Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Η συμμετρική κλειστότητα
R
′
{\displaystyle R'}
R
{\displaystyle R}
R
{\displaystyle R}
Στην θεωρία συνόλων , η συμμετρική κλειστότητα μίας σχέσης
R
⊆
S
×
S
{\displaystyle R\subseteq S\times S}
σύνολο
S
{\displaystyle S}
[ 1]
R
′
=
R
∪
{
(
y
,
x
)
:
(
x
,
y
)
∈
R
}
{\displaystyle R'=R\cup \{(y,x):(x,y)\in R\}}
Αυτή είναι η ελάχιστη σχέση (ως προς την σύγκριση υποσυνόλου ) που συμπεριλαμβάνει την
R
{\displaystyle R}
συμμετρική . Μπορεί να γραφτεί και ως
R
∪
R
T
{\displaystyle R\cup R^{T}}
R
T
{\displaystyle R^{T}}
αντίστροφη σχέση της
R
{\displaystyle R}
Η συμμετρική κλειστότητα της σχέσης
R
=
{
(
1
,
2
)
,
(
1
,
4
)
,
(
2
,
2
)
,
(
2
,
3
)
(
3
,
2
)
,
(
3
,
4
)
,
(
4
,
1
)
,
(
5
,
4
)
}
{\displaystyle R=\{(1,2),(1,4),(2,2),(2,3)(3,2),(3,4),(4,1),(5,4)\}}
είναι η σχέση (δείτε το πρώτο σχήμα)
R
′
=
{
(
1
,
2
)
,
(
1
,
4
)
,
(
2
,
1
)
,
(
2
,
2
)
,
(
2
,
3
)
(
3
,
2
)
,
(
3
,
4
)
,
(
4
,
1
)
,
(
4
,
3
)
,
(
4
,
5
)
,
(
5
,
4
)
}
{\displaystyle R'=\{(1,2),(1,4),{\color {green}(2,1)},(2,2),(2,3)(3,2),(3,4),(4,1),{\color {green}(4,3)},{\color {green}(4,5)},(5,4)\}}
όπου με πράσινο χρώμα είναι τα στοιχεία που προστέθηκαν. Η συμμετρική κλειστότητα της σχέσης
≤
{\displaystyle \leq }
φυσικών αριθμών
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
N
×
N
{\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }
Η συμμετρική κλειστότητα της σχέσης
<
{\displaystyle <}
φυσικών αριθμών
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
N
×
N
∖
i
d
N
{\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} \setminus \mathrm {id} _{\mathbb {N} }}
i
d
N
{\displaystyle \mathrm {id} _{\mathbb {N} }}
ταυτοτική σχέση στο
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
Η συμμετρική κλειστότητα της σχέσης «είναι απόγονος του/της» είναι η σχέση «είναι απόγονος ή πρόγονος του/της».
↑ Φωτάκης, Δ.· Σούλιου, Δ. «Κλειστότητες Σχέσεων» (PDF) . Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Ανακτήθηκε στις 28 Απριλίου 2024 . 
