Πολυωνυμική κατανομή

Πολυωνυμική Κατανομή

Παράμετροι	$n\in \mathbb {N}$ (πλήθος δειγμάτων) $k\in \mathbb {N}$ (πλήθος αποτελεσμάτων) $p_{1},\ldots ,p_{k}\geq 0$ με ${\textstyle \sum _{i=1}^{k}p_{i}=1}$.
Φορέας	${\textstyle \left\{(x_{1},\ldots ,x_{k})\in \mathbb {N} ^{k}\mid \sum _{i=1}^{k}x_{i}=n\right\}}$
Συνάρτηση Μάζας Πιθανότητας	${\frac {n!}{x_{1}!x_{2}!\ldots x_{k}!}}\cdot p_{1}^{x_{1}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{x_{k}}$
Μέσος	$\operatorname {E} [X_{i}]=n\cdot p_{i}$
Διακύμανση	$\operatorname {V} [X_{i}]=n\cdot p_{i}\cdot (1-p_{i})$ $\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=-np_{i}p_{j}$ για $i\neq j$
Εντροπία	${\textstyle -\log _{2}(n!)-n\cdot \sum _{i=1}^{n}p_{i}\log _{2}p_{i}}$ ${\textstyle \quad +\sum _{i=1}^{k}\sum _{x_{i}=0}^{n}{\binom {n}{x_{i}}}p_{i}^{x_{i}}\cdot (1-p)^{n-x_{i}}\log _{2}(x_{i}!)}$
Πιθανογεννήτρια	$\left(\sum _{i=1}^{k}p_{i}t_{i}\right)^{n}$
Χαρακτηριστική	$\left(\sum _{i=1}^{k}p_{i}\cdot e^{t_{i}}\right)^{n}$

Στην θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική, η πολυωνυμική κατανομή είναι η γενίκευση της διωνυμικής κατανομής, όπου υπάρχουν $n$ επαναλήψεις ενός πειράματος με $k$ πιθανά αποτελέσματα. Πιο συγκεκριμένα, δίνει την πιθανότητα για κάθε δυνατό πλήθος αποτελεσμάτων $(x_{1},\ldots ,x_{k})\in \mathbb {N} ^{n}$.

Ανάλυση παραμέτρων

Η πολυωνυμική κατανομή εξετάζει τη συνδυαστική πιθανότητα να συμβούν ταυτόχρονα μια σειρά από k ενδεχόμενα Ε₁, Ε₂, …, Ε_k, σε n επαναλήψεις μιας τυχαίας διαδικασίας, το καθένα εκ των οποίων έχει τη δική του πιθανότητα p₁, p₂, …, p_k να πραγματοποιηθεί σε μία εκτέλεση της διαδικασίας. Συμβολίζουμε με x₁, x₂, …, x_k, τον ακριβή αριθμό των φορών που ζητάμε να εμφανισθεί το κάθε ενδεχόμενο.

Ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις:

$\sum _{i=1}^{k}p_{i}=1$ και $\sum _{i=1}^{k}x_{i}=n$

Η πιθανότητα να εμφανισθεί το κάθε ενδεχόμενο όσες φορές ακριβώς ορίσαμε, δίνεται από τον τύπο:

$\operatorname {P} (X_{1}=x_{1},\ldots ,X_{n}=x_{n})={\frac {n!}{x_{1}!x_{2}!\dots x_{k}!}}\cdot p_{1}^{x_{1}}p_{2}^{x_{2}}\dots p_{k}^{x_{k}}$.

Παραδείγματα

Έστω ότι έχουμε ένα δοχείο με $n=22$ μπάλες, $9$ κόκκινες, $7$ μαύρες και $6$ μπλε. Τότε αν διαλέξουμε $k=3$ μπάλες (με αντικατάσταση), τότε η κατανομή είναι πολυωνυμική με παραμέτρους

$(p_{1},p_{2},p_{3})=\left({\frac {9}{22}},{\frac {7}{22}},{\frac {6}{22}}\right)$,

και λαμβάνουμε τις εξής πιθανότητες για τα ενδεχόμενα:

Αποτέλεσμα	Πιθανότητα
$({\color {red}3},0,{\color {blue}0})$	${\frac {3!}{3!0!0!}}\cdot {\color {red}\left({\frac {9}{22}}\right)^{3}}\approx 0.0684$
$({\color {red}0},3,{\color {blue}0})$	${\frac {3!}{0!3!0!}}\cdot {\color {black}\left({\frac {7}{22}}\right)^{3}}\approx 0.0322$
$({\color {red}0},0,{\color {blue}3})$	${\frac {3!}{0!0!3!}}\cdot {\color {blue}\left({\frac {6}{22}}\right)^{3}}\approx 0.0202$
$({\color {red}1},2,{\color {blue}0})$	${\frac {3!}{1!2!0!}}\cdot {\color {red}\left({\frac {9}{22}}\right)^{1}}\cdot {\color {black}\left({\frac {7}{22}}\right)^{2}}\approx 0.0912$
$({\color {red}1},0,{\color {blue}2})$	${\frac {3!}{1!0!2!}}\cdot {\color {red}\left({\frac {9}{22}}\right)^{1}}\cdot {\color {blue}\left({\frac {6}{22}}\right)^{2}}\approx 0.1242$
$({\color {red}2},1,{\color {blue}0})$	${\frac {3!}{2!1!0!}}\cdot {\color {red}\left({\frac {9}{22}}\right)^{2}}\cdot {\color {black}\left({\frac {7}{22}}\right)^{1}}\approx 0.159$
$({\color {red}0},1,{\color {blue}2})$	${\frac {3!}{0!1!2!}}\cdot {\color {black}\left({\frac {7}{22}}\right)^{1}}\cdot {\color {blue}\left({\frac {6}{22}}\right)^{2}}\approx 0.070$
$({\color {red}2},0,{\color {blue}1})$	${\frac {3!}{2!0!1!}}\cdot {\color {red}\left({\frac {9}{22}}\right)^{2}}\cdot {\color {blue}\left({\frac {6}{22}}\right)^{1}}\approx 0.136$
$({\color {red}0},2,{\color {blue}1})$	${\frac {3!}{0!2!1!}}\cdot {\color {black}\left({\frac {7}{22}}\right)^{2}}\cdot {\color {blue}\left({\frac {6}{22}}\right)^{1}}\approx 0.0828$
$({\color {red}1},1,{\color {blue}1})$	${\frac {3!}{1!1!1!}}\cdot {\color {red}\left({\frac {9}{22}}\right)^{1}}\cdot {\color {black}\left({\frac {7}{22}}\right)^{1}}\cdot {\color {blue}\left({\frac {6}{22}}\right)^{1}}\approx 0.212$

Δοχείο με $22$ μπάλες εκ των οποίων οι $9$ είναι κόκκινες, $7$ μαύρες και $6$ μπλε.

Η πολυωνυμική κατανομή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να μοντελοποιήσει τα εξής:

• Οι ταξιδιωτικοί προορισμοί των $n$ κατοίκων της χώρας μας στο εσωτερικό με την κατηγοριοποίησή τους στους εξής $k$ προορισμούς: Κυκλάδες, Σποράδες, Δωδεκάνησα, Επτάνησα, Ζαγοροχώρια, Ορεινή Ναυπακτία, Πήλιο, Αράχωβα και Καλάβρυτα.

• Η εξέταση ανάπτυξης του κλάδου επιχειρήσεων ανάλογα με την γεωγραφική περιοχή και την μορφολογία του εδάφους, που μπορεί να είναι καλλιέργεια εσπεριδοειδών ή οσπρίων, δημιουργία φάρμας, εξόρυξη μετάλλων.

Μέση τιμή

Η περιθωριακή κατανομή του $X_{i}$ είναι διωνυμική με παραμέτρους $n\in \mathbb {N}$ και $p_{i}\in [0,1]$. Επομένως, η μέση τιμή του $X_{i}$, δίνεται από τον τύπο

$\operatorname {E} [X_{i}]=n\cdot p_{i}$.

Διακύμανση

Αντίστοιχα, η διακύμανση του $X_{i}$ δίνεται από τον τύπο

$\operatorname {V} [X_{i}]=n\cdot p_{i}\cdot (1-p_{i})$.

Συνδιακύμανση

Από τον ορισμό της συνδιακύμανσης για $X_{i}$ και $X_{j}$ με $i\neq j$, έχουμε ότι

$\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=\operatorname {E} [X_{i}X_{j}]-\operatorname {E} [X_{i}]\cdot \operatorname {E} [X_{j}].$

Από τον νόμο της ολικής πιθανότητας, και αφού η τυχαία μεταβλητή $Y=(X_{i}\mid X_{j}=k)$ είναι ${\mathsf {Bin}}(n-k,p_{i}/(1-p_{j}))$, έχουμε ότι

${\begin{aligned}\operatorname {E} [X_{i}X_{j}]&=\sum _{k=0}^{n}\operatorname {E} [X_{i}\mid X_{j}=k]\cdot \operatorname {P} (X_{j}=k)\\&=\sum _{k=0}^{n}(n-k)\cdot {\frac {p_{i}}{1-p_{j}}}\cdot k\cdot {\binom {n}{k}}p_{j}^{k}\cdot (1-p_{j})^{n-k}\\&=\sum _{k=0}^{n}(n-k)\cdot {\frac {p_{i}}{1-p_{j}}}\cdot k\cdot {\binom {n}{k}}p_{j}^{k}\cdot (1-p_{j})^{n-k}\\&=n\cdot {\frac {p_{i}}{1-p_{j}}}\cdot \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p_{j}^{k}\cdot (1-p_{j})^{n-k}-{\frac {p_{i}}{1-p_{j}}}\cdot \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p_{j}^{k}\cdot (1-p_{j})^{n-k}\cdot k\\&=n\cdot {\frac {p_{i}}{1-p_{j}}}\cdot \sum _{k=0}^{n}\operatorname {P} (X_{j}=k)\cdot k-p_{i}\cdot \sum _{k=0}^{n}\operatorname {P} (X_{j}=k)\cdot k^{2}\\&=n\cdot {\frac {p_{i}}{1-p_{j}}}\cdot \left(n\cdot p_{j}+n\cdot (n-1)\cdot p_{j}^{2}+n\cdot p_{j}\right)\\&=n^{2}\cdot p_{i}\cdot p_{j}-n\cdot p_{i}\cdot p_{j}.\end{aligned}}$

Επομένως,

$\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=n^{2}\cdot p_{i}\cdot p_{j}-n\cdot p_{i}\cdot p_{j}-n^{2}\cdot p_{i}\cdot p_{j}=-n\cdot p_{i}\cdot p_{j}.$

Δείτε επίσης

• Διωνυμική κατανομή
• Υπεργεωμετρική κατανομή