2015). Linear Algebra Done Right. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. doi:10.1007/978-3-319-11080-6. ISBN 978-3-319-11079-0. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 27 Μαΐου 2022. Ανακτήθηκε στις 17 Απριλίου 2022. 
• Johnson, Roger A. (1929), «X. Inscribed and Escribed Circles», Modern Geometry, Houghton Mifflin, σελ. 182–194, https://archive.org/details/moderngeometry0000unse_q5z5/page/182/ 

• Edwards, Robert D. (1984), «The solution of the 4-dimensional annulus conjecture (after Frank Quinn)», Four-manifold theory (Durham, N.H., 1982), Contemp. Math., 35, Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., σελ. 211–264, doi:10.1090/conm/035/780581, ISBN 9780821850336 
• Zazkis, R., Liljedahl, P., & Gadowsky, K. Conceptions of function translation: obstacles, intuitions, and rerouting. Journal of Mathematical Behavior, 22, 437-450. Retrieved April 29, 2014, from www.elsevier.com/locate/jmathb
• Transformations of Graphs: Horizontal Translations. (2006, January 1). BioMath: Transformation of Graphs. Retrieved April 29, 2014
• Farkas, Hershel M.; Kra, Irwin (1980), Riemann Surfaces (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag|, ISBN 978-0-387-90465-8 
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Berlin, New York: Springer-Verlag|, ISBN 978-0-387-90244-9, OCLC 13348052 , esp. chapter IV.
• Albert, Abraham Adrian (2016), Solid Analytic Geometry, Dover, ISBN 978-0-486-81026-3 
• Swokowski, Earl W. (1983), Calculus with Analytic Geometry (Alternate έκδοση), Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-341-7, https://archive.org/details/calculuswithanal00swok 
• Wentworth, George; Smith, David Eugene (1913), Plane and Solid Geometry, Ginn and Co. 
• «Feature Column from the AMS». American Mathematical Society (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 15 Οκτωβρίου 2024. 
• Arquímedes (1544). Eutocii Ascalonitae in Archimedis libros sphaera et cylindro, atque alios quosdam, Commentaria, nunc primum et Graece et Latine in lucem edita [Ευτόκιος ο Ασκάλων στα βιβλία του Αρχιμήδη για τη σφαίρα και τον κύλινδρο και μερικά άλλα]. Ioannes Heruagius excudi fecit. σελ. 5. 

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Βικιπαίδεια:Εγχειρίδιο μορφής/Μαθηματικά (Περιέχει και τα αγγλοελληνικά Λεξικά Μαθηματικής Ορολογίας)
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Στοιχεία του Ευκλείδη
• Ευκλείδειος χώρος
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Μιγαδικός αριθμός
• τοπολογικος ισομορφισμός
• Παραβολή (γεωμετρία)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Πυθαγόρειο θεώρημα
• Διανυσματική προβολή
• Διαβήτης (όργανο)
• Ημικύκλιο
• Ορθόκεντρο τριγώνου
• Αρχιμήδεια ιδιότητα
• Εγγεγραμμένος και Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι τριγώνου
• Μιγαδική ανάλυση
• Μιγαδικό επίπεδο
• Διανυσματική προβολή
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Euclid’s elements of geometry - The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885) Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Όστιν
• Τα οπτικά του Ευκλείδη Διδακτορική Διατριβή - ΕΑΔΔ
• A History of Greek Mathematics, Τόμος 1
• A History of Greek Mathematics: Τόμος 2
• Advanced Euclidean Geometry
• Methods for Euclidean Geometry.
• CRC Concise Encyclopedia of Mathematics page 2802.
• The Kindergarten Guide: An Illustrated Hand-book, Designed for the ..., Τόμος ., page 15
• Geometry, Plane, Solid, and Spherical, in Six Books: To which is Added, in ..., page 167
• Essentials of Geometry ... page 247...
• the works of archimedes.., page 57
• Text Book Of 3-D Sphere, Cone And Cylinder, page 2....
• Unipotent and Nilpotent Classes in Simple Algebraic Groups and Lie Algebras..

Παραπομπές

• Dunham, William (1990), Journey Through Genius (1st έκδοση), John Wiley and Sons, ISBN 0-471-50030-5, https://archive.org/details/journeythroughge00dunh 
• Dunham, William (1994), The Mathematical Universe (1st έκδοση), John Wiley and Sons, ISBN 0-471-53656-3, https://archive.org/details/mathematicaluniv0000dunh 
• S. H. Gould, The Method of Archimedes, The American Mathematical Monthly. Vol. 62, No. 7 (Aug. - Sep., 1955), pp. 473–476

• Lucio Lombardo Radice, La matematica da Pitagora a Newton, Roma, Editori Riuniti, 1971.
• Attilio Frajese, Opere di Archimede, Torino, U.T.E.T., 1974.