Τριχοτόμηση του τετραγώνου
Στη γεωμετρία, η τριχοτόμηση του τετραγώνου[1] είναι ένας τύπος προβλήματος διαμέρισης που συνίσταται στην κοπή ενός τετραγώνου σε τεμάχια που μπορούν να αναδιαταχθούν ώστε να σχηματίσουν τρία όμοια τετράγωνα.
Ιστορία
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Η διαμέριση[2] ενός τετραγώνου σε τρία όμοια τμήματα είναι ένα γεωμετρικό πρόβλημα που χρονολογείται από τη χρυσή εποχή του Ισλάμ. Οι τεχνίτες που κατείχαν την τέχνη του Zellij (αραβικό ψηφιδωτό) χρειάζονταν καινοτόμες τεχνικές για να επιτύχουν τα υπέροχα ψηφιδωτά τους με πολύπλοκα γεωμετρικά σχήματα. Η πρώτη λύση σε αυτό το πρόβλημα προτάθηκε τον 10ο αιώνα μ.Χ. από τον Πέρση μαθηματικό Αμπού αλ Ουάφα (940-998) στην πραγματεία του «Περί των γεωμετρικών κατασκευών που είναι απαραίτητες για τον τεχνίτη»[3]. Ο Αμπού αλ Ουάφα χρησιμοποίησε επίσης τη διαμέριση για να αποδείξει το Πυθαγόρειο θεώρημα[4]. Αυτή η γεωμετρική απόδειξη του θεωρήματος του Πυθαγόρα θα ανακαλυφθεί εκ νέου τα έτη 1835 - 1840[5] από τον Χένρι Περιγκάλ και θα δημοσιευθεί το 1875[6].
Αναζήτηση της βελτιστότητας
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Η ομορφιά της διαμέρισης εξαρτάται από διάφορες παραμέτρους. Ωστόσο, είναι σύνηθες να αναζητούνται λύσεις με τον ελάχιστο αριθμό τμημάτων. Η τριχοτόμηση του τετραγώνου που προτείνει ο Αμπού αλ Ουάφα απέχει πολύ από το να είναι ελάχιστη και χρησιμοποιεί 9 κτεμάχια. Τον 14ο αιώνα ο Αμπού Μπακρ αλ-Χαλίλ έδωσε δύο λύσεις, η μία εκ των οποίων χρησιμοποιεί 8 τεμάχια.[7] Στα τέλη του 17ου αιώνα ο Ζακ Οζανάμ επανήλθε σε αυτό το θέμα [8] και τον 19ο αιώνα βρέθηκαν λύσεις που χρησιμοποιούν 8 και 7 τεμάχια, συμπεριλαμβανομένης μιας που δόθηκε από τον μαθηματικό Εντουάρ Λούκας.[9] Το 1891 ο Ανρί Περιγκάλ δημοσίευσε την πρώτη γνωστή λύση με μόνο 6 τεμάχια [10] (βλ. εικόνα παρακάτω). Στις μέρες μας, εξακολουθούν να ανακαλύπτονται νέες διαμερίσεις[11] (βλ. παραπάνω εικόνα) και η εικασία ότι 6 είναι ο ελάχιστος αριθμός απαραίτητων κομματιών παραμένει αναπόδεικτη.
Δημοσιεύσεις
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- Bell, John L. (1999). The Art of the Intelligible: An Elementary Survey of Mathematics in its Conceptual Development. Kluwer. ISBN 0-7923-5972-0.
- Euclid (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements, Translated from the Text of Heiberg, with Introduction and Commentary. 1 (Books I and II). Μτφρ. Heath, Thomas L. (Reprint of 2nd (1925) έκδοση). Dover. On-line text at archive.org
- Bourke, Paul (Ιουλίου 1997). «Calculating the area and centroid of a polygon».
- Simon Plouffe (1998). «The Computation of Certain Numbers Using a Ruler and Compass». Journal of Integer Sequences 1: 13. ISSN 1530-7638. Bibcode: 1998JIntS...1...13P. http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/compass.html.
- Hashemipour, Behnaz (2007). «Būzjānī: Abū al-Wafāʾ Muḥammad ibn Muḥammad ibn Yaḥyā al-Būzjānī». Στο: Thomas Hockey, επιμ. The Biographical Encyclopedia of Astronomers. New York: Springer, σσ. 188–9. ISBN 978-0-387-31022-0. http://islamsci.mcgill.ca/RASI/BEA/Buzjani_BEA.htm. (PDF version)
- Raynaud, D. (2012), «Abū al-Wafāʾ Latinus? A Study of Method», Historia Mathematica 39 (1): 34–83, doi:, https://halshs.archives-ouvertes.fr/halshs-00645624 (PDF version)
- Hirschfeld, J. W. P. (1979), Projective Geometries Over Finite Fields, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850295-1
- Boyer, Carl B. (2004), History of Analytic Geometry, Dover, ISBN 978-0-486-43832-0, https://books.google.com/books?id=2T4i5fXZbOYC
- Oakley, C. O., Ph.D. (1944), An Outline of the Calculus, New York: Barnes & Noble
- Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd έκδοση), Reading: Addison-Wesley
Δείτε επίσης
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- Πραγματικό προβολικό επίπεδο
- Στοιχεία του Ευκλείδη
- Ευκλείδειος χώρος
- Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
- Μιγαδικός αριθμός
- τοπολογικος ισομορφισμός
- Παραβολή (γεωμετρία)
- Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
- Πάππος ο Αλεξανδρεύς
- Αμπού αλ Ουάφα
- Τετραγωνισμός παραβολής
- Διαβήτης (όργανο)
- Διπλασιασμός του κύβου
- Προβολική γεωμετρία
- Υπερβολή (γεωμετρία)
- Εγγεγραμμένος και Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι τριγώνου
- Κωνική τομή
- Παραλληλόγραμμο
- Πυθαγόρειο θεώρημα
Παραπομπές
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- ↑ «Square Trisection - math> arXiv:1012.0827».
- ↑ «Dissection Tiling». ics.uci.edu. Ανακτήθηκε στις 26 Οκτωβρίου 2024.
- ↑ Alpay Özdural (1995). Omar Khayyam, Mathematicians, and “conversazioni” with Artisans. Journal of the Society of Architectural Vol. 54, No. 1, Mar., 1995
- ↑ Reza Sarhangi, Slavik Jablan (2006). Elementary Constructions of Persian Mosaics. Towson University and The Mathematical Institute. online Αρχειοθετήθηκε 2011-07-28 στο Wayback Machine.
- ↑ See appendix of L. J. Rogers (1897). Biography of Henry Perigal: On certain Regular Polygons in Modular Network. Proceedings London Mathematical Society. Volume s1-29, Appendix pp. 732-735.
- ↑ Henry Perigal (1875). On Geometric Dissections and Transformations, Messenger of Mathematics, No 19, 1875.
- ↑ Alpay Özdural (2000). Mathematics and Arts: Connections between Theory and Practice in the Medieval Islamic World, Historia Mathematica, Volume 27, Issue 2, May 2000, Pages 171-201.
- ↑ (fr) Jean-Etienne Montucla (1778), completed and re-edited by Jacques Ozanam (1640-1717) Récréations mathématiques, Tome 1 (1694), p. 297 Pl.15.
- ↑ (fr) Edouard Lucas (1883). Récréations Mathématiques, Volume 2. Paris, Gauthier-Villars. Second of four volumes. Second edition (1893) reprinted by Blanchard in 1960. See pp. 151 and 152 in Volume 2 of this edition. online (pp. 145-147).
- ↑ Henry Perigal (1891). Geometric Dissections and Transpositions, Association for the Improvement of Geometrical Teaching. wikisource
- ↑ Christian Blanvillain, János Pach (2010). Square Trisection. Bulletin d'Informatique Approfondie et Applications N°86 - Juin 2010 Αρχειοθετήθηκε 2011-07-24 στο Wayback Machine. also at EPFL: oai:infoscience.epfl.ch:161493.
- Frederickson, Greg N. (1997). Dissections: Plane and Fancy
. Cambridge University Press. ISBN 0-521-57197-9. - Frederickson, Greg N. (2002). Hinged Dissections: Swinging and Twisting. Cambridge University Press. ISBN 0-521-81192-9.
- Frederickson, Greg N. (2006). Piano-hinged Dissections: Time to Fold!. en:A K Peters. ISBN 1-56881-299-X.
- Greg N. Frederickson web site
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
- Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
- Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
- Euclid’s elements of geometry - The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885) Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Όστιν
- Τα οπτικά του Ευκλείδη Διδακτορική Διατριβή - ΕΑΔΔ
- “Αρχιμήδους Βιβλίο Λημμάτων” – Πραγματεία του Νικολάου Λ. Κεχρή Ανοιχτή βιβλιοθήκη
- Virtual book about Archimedes Chris Rorres - Drexel University
- A History of Greek Mathematics, Τόμος 1
- A History of Greek Mathematics: Τόμος 2
- Advanced Euclidean Geometry
- Methods for Euclidean Geometry.
- Lectures on Euclidean Geometry - Volume 1: Euclidean Geometry of ..., Τόμος 1....Square trisection...page100
- Origametry: Mathematical Methods in Paper Folding, Square trisection page 18 ...
- Invitation to Mathematics Square trisection.. page 15
- Answers to Exercises For Geometry (Solutions Manual) Square trisection..page 7 .
- Euclid's Elements of Geometry... Square trisection page 393...
- Rough Sets: International Joint Conference, IJCRS 2016, Santiago de Chile ...Square trisection......page 273
- Unipotent and Nilpotent Classes in Simple Algebraic Groups and Lie Algebras..
Πηγές
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- Blanvillain, Christian; Pach, János (2010) (στα αγγλικά). Square Trisection. 86. https://infoscience.epfl.ch/entities/publication/b3fd293b-1407-420e-b0be-76b33a438941.
- «Trisect a square on its sides. How many isosceles triangles can you find by connecting three of the dots?». Mathematics Stack Exchange (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 26 Οκτωβρίου 2024.
- Richeson, David (2017). «A Trisectrix From a Carpenter's Square». Mathematics Magazine 90 (1): 8–11. doi:. ISSN 0025-570X. https://www.jstor.org/stable/10.4169/math.mag.90.1.8.
