Στα μαθηματικά, η ταυτότητα Λαγκράνζ (αναφέρεται και ως ταυτότητα Lagrange) είναι η ταυτότητα που ισχύει για κάθε πραγματικούς αριθμούς
και λέει ότι[1]:47[2]:26-27[3][4]
.
Πιο γενικά, για οποιαδήποτε για
πραγματικούς
και
ισχύει ότι
![{\displaystyle (a_{1}^{2}+\ldots +a_{n}^{2})\cdot (b_{1}^{2}+\ldots +b_{n}^{2})-(a_{1}b_{1}+\ldots +a_{n}b_{n})^{2}=\left(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\right)^{2}+\left(a_{1}b_{3}-a_{1}b_{3}\right)^{2}+\ldots +\left(a_{n-1}b_{n}-a_{n-1}b_{n}\right)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fb443c7379b11afa4082682f71751d23991a17c)
ή πιο σύντομα με την χρήση του συμβολισμού για το άθροισμα
.
Η σχέση αυτή μπορεί επίσης να γραφτεί με την χρήση διανυσμάτων
ως εξής
.
Από αυτήν την σχέση και το γεγονός ότι
για κάθε πραγματικό αριθμό
, προκύπτει η ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς στους πραγματικούς αριθμούς, δηλαδή
.
Η ταυτότητα παίρνει το όνομά της από τον Ζοζέφ Λουί Λαγκράνζ.
Ξεκινώντας από το δεξί μέλος έχουμε ότι
![{\displaystyle {\begin{aligned}(ax+by)^{2}+(ay-bx)^{2}&=(ax)^{2}+2\cdot (ax)\cdot (by)+(by)^{2}+(ay)^{2}-2\cdot (ay)\cdot (bx)+(bx)^{2}\\&=a^{2}x^{2}+2abxy+b^{2}y^{2}+a^{2}y^{2}-2abxy+b^{2}x^{2}\\&=a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}+a^{2}y^{2}+b^{2}x^{2}\\&=a^{2}\cdot (x^{2}+y^{2})+b^{2}\cdot (x^{2}+y^{2})\\&=(a^{2}+b^{2})\cdot (x^{2}+y^{2}),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a373e6196da4adc20fdbeca0808b3e98c41b4eb)
το οποίο είναι το αριστερό μέλος.
Ξεκινώντας από το δεξί μέλος έχουμε ότι
![{\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}\right)-\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right)^{2}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}-\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58c401d7be4d65949e3a2b8ffd1fd04eb23715fc)
Για το αριστερό μέλος έχουμε ότι
,
όπου στο τελευταίο βήμα προσθέσαμε τους όρους
στο πρώτο άθροισμα και τους αφαιρέσαμε από το δεύτερο. Επομένως, συμπεραίνουμε ότι τα δύο μέλη είναι ίσα.
- ↑ Δημήτριος Αργυράκης· Παναγιώτης Βουργάνας· Κωνσταντίνος Μεντης· Σταματούλα Τσικοπούλου· Μιχαήλ Χρυσοβεργης. Μαθηματικά Γ' Γυμνασίου. Αθήνα: Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών και Εκδόσεων "Διόφαντος".
- ↑ Στεργίου, Μπάμπης (2003). Ολυμπιάδες μαθηματικών Μαθηματικοί διαγωνισμοί Γ' Γυμνασίου. Αθήνα: Σαββάλας. ISBN 9789604609161.
- ↑ Gidea, Marian; Niculescu, Constantin P. (Σεπτεμβρίου 2012). «A Brief Account on Lagrange’s Algebraic Identity». The Mathematical Intelligencer 34 (3): 55–61. doi:10.1007/s00283-012-9305-0.
- ↑ Μερκουράκης, Σ. «Η ταυτότητα του Lagrange» (PDF). Πανεπιστήμιο Αθηνών. Ανακτήθηκε στις 29 Οκτωβρίου 2023.