Τρίγωνο Σιερπίνσκι

Παράδειγμα δομής τριγώνου Σιερπίνσκι

school project

Το τρίγωνο Σιερπίνσκι (πολωνικά: Trójkąt Sierpińskiego, αγγλικά: Sierpinski Triangle) γνωστό και ως κόσκινο Σιερπίνσκι (Sierpinski Sieve) ή παρέμβυσμα Σιερπίνσκι (Sierpinski Gasket), είναι δομή φράκταλ σταθερού σημείου, εντός των ορίων ενός ισόπλευρου τριγώνου το οποίο διαιρείται αναδρομικά σε μικρότερα ισόπλευρα τρίγωνα. Αποτελεί ένα από τα βασικά παραδείγματα αυτοόμοιων ομάδων, όπου το σχήμα επαναλαμβάνεται σε οποιαδήποτε μεγέθυνση ή σμίκρυνση. Η ονομασία του προέρχεται από τον Πολωνό μαθηματικό Βάτσλαφ Σιερπίνσκι.

Ιστορία

Η αρχική περιγραφή της κατασκευής έγινε από τον Βάτσλαφ Σιερπίνσκι το 1915. Παρόμοιες κατασκευές κατά το παρελθόν αποτελούν η τετρακτύς των Πυθαγορείων (6ος αιώνας π.Χ.) στα 10 πρώτα σημεία, καθώς και ψηφιδωτά του 13ου αιώνα στον καθεδρικό ναό του Ανάγκνι στην βορειοδυτική Ιταλία, και σε άλλες τοποθεσίες της Ιταλίας όπως η ρωμαϊκή βασιλική της Αγίας Μαρίας στο Κοσμέντιν και αλλού, όπου η επανάληψη του σχεδίου γίνεται τουλάχιστον έως το 3ο επίπεδο.

• 
  Τετρακτύς
• 
  Απολλώνιο παρέμβυσμα
• 
  Δάπεδο εκκλησίας στην βασιλική της Αγίας Μαρίας στο Κοσμέντιν

Παρόμοιες καμπύλες μορφές προκύπτουν από το Απολλώνιο πρόβλημα, το οποίο τέθηκε από τον Απολλώνιο τον Περγαίο (3ος αιώνας π.Χ.) και στην νεότερη εποχή περιγράφθηκε από τον Γκότφριντ Λάιμπνιτζ (17ος αιώνας) και η μορφή που προκύπτει αποτελεί πρόδρομο και καμπύλη εκδοχή του τριγώνου Σιερπίνσκι.

Περιγραφή

Βασικές ιδιότητες

Προσέγγιση τριγώνου Σιερπίνσκι βάσει του τριγώνου του Πασκάλ, με σκίαση των κελιών των αριθμών ανάλογα με το αν ο διωνυμικός συντελεστής είναι άρτιος (δηλαδή ζυγός) αριθμός.

Για ακέραιο αριθμό διαστάσεων d, ο διπλασιασμός της πλευράς του αντικειμένου δημιουργεί 2^d αντίγραφα του αντικειμένου αυτού, π.χ. δημιουργούνται 2 αντίγραφα για μονοδιάστατο αντικείμενο, 4 αντίγραφα για δισδιάστατο αντικείμενο, και 8 αντίγραφα για τρισδιάστατο αντικείμενο. Στα τρίγωνα Σιερπίνσκι ο διπλασιασμός της πλευράς του προκαλεί την δημιουργία 3 αντιγράφων του εαυτού του, έτσι τα τρίγωνα αυτού του τύπου διαθέτουν διάσταση Χάουσντορφ ως ^log(3)/_log(2) = log₂ 3 ≈ 1,585 βάσει του 2^d = 3 για το d.

Το εμβαδό ενός τριγώνου Σιερπίνσκι είναι μηδέν (κατά το μέτρο Λεμπέγκ), ενώ η περιοχή που απομένει μετά από κάθε επανάληψη αποτελέι τα 3/4 της προηγούμενης περιοχής πριν την επανάληψη, έτσι η άπειρη επανάληψη της διαδικασίας οδηγεί στο μηδέν.

Τα σημεία της δομής περιγράφονται με απλό τρόπο στις βαρυκεντρικές συντεταγμένες. Εάν ένα σημείο έχει συντεταγμένες (0.u₁u₂u₃…, 0.v₁v₂v₃…, 0.w₁w₂w₃…) εκφρασμένες ως δυαδικά ψηφία, τότε το σημείο βρίσκεται στο τρίγωνο Σιερπίνσκι εάν και μόνο εάν u_i + v_i + w_i = 1 για όλα τα i.

Γενίκευση

Μια γενίκευση του τριγώνου του Σιερπίνσκι αποτελεί το τρίγωνο του Πασκάλ με διαφορετικό ισοϋπόλοιπο (mod). Η επανάληψη n μπορεί να παραχθεί παίρνοντας ένα τρίγωνο Πασκάλ με Pⁿ σειρές και χρωματίζοντας τους αριθμούς ανά την τιμή τους για x mod P. Καθώς το n προσεγγίζει το άπειρο δημιουργείται φράκταλ. Το ίδιο φράκταλ μπορεί να παραχθεί διαιρώντας ένα τρίγωνο σε ψηφιδοποίηση (tessellation) P² παρομοίων τετραγώνων και αφαιρώντας τα ανάποδα τρίγωνα σε σχέση με το αρχικό, και κατόπιν επαναλαμβάνοντας το βήμα αυτό με κάθε μικρότερο τρίγωνο. Το φράκταλ μπορεί επίσης να δημιουργηθεί ξεκινώντας με ένα τρίγωνο και διαδοχικά τοποθετώντας τα αντίγραφα του σε διευθέτηση n(n + 1)/2 κατά τον ίδιο προσανατολισμό με τα μεγαλύτερα τρίγωνα και με τις κορυφές των προηγουμένων τριγώνων να εφάπτονται.

Μέθοδοι κατασκευής

Αφαίρεση τριγώνων

Το τρίγωνο Σιερπίνσκι μπορεί να κατασκευαστεί ξεκινώντας με ένα ισόπλευρο τρίγωνο και αφαιρώντας διαδοχικά τριγωνικά υποσύνολα από αυτό:

Γίνεται η εκκίνηση με το ισόπλευρο τρίγωνο. Υποδιαιρείται σε 4 μικρότερα συγκλίνοντα ισόπλευρα τρίγωνα και αφαιρείται αυτό που βρίσκεται στο κέντρο (εμφανίζεται ως ανεστραμμένο λευκό). Επαναλαμβάνεται το βήμα 2 επ'άπειρον.

Τοπολογικά, το κάθε τρίγωνο που αφαιρείται αποτελεί ανοικτό σύνολο.

Σμίκρυνση και αντιγραφή

Η ίδια ακολουθία σχημάτων η οποία καταλήγει σε τρίγωνο Σιερπίνσκι μπορεί να ακολουθηθεί με τα παρακάτω βήματα:

Γίνεται η εκκίνηση με το ισόπλευρο τρίγωνο. Γίνεται σμίκρυνση του τριγώνου στο 1/2 του ύψους και 1/2 του μήκους, και δημιουργούνται 3 αντίγραφα τα οποία τοποθετούνται έτσι ώστε ώστε οι κορυφές του κάθε τριγώνου να εφάπτονται στο μέσο της πλευράς του άλλου τριγώνου. Το κεντρικό κενό (μαύρο ανεστραμμένο τρίγωνο) διαθέτει τα 3/4 της περιοχής του μεγαλύτερου τριγώνου από όπου ξεκίνησε. Επαναλαμβάνεται το βήμα 2 επ'άπειρον.

Η παραπάνω διαδικασία δεν χρειάζεται απαραίτητα να έχει τρίγωνο, αλλά μπορεί να δουλέψει και με τετράγωνα.

Παίγνιο χάους

Βάσει της μεθόδου του παιγνίου χάους, εάν παρθεί ένα σημείο και κατόπιν εφαρμοστούν τυχαία κάποιοι μετασχηματισμοί σε αυτό, τα σημεία που προκύπτουν θα σχηματίσουν τρίγωνο Σιερπίνσκι:

. δημιουργούνται 3 σημεία επί πεδίου τα οποία αντιστοιχούν στις κορυφές του τριγώνου (δεν χρειάζεται να αποτυπωθούν οι πλευρές) . εντός των ορίων του τριγώνου, επιλέγεται τυχαία το οποιοδήποτε σημείο το οποίο θεωρείται ως η τρέχουσα θέση. . επιλέγεται τυχαία μια από τις 3 κορυφές του τριγώνου. . επιλέγεται νέο σημείο εντός του τριγώνου σε απόσταση 1/2 από το σημείο της κορυφής. . αποτυπώνεται το το νέο σημείο. . το βήμα 3 επαναλαμβάνεται διαδοχικά.

Τα παραπάνω ορίζονται από την σχέση v_n+1 = 1/2(v_n + p_rn), όπου r_n είναι ο αριθμός 1, 2 or 3. και p₁, p₂ και p₃ οι κορυφές του τριγώνου, ενώ v_n το τυχαίο σημείο.

Καμπύλη βέλους

Η δομή μπορεί να επιτευχθεί και ως καμπύλη επί πεδίου με διαδοχικές τροποποιήσεις, παρόμοιες με αυτές της Νιφάδα του Κοχ:

Εκκίνηση με τοποθέτηση ευθύγραμμου τμήματος στο πεδίο. Aντικατάσταση κάθε ευθύγραμμου τμήματος της καμπύλης με 3 μικρότερα ευθύγραμμα τμήματα τα οποία σχηματίζουν γωνίες 120° σε κάθε διασταύρωση μεταξύ 2 σημείων, με τα πρώτα και τελευταία τμήματα της καμπύλης να είναι είτε παράλληλα ως προς το αρχικό ευθύγραμμο τμήμα ή να σχηματίζουν γωνία 60° με αυτό. Επανάληψη του 2.

Το φράκταλ που προκύπτει ονομάζεται η καμπύλη βέλους Σιερπίνσκι και η οριακή μορφή του είναι το τρίγωνο Σιερπίνσκι.

Άλλες μέθοδοι

Ως δέντρο φράκταλ με 3 κλάδους σε γωνία 60° αναμεταξύ τους. Η ελαχιστοποίηση της γωνίας επιφέρει τον μετασχηματισμό σε δέντρο.

Η δομή μπορεί να προκύψει κατά προσέγγιση και μέσω κυτταρικών αυτομάτων, όπως το Παιχνίδι της ζωής του Κόνγουεϊ.

Εάν παρθεί ένα τρίγωνο Πασκάλ με 2ⁿ σειρές και οι άρτιοι αριθμοί χρωματιστούν λευκοί ενώ οι περιττοί μαύροι, το αποτέλεσμα που προκύπτει είναι τρίγωνο Σιερπίνσκι καθώς αντιστοιχεί στο όριο ακολουθίας όπου το n προσεγγίζει το άπειρο κατά την εναλλαγή περιττών και άρτιων.

Στο παιχνίδι του πύργου του Ανόι, γίνεται μετακίνηση δίσκων μεταξύ τριών δοκών, εφόσον ο κάθε δίσκος είναι μικρότερος από αυτόν που βρίσκεται ακριβώς από κάτω του. Η ακολουθία κινήσεων εκφραζόμενη ως μη κατευθυνόμενο γράφημα, μπορεί να εκφραστεί γεωμετρικά ως το γράφημα τομής της ομάδος των τριγώνων που απομένουν μετά το νιοστό βήμα κατά την κατασκευή του τριγώνου του Σιερπίνσκι, και η ακολουθία των γραφημάτων αυτών αποτελεί διακριτό ανάλογο του τριγώνου του Σιερπίνσκι.

Τέτριξ

Το τετράεδρο Σιερπίνσκι ή τέτριξ αποτελεί την τρισδιάστατη μορφή του τριγώνου. Σχηματίζεται με την σμίκρυνση ενός κανονικού τετράεδρου σε 1/2 του αρχικού του ύψους, και τοποθετώντας 4 αντίγραφα του τετράεδρου με τις γωνίες τους να εφάπτονται, και η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται διαδοχικά. Η ίδια διαδικασία μπορεί να εφαρμοστεί και επί τετράγωνης πυραμίδας χρησιμοποιώντας 5 αντί για 4 αντίγραφα.

• 
  Τρισδιάστατο τρίγωνο Σιερπίνσκι και το αντίστροφο του.
• 
  Περιστρεφόμενη τέτριξ και οι ορθογραφικές προβολές της
• 
  Τετράεδρο Σιερμπίνσκι πυραμίδας

Κατά την διαδικασία αυτή το συνολικό εμβαδό της επιφάνειας παραμένει σταθερό μετά την κάθε επανάληψη. Το αρχικό εμβαδό επιφανείας του τετράεδρου με μήκος πλευράς L είναι L²√3, και κατά το επόμενο βήμα υπάρχουν 4 αντίγραφα με μήκος πλευράς L/2 και έτσι το συνολικό εμβαδό γίνεται 4(L/2)²√3 = 4L²√3/4 = L²√3 ξανά.

Προγραμματιστικά

Αναδρομική φράκταλ παράσταση του τριγώνου

Στην γλώσσα προγραμματισμού που διατίθεται εντός του λογισμικού μαθηματικών υπολογισμών Mathematica, η αναδρομική συνάρτηση SiPyramid παράγει τρισδιάστατη πυραμίδα αυθαιρέτου βαθμού n ως το εμφανιζόμενο γραφικό αντικείμενο Graphics3D:

vect[1] = {0, 0, 0};
vect[2] = {1, 0, 0};
vect[3] = {0.5, 3^0.5/2, 0};
vect[4] = {0.5, 1/3*3^0.5/2, ((3^0.5/2)^2 - (1/3*3^0.5/2)^2)^0.5};
Tetron[{i_, j_, k_}] := 
 Tetrahedron[{vect[1] + {i, j, k}, vect[2] + {i, j, k}, vect[3] + {i, j, k}, vect[4] + {i, j, k}}];
SiPyramid[0, {i_, j_, k_}] := {Tetron[{i, j, k}]};
SiPyramid[n_, {i_, j_, k_}] := 
  Module[{s = {}}, 
   Do[s = Union[s, 
      SiPyramid[n - 1, 2^(n - 1)*vect[u] + {i, j, k}]], {u, 4}]; s];

Δείτε επίσης

• Τετρακτύς
• Απολλώνιο πρόβλημα
• Φράκταλ

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• (Αγγλικά) Pythagorean triangles, Waclaw Sierpinski, Courier Corporation, 2003
• (Αγγλικά) Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Sierpinski gasket», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/s130310 
• (Αγγλικά) Weisstein, Eric W., "Sierpinski Sieve" από το MathWorld.
• (Αγγλικά) Real-time GPU generated Sierpinski Triangle in 3D