Eυθεία Φίλωνος

Στη γεωμετρία, η ευθεία Φίλωνος είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα που ορίζεται από μια γωνία και ένα σημείο εντός της γωνίας ως το συντομότερο ευθύγραμμο τμήμα που διέρχεται από το σημείο, με άκρα εκατέρωθεν της γωνίας. Γνωστή και ως ευθεία Φίλωνος, πήρε το όνομά της από τον Φίλωνα του Βυζαντίου, έναν Έλληνα συγγραφέα με ειδίκευση στις μηχανικές συσκευές, ο οποίος έζησε πιθανότατα κατά τον 1ο ή 2ο αιώνα π.Χ. Ο Φίλων χρησιμοποίησε την ευθεία για να διπλασιάσει τον κύβο- επειδή ο διπλασιασμός του κύβου δεν μπορεί να επιτευχθεί με χάρακα και διαβήτη, δεν μπορεί να γίνει ούτε η ευθεία του Φίλωνος .

Γεωμετρικός χαρακτηρισμός

Η ευθεία Φίλωνος ενός σημείου P και της γωνίας DOE, και η καθοριστική ισότητα των αποστάσεων από P και Q προς τα άκρα της DE, όπου Q είναι η βάση μιας καθέτου από την κορυφή της γωνίας

Το καθοριστικό σημείο μιας ευθείας Φίλωνος και η βάση μιας καθέτου από την κορυφή της γωνίας προς την ευθεία, ισαπέχουν από τα ακραία σημεία της ευθείας. Δηλαδή, έστω ότι το τμήμα $DE$ είναι η ευθεία Φίλωνος για το σημείο $P$ και τη γωνία $DOE$, και έστω $Q$ η βάση μιας κάθετης ευθείας $OQ$ προς την $DE$. Τότε $DP=EQ$ και $DQ=EP$.

Αντιστρόφως, αν $P$ και $Q$ είναι δύο οποιαδήποτε σημεία που ισαπέχουν από τα άκρα ενός ευθύγραμμου τμήματος $DE$, και αν $O$ είναι οποιοδήποτε σημείο της ευθείας που διέρχεται από το $Q$ και είναι κάθετη στο $DE$, τότε $DE$ είναι η ευθεία Φίλωνος για τη γωνία $DOE$ και το σημείο $P$.

Αλγεβρική κατασκευή

Μια κατάλληλη στερέωση της ευθείας με δεδομένες τις κατευθύνσεις από $O$ προς $E$ και από $O$ προς $D$ και τη θέση του $P$ στο άπειρο αυτό τρίγωνο προκύπτει από την ακόλουθη άλγεβρα:

Το σημείο $O$ τοποθετείται στο κέντρο του συστήματος συντεταγμένων, η κατεύθυνση από $O$ προς $E$ ορίζει την οριζόντια $x$-συντεταγμένη και η κατεύθυνση από $O$ προς $D$ ορίζει την ευθεία με την εξίσωση $y{=}mx$ στο ευθύγραμμο σύστημα συντεταγμένων. $m$ είναι η εφαπτομένη της γωνίας στο τρίγωνο $DOE$. Τότε το $P$ έχει τις καρτεσιανές συντεταγμένες $(P_{x},P_{y})$ και το ζητούμενο είναι να βρεθεί το $E=(E_{x},0)$ στον οριζόντιο άξονα και το $D=(D_{x},D_{y})=(D_{x},mD_{x})$ στην άλλη πλευρά του τριγώνου.

Η εξίσωση μιας δέσμης ευθειών με κλίσεις $\alpha$ που διέρχεται από το σημείο $(x,y)=(P_{x},P_{y})$ είναι

$y=\alpha (x-P_{x})+P_{y}.$

Οι ευθείες αυτές τέμνουν τον οριζόντιο άξονα στο

$\alpha (x-P_{x})+P_{y}=0$

που έχει τη λύση

$(E_{x},E_{y})=\left(P_{x}-{\frac {P_{y}}{\alpha }},0\right).$

Οι ευθείες αυτές τέμνουν την απέναντι πλευρά $y=mx$ στο

$\alpha (x-P_{x})+P_{y}=mx$

η οποία έχει τη λύση

$(D_{x},D_{y})=\left({\frac {\alpha P_{x}-P_{y}}{\alpha -m}},m{\frac {\alpha P_{x}-P_{y}}{\alpha -m}}\right).$

Η τετραγωνική Ευκλείδεια απόσταση μεταξύ των τομών της οριζόντιας γραμμής και της διαγωνίου είναι

$ED^{2}=d^{2}=(E_{x}-D_{x})^{2}+(E_{y}-D_{y})^{2}={\frac {m^{2}(\alpha P_{x}-P_{y})^{2}(1+\alpha ^{2})}{\alpha ^{2}(\alpha -m)^{2}}}.$

Η ευθεία Φίλωνος ορίζεται από το ελάχιστο της απόστασης αυτής στο αρνητικό $\alpha$.

Μια αριθμητική έκφραση για τη θέση του ελάχιστου λαμβάνεται θέτοντας την παράγωγο $\partial d^{2}/\partial \alpha =0$,

οπότε

$-2m^{2}{\frac {(P_{x}\alpha -P_{y})[(mP_{x}-P_{y})\alpha ^{3}+P_{x}\alpha ^{2}-2P_{y}\alpha +P_{y}m]}{\alpha ^{3}(\alpha -m)^{3}}}=0.$

Έτσι υπολογίζοντας τη ρίζα του πολυωνύμου στον αριθμητή,

$(mP_{x}-P_{y})\alpha ^{3}+P_{x}\alpha ^{2}-2P_{y}\alpha +P_{y}m=0$

καθορίζει την κλίση της συγκεκριμένης ευθείας της δέσμης ευθειών που έχει το μικρότερο μήκος. [Το ελάχιστο σε κλίση $\alpha =P_{y}/P_{x}$ από τη ρίζα του άλλου παράγοντα δεν ενδιαφέρει- δεν ορίζει τρίγωνο αλλά σημαίνει ότι η οριζόντια γραμμή, η διαγώνιος και η ευθεία της δέσμης τέμνονται στο $(0,0)$.]

$-\alpha$ είναι η εφαπτομένη της γωνίας $OED$.

Αντιστρέφοντας την παραπάνω εξίσωση ως $\alpha _{1}=P_{y}/(P_{x}-E_{x})$ και βάζοντας την στην προηγούμενη εξίσωση βρίσκει κανείς ότι $E_{x}$ είναι μια ρίζα του κυβικού πολυωνύμου

$mx^{3}+(2P_{y}-3mP_{x})x^{2}+3P_{x}(mP_{x}-P_{y})x-(mP_{x}-P_{y})(P_{x}^{2}+P_{y}^{2}).$

Έτσι, η επίλυση αυτής της κυβικής εξίσωσης βρίσκει την τομή της ευθείας Φίλωνος με τον οριζόντιο άξονα. Αν βάλουμε την ίδια έκφραση στην έκφραση της τετραγωνικής απόστασης, προκύπτει

$d^{2}={\frac {P_{y}^{2}+x^{2}-2xP_{x}+P_{x}^{2}}{(P_{y}+mx-mP_{x})^{2}}}x^{2}m^{2}.$

Θέση του $Q$

Δεδομένου ότι η ευθεία $OQ$ είναι ορθογώνια προς την $ED$, η κλίση της είναι $-1/\alpha$, οπότε τα σημεία της ευθείας αυτής είναι $y=-x/\alpha$. Οι συντεταγμένες του σημείου $Q=(Q_{x},Q_{y})$ υπολογίζονται από την τομή αυτής της ευθείας με την ευθεία Φίλωνος,$y=\alpha (x-P_{x})+P_{y}$. $\alpha (x-P_{x})+P_{y}=-x/\alpha$ παράγει

$Q_{x}={\frac {(\alpha P_{x}-P_{y})\alpha }{1+\alpha ^{2}}}$

$Q_{y}=-Q_{x}/\alpha ={\frac {P_{y}-\alpha P_{x}}{1+\alpha ^{2}}}$

Με τις συντεταγμένες $(D_{x},D_{y})$ όπως φαίνεται παραπάνω, η τετραγωνική απόσταση από το $D$ στο $Q$ είναι

$DQ^{2}=(D_{x}-Q_{x})^{2}+(D_{y}-Q_{y})^{2}={\frac {(\alpha P_{x}-P_{y})^{2}(1+\alpha m)^{2}}{(1+\alpha ^{2})(\alpha -m)^{2}}}$.

Η τετραγωνική απόσταση από το $E$ στο $P$ είναι

$EP^{2}\equiv (E_{x}-P_{x})^{2}+(E_{y}-P_{y})^{2}={\frac {P_{y}^{2}(1+\alpha ^{2})}{\alpha ^{2}}}$.

Η διαφορά αυτών των δύο εκφράσεων είναι

$DQ^{2}-EP^{2}={\frac {[(P_{x}m+P_{y})\alpha ^{3}+(P_{x}-2P_{y}m)\alpha ^{2}-P_{y}m][(P_{x}m-P_{y})\alpha ^{3}+P_{x}\alpha ^{2}-2P_{y}\alpha +P_{y}m]}{\alpha ^{2}(1+\alpha ^{2})(a-m)^{2}}}$.

Δεδομένης της κυβικής εξίσωσης για το $\alpha$ παραπάνω, η οποία είναι ένα από τα δύο κυβικά πολυώνυμα στον αριθμητή, αυτό είναι μηδέν. Αυτή είναι η αλγεβρική απόδειξη ότι η ελαχιστοποίηση της $DE$ οδηγεί στην $DQ=PE$.

Ειδική περίπτωση: ορθή γωνία

Η εξίσωση μιας δέσμης ευθειών με κλίση $\alpha$ που διέρχονται από το σημείο $(x,y)=(P_{x},P_{y})$, $P_{x},P_{y}>0$, έχει τομή με τον άξονα $x$ που δίνεται παραπάνω. Αν τα $DOE$ σχηματίζουν ορθή γωνία, προκύπτει το όριο $m\to \infty$ της προηγούμενης ενότητας στην ακόλουθη ειδική περίπτωση:

Οι ευθείες αυτές τέμνουν τον άξονα $y$ στο σημείο

$\alpha (-P_{x})+P_{y}$

η οποία έχει τη λύση

$(D_{x},D_{y})=(0,P_{y}-\alpha P_{x}).$

Το τετράγωνο της ευκλείδειας απόστασης μεταξύ των τομών της οριζόντιας και της κάθετης γραμμής είναι

$d^{2}=(E_{x}-D_{x})^{2}+(E_{y}-D_{y})^{2}={\frac {(\alpha P_{x}-P_{y})^{2}(1+\alpha ^{2})}{\alpha ^{2}}}.$

Η ευθεία Φίλωνος ορίζεται από το ελάχιστο αυτής της καμπύλης (στο αρνητικό $\alpha$). Μια αριθμητική έκφραση για τη θέση του ελαχίστου είναι εκεί όπου η παράγωγος $\partial d^{2}/\partial \alpha =0$, οπότε

$2{\frac {(P_{x}\alpha -P_{y})(P_{x}\alpha ^{3}+P_{y})}{\alpha ^{3}}}=0$

ισοδύναμο με

$\alpha =-{\sqrt[{3}]{P_{y}/P_{x}}}$

Ως εκ τούτου

$d={\frac {P_{y}-\alpha P_{x}}{|\alpha |}}{\sqrt {1+\alpha ^{2}}}=P_{x}[1+(P_{y}/P_{x})^{2/3}]^{3/2}.$

Εναλλακτικά, αντιστρέφοντας τις προηγούμενες εξισώσεις ως $\alpha _{1}=P_{y}/(P_{x}-E_{x})$ και βάζοντας το σε μια άλλη εξίσωση παραπάνω βρίσκει κανείς

$E_{x}=P_{x}+P_{y}{\sqrt[{3}]{P_{y}/P_{x}}}.$

Διπλασιασμός του κύβου

Η ευθεία Φίλωνος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον διπλασιασμό του κύβου, δηλαδή για την κατασκευή μιας γεωμετρικής αναπαράστασης της κυβικής ρίζας του δύο, και αυτός ήταν ο σκοπός του Φίλωνος με τον ορισμό αυτής της ευθείας. Συγκεκριμένα, έστω $PQRS$ ένα ορθογώνιο του οποίου ο λόγος διαστάσεων $PQ:QR$ είναι $1:2$, όπως στο σχήμα. Έστω $TU$ η ευθεία Φίλωνος του σημείου $P$ ως προς την ορθή γωνία $QRS$. Ορίζουμε ως σημείο $V$ το σημείο τομής της ευθείας $TU$ και του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία $PQRS$. Επειδή το τρίγωνο $RVP$ είναι εγγεγραμμένο στον κύκλο με διάμετρο $RP$, είναι ορθογώνιο τρίγωνο και το $V$ είναι η βάση της καθέτου από την κορυφή της γωνίας προς την ευθεία Φίλωνος.

Έστω $W$ το σημείο όπου η ευθεία $QR$ τέμνει μια κάθετη ευθεία που διέρχεται από το $V$. Τότε οι ισότητες των τμημάτων $RS=PQ$, $RW=QU$ και $WU=RQ$ προκύπτουν από τη χαρακτηριστική ιδιότητα της ευθείας Φίλωνος . Η ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων $PQU$, $RWV$ και $VWU$ προκύπτει από την κάθετη διχοτόμηση ορθογωνίων τριγώνων. Συνδυάζοντας αυτές τις ισότητες και ομοιότητες προκύπτει η ισότητα των αναλογιών $RS:RW=PQ:QU=RW:WV=WV:WU=WV:RQ$ ή πιο συνοπτικά $RS:RW=RW:WV=WV:RQ$. Δεδομένου ότι ο πρώτος και ο τελευταίος όρος αυτών των τριών ίσων αναλογιών είναι σε αναλογία $1:2$, οι ίδιες οι αναλογίες πρέπει να είναι όλες $1:{\sqrt[{3}]{2}}$, η αναλογία που απαιτείται για να διπλασιαστεί ο κύβος.

Αφού ο διπλασιασμός του κύβου είναι ανέφικτος με μια κατασκευή με χάρακα και διαβήτη, είναι εξίσου αδύνατο να κατασκευαστεί η ευθεία του Φίλωνος με αυτά τα εργαλεία.

Ελαχιστοποίηση της επιφάνειας

Δεδομένου του σημείου $P$ και της γωνίας $DOE$, μια παραλλαγή του προβλήματος μπορεί να ελαχιστοποιήσει το εμβαδόν του τριγώνου $OED$. Με τις εκφράσεις για τα $(E_{x},E_{y})$ και $(D_{x},D_{y})$ που δόθηκαν παραπάνω, το εμβαδού είναι το μισό του γινομένου του ύψους και του μήκους της βάσης,

$A=D_{y}E_{x}/2={\frac {m(\alpha P_{x}-P_{y})^{2}}{2\alpha (\alpha -m)}}$.

Η εύρεση της κλίσης $\alpha$ που ελαχιστοποιεί το εμβαδόν σημαίνει να θέσουμε $\partial A/\partial \alpha =0$,

$-{\frac {m(\alpha P_{x}-P_{y})[(mP_{x}-2P_{y})\alpha +P_{y}m]}{2\alpha ^{2}(\alpha -m)^{2}}}=0$.

Απορρίπτοντας και πάλι τη ρίζα $\alpha =P_{y}/P_{x}$ που δεν ορίζει τρίγωνο, η κλίση είναι στην περίπτωση αυτή

$\alpha =-{\frac {mP_{y}}{mP_{x}-2P_{y}}}$

και το ελάχιστο εμβαδόν

$A={\frac {2P_{y}(mP_{x}-P_{y})}{m}}$.

Δημοσιεύσεις

• Bell, John L. (1999). The Art of the Intelligible: An Elementary Survey of Mathematics in its Conceptual Development. Kluwer. ISBN 0-7923-5972-0. 
• Euclid (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements, Translated from the Text of Heiberg, with Introduction and Commentary. 1 (Books I and II). Μτφρ. Heath, Thomas L. (Reprint of 2nd (1925) έκδοση). Dover.  On-line text at archive.org
• Bourke, Paul (Ιουλίου 1997). «Calculating the area and centroid of a polygon». 
• Simon Plouffe (1998). «The Computation of Certain Numbers Using a Ruler and Compass». Journal of Integer Sequences 1: 13. ISSN 1530-7638. Bibcode: 1998JIntS...1...13P. http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/compass.html. 
• Avron, Arnon (1990). «On strict strong constructibility with a compass alone». Journal of Geometry 38 (1–2): 12–15. doi:10.1007/BF01222890. 
• Ell, Todd A.; Sangwine, Stephen J. (2007). «Quaternion involutions and anti-involutions». Computers & Mathematics with Applications 53 (1): 137–143. doi:10.1016/j.camwa.2006.10.029. 
• To Double a Cube – The Solution of Archytas. Excerpt from A History of Greek Mathematics by Sir Thomas Heath.
• Delian Problem Solved. Or Is It? at cut-the-knot.
• Mathologer video: "2000 years unsolved: Why is doubling cubes and squaring circles impossible?"
• Hirschfeld, J. W. P. (1979), Projective Geometries Over Finite Fields, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850295-1 
• Boyer, Carl B. (2004), History of Analytic Geometry, Dover, ISBN 978-0-486-43832-0, https://books.google.com/books?id=2T4i5fXZbOYC 
• Oakley, C. O., Ph.D. (1944), An Outline of the Calculus, New York: Barnes & Noble 
• Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd έκδοση), Reading: Addison-Wesley 

Δείτε επίσης

• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Στοιχεία του Ευκλείδη
• Ευκλείδειος χώρος
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Μιγαδικός αριθμός
• τοπολογικος ισομορφισμός
• Παραβολή (γεωμετρία)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Πάππος ο Αλεξανδρεύς
• Κέντρο μάζας
• Τετραγωνισμός παραβολής
• Διαβήτης (όργανο)
• Διπλασιασμός του κύβου
• Προβολική γεωμετρία
• Υπερβολή (γεωμετρία)
• Εγγεγραμμένος και Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι τριγώνου
• Κωνική τομή
• Παραλληλόγραμμο
• Φίλων ο Βυζάντιος

Παραπομπές

• Knorr, W. R. (6 Δεκεμβρίου 2012). Textual Studies in Ancient and Medieval Geometry. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-3690-0. 
• Nixon, Randal Charles John (1886). Euclid Revised: Containing the Essentials of the Elements of Plane Geometry as Given by Euclid in His First Six Books. Clarendon Press. 
• Kimberling, Clark (2003). Geometry in Action: A Discovery Approach Using the Geometer's Sketchpad. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-931914-02-4. 

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Euclid’s elements of geometry - The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885) Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Όστιν
• Τα οπτικά του Ευκλείδη Διδακτορική Διατριβή - ΕΑΔΔ
• “Αρχιμήδους Βιβλίο Λημμάτων” – Πραγματεία του Νικολάου Λ. Κεχρή Ανοιχτή βιβλιοθήκη
• Virtual book about Archimedes Chris Rorres - Drexel University
• A History of Greek Mathematics, Τόμος 1
• A History of Greek Mathematics: Τόμος 2
• Advanced Euclidean Geometry
• Methods for Euclidean Geometry.
• A Short History of Greek Mathematics....Philo line modern in geometry
• A Treatise on the Geometry of the Circle and Some Extensions to Conic ..Philo line geometry page 37 ...
• Euclid Revised: Containing the Essentials of the Elements of Plane Geometry ...Philo line geometry page 276
• Philo line geometry..
• CRC Concise Encyclopedia of Mathematics,..Philo line geometry page 2227...
• A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid: Containing an ...Philo line geometry......page 40
• Unipotent and Nilpotent Classes in Simple Algebraic Groups and Lie Algebras..

Πηγές

• Heath, T. L. (21 Νοεμβρίου 2013). A History of Greek Mathematics. Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-06306-7. 
• Smorynski, Craig (7 Απριλίου 2017). MVT: A Most Valuable Theorem. Springer. ISBN 978-3-319-52956-1. 
• Faulkner, Nicholas· Gregersen, Erik (15 Δεκεμβρίου 2017). The History of Mathematics. The Rosen Publishing Group, Inc. ISBN 978-1-68048-777-0.