Σταθερά του Λεζάντρ

Η σταθερά του Λεζάντρ είναι μαθηματική σταθερά που εμφανίζεται σε έναν τύπο που κατασκευάστηκε από τον Αντριέν-Μαρί Λεζάντρ για να προσεγγίσει τη συμπεριφορά καταμέτρησης πρώτων αριθμών $\pi (x)$ . Η τιμή που αντιστοιχεί ακριβώς στην ασυμπτωτική της συμπεριφορά είναι πλέον γνωστό ότι είναι 1.

Η εξέταση των διαθέσιμων αριθμητικών δεδομένων για γνωστές τιμές της $\pi (x)$ οδήγησε τον Λεζάντρ σε έναν προσεγγιστικό τύπο.

Ο Λεζάντρ πρότεινε το 1808 τον τύπο

$y={\frac {x}{\log(x)-1.08366}},$ ( A228211), ως μια προσέγγιση του $y=\pi (x)$ με "πολύ ικανοποιητική ακρίβεια".^[1]^[2]

Σήμερα, η πραγματική σταθερά $B$ ορίζεται ως εξής

$\pi (x)\sim {\frac {x}{\log(x)-B}},$

η οποία επιλύεται θέτοντας

$B=\lim _{n\to \infty }\left(\log(n)-{n \over \pi (n)}\right),$

υπό την προϋπόθεση ότι υπάρχει αυτό το όριο.

Όχι μόνο είναι πλέον γνωστό ότι το όριο υπάρχει, αλλά και ότι η τιμή του είναι ίση με 1, κάπως μικρότερη από το 1,08366 του Λεζάντρ. Ανεξάρτητα από την ακριβή τιμή του, η ύπαρξη του ορίου $B$ υποδηλώνει το θεώρημα των πρώτων αριθμών.

Ο Παφνούτι Τσεμπίσοφ απέδειξε το 1849^[3] ότι αν το όριο B υπάρχει, πρέπει να είναι ίσο με 1. Μια ευκολότερη απόδειξη δόθηκε από τον Πιντζ το 1980^[4].

Είναι άμεση συνέπεια του θεωρήματος των πρώτων αριθμών, υπό την ακριβή μορφή με ρητή εκτίμηση του όρου σφάλματος

$\pi (x)=\operatorname {Li} (x)+O\left(xe^{-a{\sqrt {\log x}}}\right)\quad {\text{as }}x\to \infty$

(για κάποια θετική σταθερά a, όπου O(...) είναι ο συμβολισμός big O^[5]), όπως αποδείχθηκε το 1899 από τον Σαρλ ντε Λα Βαλέ Πουσέν,^[6]^[7] ότι ο Β είναι πράγματι ίσος με 1. (Το θεώρημα των πρώτων αριθμών είχε αποδειχθεί το 1896, ανεξάρτητα από τον Ζακ Ανταμάρ ^[8] και τον Λα Βαλέ Πουσέν,^[9]^{:183–256, 281–361}: αλλά χωρίς καμία εκτίμηση του σχετικού όρου σφάλματος).

Η αξιολόγηση σε έναν τόσο απλό αριθμό έχει καταστήσει τον όρο σταθερά του Λεζάντρ ως επί το πλείστον μόνο ιστορικής αξίας, με τον όρο να χρησιμοποιείται συχνά (τεχνικά λανθασμένα) για να αναφέρεται στην πρώτη εικασία του Λεζάντρ 1,08366... αντί αυτού.

Αριθμητικές τιμές

Χρησιμοποιώντας την Συνάρτηση καταμέτρησης πρώτων αριθμών $\pi (x)$ μπορούμε να υπολογίσουμε $B(x)=\log x-{\frac {x}{\pi (x)}}$ για τιμές του $x$ πολύ πέρα από αυτές που ήταν διαθέσιμες στον Λεζάντρ:

Η σταθερά του Λεζάντρ προσεγγίζει ασυμπτωτικά το 1 για μεγάλες τιμές του $x$
x	B(x)	x	B(x)	x	B(x)	x	B(x)
10²	0,605170	10¹⁶	1,029660	10³⁰	1,015148	10⁴⁴	1,010176
10³	0,955374	10¹⁷	1,027758	10³¹	1,014637	10⁴⁵	1,009943
10⁴	1,073644	10¹⁸	1,026085	10³²	1,014159	10⁴⁶	1,009720
10⁵	1,087571	10¹⁹	1,024603	10³³	1,013712	10⁴⁷	1,009507
10⁶	1,076332	10²⁰	1,023281	10³⁴	1,013292	10⁴⁸	1,009304
10⁷	1,070976	10²¹	1,022094	10³⁵	1,012897	10⁴⁹	1,009108
10⁸	1,063954	10²²	1,021022	10³⁶	1,012525	10⁵⁰	1,008921
10⁹	1,056629	10²³	1,020050	10³⁷	1,012173	10⁵¹	1,008742
10¹⁰	1,050365	10²⁴	1,019164	10³⁸	1,011841	10⁵²	1,008569
10¹¹	1,045126	10²⁵	1,018353	10³⁹	1,011527	10⁵³	1,008403
10¹²	1,040872	10²⁶	1,017607	10⁴⁰	1,011229	10⁵⁴	1,008244
10¹³	1,037345	10²⁷	1,016921	10⁴¹	1,010946	10⁵⁵	1,008090
10¹⁴	1,034376	10²⁸	1,016285	10⁴²	1,010676	10⁵⁶	1,007942
10¹⁵	1,031844	10²⁹	1,015696	10⁴³	1,010420	10⁵⁷	1,007799

Οι τιμές μέχρι $\pi (10^{29})$ (οι δύο πρώτες στήλες) είναι ακριβώς γνωστές- οι τιμές στην τρίτη και τέταρτη στήλη εκτιμώνται με τη χρήση της συνάρτησης καταμέτρησης πρώτων αριθμών Ρίμαν^[10] .

Δείτε επίσης

Παραπομπές

↑ Legendre, A.-M. (1808). Essai sur la théorie des nombres [Essay on number theory]. Courcier. σελ. 394.
↑ Ribenboim, Paulo (2004). The Little Book of Bigger Primes. New York: Springer-Verlag. σελ. 163. ISBN 0-387-20169-6.
↑ Edmund Landau. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, page 17. Third (corrected) edition, two volumes in one, 1974, Chelsea 1974
↑ Pintz, Janos (1980). «On Legendre's Prime Number Formula». The American Mathematical Monthly 87 (9): 733–735. doi:10.2307/2321863. ISSN 0002-9890. https://www.jstor.org/stable/2321863.
↑ «Big O notation -» (PDF).
↑ La Vallée Poussin, C. Mém. Couronnés Acad. Roy. Belgique 59, 1–74, 1899
↑ «Charles-Joseph de la Vallée Poussin».
↑ Hadamard, Jacques (1896). «Sur la distribution des zéros de la fonction $\zeta (s)$ et ses conséquences arithmétiques». Bulletin de la Société Mathématique de France 24: 199–220. doi:10.24033/bsmf.545.
↑ de la Vallée Poussin, Charles Jean (1897). Recherches analytiques sur la théorie des nombres premiers [Analytical research on prime number theory]. Brussels: Hayez. σελίδες 183–256, 281–361. Originally published in Annales de la société scientifique de Bruxelles vol. 20 (1896). Second scanned version, from a different library.
↑ Weisstein, Eric W. «Riemann Prime Counting Function». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 26 Δεκεμβρίου 2024.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Βιβλιογραφία

Weisstein, Eric W. (12 Δεκεμβρίου 2002). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. CRC Press. ISBN 978-1-4200-3522-3.
Echeverría, Javier· Ibarra, Andoni (1992). The Space of Mathematics: Philosophical, Epistemological, and Historical Explorations. Walter de Gruyter. ISBN 978-3-11-013249-6.
Malcata, F. Xavier (13 Δεκεμβρίου 2020). Food Process Engineering: Safety Assurance and Complements. CRC Press. ISBN 978-1-000-69288-4.
Agarwal, Ravi P.· Sen, Syamal K. (11 Νοεμβρίου 2014). Creators of Mathematical and Computational Sciences. Springer. ISBN 978-3-319-10870-4.
Bailey, David H.· Borwein, Jonathan M. (19 Ιουλίου 2016). Pi: The Next Generation: A Sourcebook on the Recent History of Pi and Its Computation. Springer. ISBN 978-3-319-32377-0.
Wells, David (13 Ιανουαρίου 2011). Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math. Turner Publishing Company. ISBN 978-1-118-04571-8.
Musielak, Dora (23 Μαρτίου 2020). Sophie Germain: Revolutionary Mathematician. Springer Nature. ISBN 978-3-030-38375-6.
Aflitunov, Albert (26 Οκτωβρίου 2024). Arithmetic (number theory). Litres. ISBN 978-5-04-688265-0.
Agarwal, Ravi P.· Sen, Syamal K. (11 Νοεμβρίου 2014). Creators of Mathematical and Computational Sciences. Springer. ISBN 978-3-319-10870-4.
Aflitunov, Albert (26 Οκτωβρίου 2024). Arithmetic (number theory). Litres. ISBN 978-5-04-688265-0.
Weisstein, Eric W. «Goldbach Conjecture». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 25 Δεκεμβρίου 2024.
Darling, David (21 Απριλίου 2008). The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes. Turner Publishing Company. ISBN 978-0-470-30788-5.
Vanderveken, Daniel (19 Μαρτίου 2009). Meaning and Speech Acts: Volume 1, Principles of Language Use. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-10490-6.
Polya, George (23 Αυγούστου 1990). Mathematics and Plausible Reasoning: Induction and analogy in mathematics. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02509-4.

Πηγές

Balser, W. (1994), From Divergent Power Series To Analytic Functions, Springer-Verlag, ISBN 9783540485940, https://books.google.com/books?id=V-17CwAAQBAJ
de Bruijn, N. G. (1981), Asymptotic Methods in Analysis, Dover Publications, ISBN 9780486642215, https://books.google.com/books?id=Oqj9AgAAQBAJ
Estrada, R.; Kanwal, R. P. (2002), A Distributional Approach to Asymptotics, Birkhäuser, ISBN 9780817681302, https://books.google.com/books?id=X3cECAAAQBAJ
Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ
Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0

[1] Legendre, A.-M. (1808). Essai sur la théorie des nombres [Essay on number theory]. Courcier. σελ. 394.

[P.Ribenboim-2] Ribenboim, Paulo (2004). The Little Book of Bigger Primes. New York: Springer-Verlag. σελ. 163. ISBN 0-387-20169-6.

[3] Edmund Landau. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, page 17. Third (corrected) edition, two volumes in one, 1974, Chelsea 1974

[4] Pintz, Janos (1980). «On Legendre's Prime Number Formula». The American Mathematical Monthly 87 (9): 733–735. doi:10.2307/2321863. ISSN 0002-9890. https://www.jstor.org/stable/2321863.

[5] «Big O notation -» (PDF).

[6] La Vallée Poussin, C. Mém. Couronnés Acad. Roy. Belgique 59, 1–74, 1899

[7] «Charles-Joseph de la Vallée Poussin».

[8] Hadamard, Jacques (1896). «Sur la distribution des zéros de la fonction $\zeta (s)$ et ses conséquences arithmétiques». Bulletin de la Société Mathématique de France 24: 199–220. doi:10.24033/bsmf.545.

[9] Vallée Poussin, Charles Jean (1897). Recherches analytiques sur la théorie des nombres premiers [Analytical research on prime number theory]. Brussels: Hayez. σελίδες 183–256, 281–361. Originally published in Annales de la société scientifique de Bruxelles vol. 20 (1896). Second scanned version, from a different library.

[10] Weisstein, Eric W. «Riemann Prime Counting Function». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 26 Δεκεμβρίου 2024.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]