Χρήστης:Projethomere/πρόχειρο

Χρήστης:Projethomere/πρόχειρο (αποσαφήνιση)

Ἀλλο θέμα

• Ωκεανίδες
• Εθνική Πινακοθήκη-Μουσείο Αλεξάνδρου Σούτζου
• Μουσείο Καλούστ Γκιουλμπενκιάν
• en:Alpheus (deity)
• Κλάρος
• Κύλιξ

• [1]

θέματα για διόρθωση

• Τηθύς
• Νέμεσις
• Ευφροσύνη (μυθολογία)
• Αριστοφάνης ο Βυζάντιος infobox person
• Πτώον όρος
• Άγαλμα του Ολυμπίου Διός

• Virtual International Authority File ελ.
• Βίλνιους

Θέμα επεξεργασίας

en:Widener Library
fr:Liste des universités au Royaume-Uni
en:Category:Digital libraries by country

en:American Mathematical Society


en:External ray Εξωτερική ακτίνα Πύλη:Μαθηματικά
Διεθνής Μαθηματική Ένωση

en:Complete intersection ring Πλήρης δακτύλιος διατομής


en:Cohen–Macaulay ring Δακτύλιος Κοέν-Μακόλεϊ

Νέο θέμα

Στα μαθηματικά, ένας δακτύλιος Κοέν-Μακόλεϊ είναι ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος με ορισμένες από τις αλγεβρο-γεωμετρικές ιδιότητες μιας ομαλής ποικιλίας, όπως η τοπική ισοδιάσταση. Κάτω από ήπιες υποθέσεις, ένας τοπικός δακτύλιος είναι Κοέν-Μακόλεϊ ακριβώς όταν είναι ένα πεπερασμένα παραγόμενο ελεύθερο module πάνω σε έναν κανονικό τοπικό υποδακτύλιο. Οι δακτύλιοι Κοέν-Μακόλεϊ παίζουν κεντρικό ρόλο στην αντιμεταθετική άλγεβρα: αποτελούν μια πολύ ευρεία κατηγορία, και παρόλα αυτά είναι καλά κατανοητοί με πολλούς τρόπους.

Πήραν το όνομά τους από τον Φράνσις Σάουερμπι Μακόλεϊ (1916), ο οποίος απέδειξε το θεώρημα της μη-συνδυαστικότητας για πολυωνυμικούς δακτυλίους, και από τον Ίρβιν Κοέν (1946), ο οποίος απέδειξε το θεώρημα της μη-συνδυαστικότητας για τυπικούς δακτυλίους δυναμοσειρών. Όλοι οι δακτύλιοι Κοέν-Μακόλεϊ έχουν την ιδιότητα της μη ανάμειξης.

Για τους Ναιτεριανούς τοπικούς δακτυλίους, υπάρχει η ακόλουθη αλυσίδα εγκλεισμάτων:

   Καθολικά Αλυσοειδής δακτύλιος ⊃ δακτύλιοι Κοέν-Μακολέι ⊃ δακτύλιοι Γκόρενσταϊν ⊃ πλήρεις δακτύλιοι διατομής ⊃ κανονικοί τοπικοί δακτύλιοι

Ορισμός

Για έναν αντιμεταθετικό Ναιτεριανό τοπικό δακτύλιο R, ένα πεπερασμένο (δηλ. πεπερασμένα παραγόμενο) R-module $M\neq 0$ είναι ένα Κοέν-Μακόλεϊ module αν $\mathrm {depth} (M)=\mathrm {dim} (M)$ (γενικά έχουμε: $\mathrm {depth} (M)\leq \mathrm {dim} (M)$, βλέπε τύπο Αουσλάντερ-Μπούχσμπαουμ για τη σχέση μεταξύ depth και dim ενός συγκεκριμένου είδους ενοτήτων). Από την άλλη πλευρά, ο $R$ είναι ένα module στον εαυτό του, οπότε ονομάζουμε τον $R$ δακτύλιο Κοέν-Μακόλεϊ αν είναι ένα module Κοέν-Μακόλεϊ ως $R$-module. Ένα μέγιστο module Κοέν-Μακόλεϊ είναι ένα module Κοέν- Μακόλεϊ M τέτοιο ώστε $\mathrm {dim} (M)=\mathrm {dim} (R)$.

Ο παραπάνω ορισμός αφορούσε τους Ναιτεριανούς τοπικούς δακτυλίους. Μπορούμε όμως να επεκτείνουμε τον ορισμό για έναν πιο γενικό Ναιτεριανό δακτύλιο: Αν $R$ είναι ένας αντιμεταθετικός Ναιτεριανός δακτύλιος, τότε ένα R-module M ονομάζεται Κοέν-Μακόλεϊ module αν $M_{\mathrm {m} }$ είναι ένα Κοέν-Μακόλεϊ module για όλα τα μέγιστα ιδεώδη $\mathrm {m} \in \mathrm {Supp} (M)$. (Αυτό είναι ένα είδος κυκλικού ορισμού, εκτός αν ορίσουμε τις μηδενικές ενότητες ως Κοέν-Μακόλεϊ. Οπότε ορίζουμε τις μηδενικές ενότητες ως ενότητες Κοέν-Μακόλεϊ σε αυτόν τον ορισμό). Τώρα, για να ορίσουμε τις μέγιστες ενότητες Κοέν-Μακόλεϊ για αυτούς τους δακτυλίους, απαιτούμε ο $M_{\mathrm {m} }$ να είναι μια τέτοια $R_{\mathrm {m} }$-ενότητα για κάθε μέγιστο ιδεώδες $\mathrm {m}$ του R. Όπως και στην τοπική περίπτωση, το R είναι ένας δακτύλιος Κοέν-Μακόλεϊ αν είναι ένα module Κοέν-Μακόλεϊ (ως ένα $R$-module στον εαυτό του).

Παραδείγματα

Οι Ναιτεριανοί δακτύλιοι των ακόλουθων τύπων είναι Κοέν-Μακόλεϊ.

• Κάθε κανονικός τοπικός δακτύλιος. Αυτό οδηγεί σε διάφορα παραδείγματα δακτυλίων Κοέν-Μακόλεϊ, όπως οι ακέραιοι $\mathbb {Z}$, ή ένας πολυωνυμικός δακτύλιος $K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ πάνω από ένα πεδίο K, ή ένας δακτύλιος δυναμοσειρών $K[[x_{1},\ldots ,x_{n}]]$. Με γεωμετρικούς όρους, κάθε κανονικό σχήμα, παραδείγματος χάριν μια ομαλή ποικιλία πάνω σε ένα πεδίο, είναι Κοέν-Μακόλεϊ.
• Κάθε δακτύλιος 0 διαστάσεων (ή ισοδύναμα, κάθε δακτύλιος Artinian).
• Κάθε 1-διάστατος μειωμένος δακτύλιος, παραδείγματος χάριν κάθε 1-διάστατη περιοχή.
• Κάθε 2-διάστατος κανονικός δακτύλιος.
• Κάθε δακτύλιος Γκορένσταϊν. Ειδικότερα, οποιοσδήποτε πλήρης δακτύλιος τομής.
• Ο δακτύλιος των αναλλοίωτων $R^{G}$ όταν R είναι μια άλγεβρα Κοέν-Μακόλεϊ πάνω σε ένα πεδίο χαρακτηριστικού μηδέν και G είναι μια πεπερασμένη ομάδα (ή γενικότερα, μια γραμμική αλγεβρική ομάδα της οποίας η συνιστώσα ταυτότητας είναι αναγωγική). Αυτό είναι το θεώρημα Χόχστερ - Ρόμπερτς.
• Οποιοσδήποτε ντετερμινάνταλ δακτύλιος. Δηλαδή, έστω R το πηλίκο ενός κανονικού τοπικού δακτυλίου S προς το ιδεώδες I που παράγεται από τα r × r ελάσσονες κάποιου p × q πίνακα στοιχείων του S. Αν η κωδικομέτρηση (ή το ύψος) του I είναι ίση με την "αναμενόμενη" κωδικομέτρηση (p−r+1)(q−r+1), R, ο R ονομάζεται προσδιοριστικός δακτύλιος. Σε αυτή την περίπτωση, ο R είναι Κοέν-Μακόλεϊ . Ομοίως, οι δακτύλιοι συντεταγμένων των ντετερμινάντων ποικιλιών είναι Κοέν-Μακόλεϊ.

Μερικά επιπλέον παραδείγματα:

1. Ο δακτύλιος K[x]/(x²) έχει διάσταση 0 και επομένως είναι Κοέν-Μακόλεϊ, αλλά δεν είναι αναγωγικός και επομένως δεν είναι κανονικός.
2. Ο υποδακτύλιος K[t², t³] του πολυωνυμικού δακτυλίου K[t], ή ο εντοπισμός του ή η συμπλήρωσή του στο t=0, είναι μια περιοχή 1 διάστασης η οποία είναι Γκόρενσταϊν και επομένως Κοέν-Μακόλεϊ, αλλά όχι κανονική. Ο δακτύλιος αυτός μπορεί επίσης να περιγραφεί ως ο δακτύλιος συντεταγμένων της κυβικής καμπύλης y² = x³ πάνω από το K.
3. Ο υποδακτύλιος K[t³, t⁴, t⁵] του πολυωνυμικού δακτυλίου K[t], ή ο εντοπισμός ή η ολοκλήρωσή του στο t=0, είναι ένα μονοδιάστατο πεδίο που είναι Κοέν-Μακόλεϊ αλλά όχι Γκόρενσταϊν.

Οι ρητές ιδιομορφίες πάνω σε ένα πεδίο χαρακτηριστικού μηδέν είναι Κοέν-Μακόλεϊ. Οι τορικές ποικιλίες πάνω από οποιοδήποτε πεδίο είναι Κοέν-Μακόλεϊ. Το πρόγραμμα του ελάχιστου μοντέλου κάνει εμφανή χρήση των ποικιλιών με klt (Kawamata log terminal) ιδιομορφίες- σε χαρακτηριστικό μηδέν, αυτές είναι ρητές ιδιομορφίες και επομένως είναι Κοέν-Μακόλεϊ, Ένα επιτυχημένο ανάλογο των ορθολογικών ιδιομορφιών σε θετική χαρακτηριστική είναι η έννοια των F-ρητών ιδιομορφιών, και πάλι, τέτοιες ιδιομορφίες είναι Κοέν-Μακόλεϊ.

Έστω X μια προβολική ποικιλία διάστασης n ≥ 1 πάνω από ένα πεδίο, και έστω L μια ευρεία δέσμη γραμμών πάνω στο X. Τότε ο δακτύλιος τομής της L

$R=\bigoplus _{j\geq 0}H^{0}(X,L^{j})$

είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν και μόνο αν η ομάδα συνομολογίας Hⁱ(X, L^j) είναι μηδέν για όλα τα 1 ≤ i ≤ n−1 και όλους τους ακέραιους j. Επομένως, προκύπτει, ότι ο αφινικός κώνος Spec R πάνω από μια αβελιανή ποικιλία X' είναι Κοέν-Μακόλεϊ όταν η X έχει διάσταση 1, αλλά όχι όταν η X έχει διάσταση τουλάχιστον 2 (επειδή η H¹(X, O) δεν είναι μηδέν). Βλέπε επίσης Γενικευμένος δακτύλιος Κοέν-Μακόλεϊ.

Σχήματα Κοέν-Μακόλεϊ

Λέμε ότι ένα τοπικά Ναιτεριανό σχήμα $X$ είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν σε κάθε σημείο $x\in X$ ο τοπικός δακτύλιος ${\mathcal {O}}_{X,x}$ είναι Κοέν-Μακόλεϊ.

Καμπύλες Κοέν-Μακόλεϊ

Οι καμπύλες Κοέν-Μακόλεϊ είναι μια ιδιαίτερη περίπτωση των σχημάτων Κοέν-Μακόλεϊ, είναι όμως χρήσιμες για τη συμπύκνωση των χώρων moduli των καμπυλών όπου το όριο του ομαλού χώρου ${\mathcal {M}}_{g}$ αποτελείται από καμπύλες Κοέν-Μακόλεϊ. Υπάρχει ένα χρήσιμο κριτήριο για να αποφασίσουμε αν οι καμπύλες είναι Κοέν-Μακόλεϊ ή όχι. Τα σχήματα διάστασης $\leq 1$ είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν και μόνο αν δεν έχουν ενσωματωμένους πρώτους αριθμούς.. Οι ιδιομορφίες που υπάρχουν στις καμπύλες Κοέν-Μακόλεϊ μπορούν να ταξινομηθούν πλήρως εξετάζοντας την περίπτωση ττων επίπεδων καμπυλών.

Μη παραδείγματα

Χρησιμοποιώντας το κριτήριο, υπάρχουν εύκολα παραδείγματα καμπυλών μη Κοέν-Μακόλεϊ από την κατασκευή καμπυλών με ενσωματωμένα σημεία. Παραδείγματος χάριν, το σχήμα

$X={\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{2},xy)}}\right)$

έχει τη διάσπαση σε πρωταρχικά ιδεώδη $(x)\cdot (x,y)$. Γεωμετρικά είναι ο άξονας $y$ με ένα ενσωματωμένο σημείο στην αρχή, το οποίο μπορεί να θεωρηθεί ως παχύ σημείο. Δεδομένης μιας ομαλής προβολικής επίπεδης καμπύλης $C\subset \mathbb {P} ^{2}$, μια καμπύλη με ενσωματωμένο σημείο μπορεί να κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας την ίδια τεχνική: βρείτε το ιδεώδες $I_{x}$ ενός σημείου στο $x\in C$ και πολλαπλασιάστε το με το ιδεώδες $I_{C}$ του $C$. Τότε

$X={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{I_{C}\cdot I_{x}}}\right)$

είναι μια καμπύλη με ενσωματωμένο σημείο στο $x$.

Θεωρία της διατομής

Τα σχήματα Κοέν-Μακόλεϊ έχουν μια ιδιαίτερη σχέση με τη θεωρία τομών. Έστω X μια ομαλή ποικιλία και V, W κλειστά υποσχήματα καθαρής διάστασης. Έστω Z μια κατάλληλη συνιστώσα της θεωρίας σχημάτων της τομής $V\times _{X}W$, δηλαδή μια μη αναγώγιμη συνιστώσα αναμενόμενης διάστασης. Αν ο τοπικός δακτύλιος A του $V\times _{X}W$ στο γενικό σημείο του Z είναι Κοέν - Μακόλεϊ, τότε η πολλαπλότητα της τομής των V και W κατά μήκος του Z δίνεται ως το μήκος του A:

$i(Z,V\cdot W,X)=\operatorname {length} (A)$.

Γενικά, η πολλαπλότητα αυτή δίνεται ως μήκος και ουσιαστικά χαρακτηρίζει τον δακτύλιο Κοέν-Μακόλεϊ, βλέπε #Ιδιότητες. Το κριτήριο πολλαπλότητας ένα, από την άλλη πλευρά, χαρακτηρίζει κατά προσέγγιση έναν κανονικό τοπικό δακτύλιο ως τοπικό δακτύλιο πολλαπλότητας ένα.

Παράδειγμα

Για ένα απλό παράδειγμα, αν πάρουμε την τομή μιας παραβολής με μια ευθεία που εφάπτεται σε αυτήν, ο τοπικός δακτύλιος στο σημείο τομής είναι ισομορφικός με

${\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(y-x^{2})}}\otimes _{\mathbb {C} [x,y]}{\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(y)}}\cong {\frac {\mathbb {C} [x]}{(x^{2})}}$

το οποίο είναι Κοέν-Μακόλεϊ μήκους δύο, άρα η πολλαπλότητα της τομής είναι δύο, όπως αναμενόταν.

Θαύμα επιπεδότητας ή το κριτήριο του Χιρονάκα

Υπάρχει ένας αξιοσημείωτος χαρακτηρισμός των δακτυλίων Κοέν-Μακόλεϊ, ο οποίος μερικές φορές ονομάζεται θαυματουργή επιπεδότητα ή κριτήριο Χιρονάκα. Έστω R ένας τοπικός δακτύλιος που παράγεται πεπερασμένα ως ενότητα πάνω σε κάποιον κανονικό τοπικό δακτύλιο A που περιέχεται στον R. Ένας τέτοιος υποδακτύλιος υπάρχει για κάθε τοπικοποίηση R σε ένα πρώτο ιδεώδες μιας πεπερασμένα παραγόμενης άλγεβρας πάνω σε ένα πεδίο, σύμφωνα με το λήμμα κανονικοποίησης της Νέτερ- υπάρχει επίσης όταν ο R είναι πλήρης και περιέχει ένα πεδίο, ή όταν ο R είναι ένας πλήρης τομέας. Τότε ο R είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν και μόνο αν είναι επίπεδος ως module A- είναι επίσης ισοδύναμο να πούμε ότι ο R είναι ελεύθερος ως moduleA.

Δημοσιεύσεις

• Bruns, Winfried; Herzog, Jürgen (1993), Cohen–Macaulay Rings, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-41068-7 
• «On the structure and ideal theory of complete local rings», Transactions of the American Mathematical Society 59 (1): 54–106, 1946, doi:10.2307/1990313, ISSN 0002-9947  Cohen's paper was written when "local ring" meant what is now called a "Noetherian local ring".
• V.I. Danilov (2001), «Cohen–Macaulay ring», στο: Hazewinkel, Michiel, επιμ., Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=c/c022970 
• Eisenbud, David (1995), Commutative Algebra with a View toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN 978-0-387-94268-1 
• Introduction to Toric Varieties, Princeton University Press, 1993, doi:10.1515/9781400882526, ISBN 978-0-691-00049-7 
• Intersection theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 2 (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, 1998, ISBN 978-3-540-62046-4 
• Birational Geometry of Algebraic Varieties, Cambridge University Press, 1998, doi:10.1017/CBO9780511662560, ISBN 0-521-63277-3 
• Singularities of the Minimal Model Program, Cambridge University Press, 2013, doi:10.1017/CBO9781139547895, ISBN 978-1-107-03534-8 
• The Algebraic Theory of Modular Systems, Cambridge University Press, 1994, ISBN 1-4297-0441-1, http://projecteuclid.org/euclid.chmm/1263317740 
• Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2nd έκδοση), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6 
• «A survey of test ideals», Progress in Commutative Algebra 2, Berlin: Walter de Gruyter, 2012, σελ. 39–99 

Δείτε επίσης

• Regular ring (in commutative algebra)

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Commutative Ring Theory
• Rings Close to Regular
• Modules over Commutative Regular Rings

Σημειώσεις

• H. Matsumura, Commutative algebra 1980 (ISBN 0-8053-7026-9).
• Nagata, Masayoshi (1956), «On the chain problem of prime ideals», Nagoya Math. J. 10: 51–64, doi:10.1017/S0027763000000076, http://projecteuclid.org/euclid.nmj/1118799769 
• Nagata, Masayoshi (1962), Local rings, Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, 13, New York-London: Interscience Publishers, a division of John Wiley & Sons ; reprinted by R. E. Krieger Pub. Co (1975) (ISBN 0-88275-228-6)

[[Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία] [[Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων] [[Κατηγορία:Αντιμεταθετική άλγεβρα]

---

[[Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων] [[Κατηγορία:Βελτιστοποίηση] [[Κατηγορία:Διαφορική γεωμετρία]

[[Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών] [[Κατηγορία:Διάσταση] [[Κατηγορία:Γενική τοπολογία]

[[Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά] [[Κατηγορία:Ειδικές συναρτήσεις] [[Κατηγορία:Ζήτα και L-συναρτήσεις]

[[Κατηγορία:Μαθηματικοί οργανισμοί] [[Κατηγορία:Μαθηματικά] [[Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά]

[[Κατηγορία:Καναδοί μαθηματικοί]

---

[[Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά)] [[Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα] [[Κατηγορία:Διακριτή γεωμετρία]

[[Κατηγορία:Φράκταλ] [[Κατηγορία:Δυναμικά συστήματα] [[Κατηγορία:Πληροφοριακά συστήματα]

---

{{authority control} {{Portal bar|Βιογραφίες|Μαθηματικά} {{DEFAULTSORT:Νονικοφ, Σεργκει} [[Κατηγορία:Βραβεία μαθηματικών] [[Κατηγορία:Αναλυτική γεωμετρία] [[Κατηγορία:Ρώσοι μαθηματικοί] [[Κατηγορία:Μαθηματικοί του 19ου αιώνα]

[[Κατηγορία:Γάλλοι χημικοί] [[Κατηγορία:Βραβεία Νόμπελ] [[Κατηγορία:Βραβευμένοι με Νόμπελ Φυσικής]

---

[[Κατηγορία:Ιστότοπος-επέκταση] [[Κατηγορία:Ψηφιακές βιβλιοθήκες]

[[Κατηγορία: Κατηγορία:Γάλλοι εκδότες] [[Κατηγορία:Εκδοτικοί οίκοι]

[[Κατηγορία:Μουσεία στο Παρίσι [[Κατηγορία:Νομισματικά μουσεία

[[Κατηγορία:Ιλιάδα [[Κατηγορία:Ήφαιστος

Δείτε επίσης

• Κατάλογος μεγαλύτερων βιβλιοθηκών
• Κατάλογος Εθνικών Βιβλιοθηκών
• Παγκόσμια Ψηφιακή Βιβλιοθήκη
• Europeana
• Ευρωπαϊκή Βιβλιοθήκη

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Επίσημη ιστοσελίδα

Παραπομπές

{Authority control}}

Κατηγορία:Εθνικές βιβλιοθήκες]] [Κατηγορία:Βιβλιοθήκες στη Σαουδική Αραβία]]

[Κατηγορία:Ιστορικές βιβλιοθήκες]] [Κατηγορία:Τορίνο]]

Κατηγορία:Βιβλιοθήκες ανά χώρα]]

Κατηγορία:Ψηφιακές βιβλιοθήκες]]

Κατηγορία:Ερευνητικά κέντρα ανά χώρα]] Κατηγορία:Πανεπιστήμια ανά χώρα]]

{commonscat}}

---

Άλλο θἐμα

List of national and state libraries
de:Liste der Nationalbibliotheken
es:Anexo:Bibliotecas nacionales

Κατάλογος Εθνικών Βιβλιοθηκών

---