Βαρυτικό πεδίο

Το βαρυτικό πεδίο είναι ένα μοντέλο που χρησιμοποιείται στη φυσική για να εξηγήσει πώς λειτουργεί η βαρύτητα στο σύμπαν. Στην αρχική της σύλληψη, η βαρύτητα ήταν μια δύναμη μεταξύ σημειακών μαζών. Μετά τον Νεύτωνα, ο Λαπλάς προσπάθησε να μοντελοποιήσει την βαρύτητα ως ένα είδος δυναμικού πεδίου ή ρευστού, και από τον 19ο αιώνα οι ερμηνείες για την βαρύτητα αντιλαμβάνονταν στο πλαίσιο πεδίων, παρά μιας σημειακής έλξης.

Στο μοντέλο πεδίου, σε αντίθεση με την αμοιβαία έλξη μεταξύ των σωματιδίων, τα σωματίδια παραμορφώνουν τον χωροχρόνο εξ αιτίας της μάζας τους, και αυτή η παραμόρφωση είναι αυτή που αντιλαμβανόμαστε εμείς ως «δύναμη». Στην πραγματικότητα η δύναμη σε αυτό το μοντέλο δεν υφίσταται, απλώς η ύλη αντιδρά στην καμπύλωση του χωροχρόνου.

Βαρυτικά πεδία στην Κλασική Μηχανική

Στην κλασική μηχανική, το πεδίο δεν είναι μια πραγματική οντότητα, αλλά μόνο ένα επιστημονικό μοντέλο που χρησιμοποιείται για να περιγράψει τα αποτελέσματα της βαρύτητας. Το πεδίο μπορεί να καθοριστεί χρησιμοποιώντας τον νόμο της παγκόσμιας έλξης του Νεύτωνα. Καθορίζοντάς το με αυτόν τον τρόπο, το βαρυτικό πεδίο γύρω από ένα απλό σωματίδιο είναι ένα διανυσματικό πεδίο, σε κάθε σημείο του οποίου αντιστοιχεί ένα διάνυσμα με κατεύθυνση προς το σωματίδιο. Η ένταση του πεδίου σε κάθε σημείο υπολογίζεται με τον νόμο της παγκόσμιας έλξης και εκφράζει τη δύναμη ανά μονάδα μάζας ενός οποιουδήποτε αντικειμένου σε αυτό το σημείο στον χώρο. Το πεδίο γύρω από περισσότερα του ενός σωματίδια είναι απλώς το διανυσματικό άθροισμα των πεδίων κάθε σωματιδίου ξεχωριστά. Ένα σημειακό αντικείμενο σε ένα τέτοιο πεδίο δέχεται -βάσει της αρχής της επαλληλίας- μια δύναμη που είναι ίση με τη συνισταμένη όλων των δυνάμεων που δέχεται από κάθε πεδίο ξεχωριστά.

Βαρυτικά πεδία στην Γενική Σχετικότητα

Το δισδιάστατο ανάλογο παραμόρφωσης του χωρόχρονου. Η παρουσία ύλης αλλάζει τη γεωμετρία του χωρόχρονου, η οποία ερμηνεύεται ως βαρύτητα.

Στη Γενική σχετικότητα, το βαρυτικό πεδίο ως το αποτέλεσμα των πεδιακών εξισώσεων του Αϊνστάιν. Αυτές οι εξισώσεις εξαρτώνται από την κατανομή ύλης και ενέργειας σε μια περιοχή του χώρου, αντίθετα με την Νευτώνεια βαρύτητα, που εξαρτάται μόνο από την κατανομή ύλης. Τα πεδία αυτά καθαυτά στη γενική σχετικότητα αντιπροσωπεύουν την καμπύλωση του χωροχρόνου. Σύμφωνα με τη γενική σχετικότητα, το να βρίσκεται ένα αντικείμενο σε μια καμπυλωμένη περιοχή του χώρου είναι ισοδύναμο με το να επιταχύνει σύμφωνα με την κλίση του πεδίου. Σύμφωνα με τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα αυτό έχει ως αποτέλεσμα να δρα πάνω στο αντικείμενο μια δύναμη αδράνειας αν θεωρηθεί ακίνητο ως προς το πεδίο. Αυτός είναι και ο λόγος που ένα άτομο αισθάνεται να έλκεται από τη Γη εξ αιτίας της δύναμης της βαρύτητας ενώ στέκεται ακίνητος στην επιφάνεια της Γης. Γενικά τα βαρυτικά πεδία που προβλέπει η γενική σχετικότητα ταυτίζονται απόλυτα στο όριο των ασθενών βαρυτικών πεδίων με αυτά που προβλέπει η κλασική μηχανική, αλλά υπάρχουν μερικές σημαντικές διαφορές που τα διακρίνουν όταν τα βαρυτικά πεδία γίνονται ισχυρά, όπως είναι η καμπύλωση του φωτός και τα βαρυτικά κύματα.

Κλασική περιγραφή του βαρυτικού πεδίου

Ένταση

Το διάνυσμα θέσης τυχαίου σημείου στο χώρο σε απόσταση r από το σώμα μάζας Μ.

Ένταση, g, σε ένα σημείο βαρυτικού πεδίου, ονομάζουμε το φυσικό διανυσματικό μέγεθος που έχει μέτρο ίσο με το πηλίκο της δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα μάζας m που βρίσκεται σε απόσταση r από το κέντρο της πηγής βαρύτητας προς τη μάζα m του σώματος στο οποίο ασκείται η δύναμη του βαρυτικού πεδίου, και φορά αντίθετη προς το μοναδιαίο διάνυσμα ${\boldsymbol {\hat {r}}}$ που έχει φορά από το δεύτερο σώμα στο πρώτο. Μαθηματικά,

$\mathbf {g} =-{\frac {GM}{r^{2}}}\ {\boldsymbol {\hat {r}}},$

όπου G≈6.67×10⁻¹¹ (SI) η σταθερά της βαρύτητας σε μονάδες διεθνούς συστήματος. Βάσει του ορισμού, το μέτρο της έντασης του βαρυτικού πεδίου έχει μονάδες επιτάχυνσης (δύναμη ανά μονάδα μάζας), και εξαρτάται τόσο από τη μάζα Μ του σώματος που δημιουργεί το βαρυτικό πεδίο, όσο και από την απόσταση r από τη θέση αυτού. Η συνολική δύναμη, F, που ασκείται σε σώμα μάζας m όταν αυτό τοποθετηθεί σε απόσταση r από την «πηγή» του βαρυτικού πεδίου ισούται με το γινόμενο της έντασης του βαρυτικού πεδίου επί τη μάζα m του σώματος. Δηλαδή,

$\mathbf {F} =m\mathbf {g} =-G{\frac {Mm}{r^{2}}}\ {\boldsymbol {\hat {r}}}$

που ταυτίζεται με τη γνωστή δύναμη της βαρύτητας κατά Νεύτωνα.

Βαρυτικό δυναμικό - σημειακή πηγή

Το δυναμικό, Φ, του βαρυτικού πεδίου (επίσης γνωστό και ως Νευτώνειο Δυναμικό) είναι ένα μονόμετρο μέγεθος που ορίζεται ως μείον το έργο ανά μονάδα μάζας που εκτελεί η δύναμη της βαρύτητας από μία θέση αναφοράς r₀ σε μία απόσταση r από την πηγή του βαρυτικού πεδίου. Μαθηματικά, ο ορισμός του βαρυτικού δυναμικού ταυτίζεται με το εξής επικαμπύλιο ολοκλήρωμα:

$\Phi (r)=-\int _{\mathbf {r} _{0}}^{\mathbf {r} }\mathbf {g} \cdot d\mathbf {r}$

Στην περίπτωση της σημειακής πηγής, ο παραπάνω τύπος δίνει:

$\Phi (r)=GM\int _{\mathbf {r_{0}} }^{\mathbf {r} }{\frac {{\boldsymbol {\hat {r}}}'\cdot d\mathbf {r'} }{r'^{2}}}=GM\int _{r_{0}}^{r}{\frac {dr'}{r'^{2}}}=-GM\left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{r_{0}}}\right)$

Το βαρυτικό δυναμικό ορίζεται με απροσδιοριστία μίας σταθεράς, που σχετίζεται με το γεγονός ότι το δυναμικό ορίζεται ως προς κάποιο αυθαίρετα επιλεγμένο σημείο αναφοράς r₀. Το πώς επιλέγεται το σημείο αυτό δεν έχει σημασία, καθώς φυσική σημασία έχει μόνο η διαφορά βαρυτικού δυναμικού μεταξύ δύο σημείων στο χώρο.

Συνηθίζεται ως σημείο αναφοράς να επιλέγεται το άπειρο (r₀→∞), διότι Φ(∞)=0. Εν γένει, στα διάφορα είδη δυναμικών τα σημεία αναφοράς είθισται να επιλέγονται με τέτοιο τρόπο ώστε η μαθηματική τους μορφή να είναι όσο τον δυνατόν απλούστερη. Με την εκλογή του απείρου ως σημείο αναφοράς, το δυναμικό μίας σημειακής πηγής απλοποιείται σημαντικά:

$\Phi (r)=-{\frac {GM}{r}}$

Η εκλογή του απείρου ως σημείο αναφοράς οδηγεί επίσης στο αποτέλεσμα ότι το βαρυτικό δυναμικό είναι παντού αρνητικό.

Βαρυτικό δυναμικό - συνεχής κατανομή

Η περίπτωση της συνεχούς κατανομής μάζας - θέσεις ως προς τυχαία επιλεγμένο σύστημα αναφοράς.

Το επόμενο βήμα μετά την περιγραφή των σημειακών βαρυτικών πηγών είναι η κατασκευή ενός μαθηματικού εργαλείου που είναι σε θέση να υπολογίσει το βαρυτικό πεδίο που δημιουργεί ένα αντικείμενο συγκεκριμένων διαστάσεων. Στην περίπτωση οι διαστάσεις ενός σώματος είναι σημαντικές, το βαρυτικό πεδίο εν γένει αποκλίνει από την σφαιρικά συμμετρική λύση που ισχύει για σημειακές πηγές.

Από μαθηματικής σκοπιάς, ένα αντικείμενο μπορεί να περιγραφτεί πλήρως αν γνωρίζουμε τη συνολική του μάζα (Μ), καθώς επίσης και την πυκνότητά (ρ) του σε κάθε σημείο του χώρου. Επιλέγοντας ένα σύστημα συντεταγμένων στο οποίο οι θέσεις της πηγής του δυναμικού περιγράφονται από ένα διάνυσμα θέσης r' και το σημείο στο οποίο θέλουμε να υπολογίσουμε το δυναμικό από ένα διάνυσμα θέσης r, το δυναμικό δίνεται από τον γενικό τύπο:

$\Phi (r)=-G\int {\frac {\rho (\mathbf {r'} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}d^{3}\mathbf {r'}$

Ο παραπάνω τύπος προκύπτει από την κατάτμηση της κατανομής μάζας σε μικρές, στοιχειώδης μάζες τις οποίες θεωρούμε σημειακές. Το δυναμικό υπολογίζεται στη συνέχεια για κάθε τέτοια στοιχειώδη μάζα και το συνολικό δυναμικό σε δεδομένο σημείο του χώρου προκύπτει αθροίζοντας (=ολοκληρώνοντας) όλες τις στοιχειώδεις συνεισφορές δυναμικού.

Δρώντας δύο φορές τα δύο μέλη της εξίσωσης δυναμικού που συνεχούς κατανομής με τον τελεστή ανάδελτα, αποδεικνύεται ότι:

$\nabla ^{2}\Phi =4\pi G\rho (\mathbf {r} )$

Η παραπάνω εξίσωση είναι μία εξίσωση Πουασόν, η επίλυση της οποίας εξαρτάται από τη μορφή της συνάρτησης πυκνότητας ρ και τις αρχικές/συνοριακές συνθήκες του προβλήματος. Οι πεδιακές εξισώσεις του Αϊνστάιν αποτελούν γενίκευση της εξίσωσης αυτής.

Χρησιμότητα του βαρυτικού δυναμικού

Η χρησιμότητα του βαρυτικού δυναμικού έχει να κάνει με το γεγονός ότι είναι βαθμωτή ποσότητα. Οι διανυσματικές ποσότητες όπως είναι η ένταση του βαρυτικού πεδίου είναι πιο πολύπλοκες, καθώς οι πράξεις μεταξύ διανυσματικών ποσοτήτων απαιτεί προσεκτική μεταχείριση των συνιστωσών τους.

Επίσης, σε ένα πρόβλημα το οποίο δεν εμφανίζει ικανοποιητική συμμετρία ώστε να επιχειρηθεί να επιλυθεί αναλυτικά με διανυσματικές μεθόδους. Από υπολογιστικής σκοπιάς, ο χειρισμός του βαρυτικού δυναμικού είναι σε πολλές περιπτώσεις προσφιλέστερος.

Σχέση με τη δυναμική ενέργεια

Το βαρυτικό δυναμικό δεν ταυτίζεται με τη βαρυτική δυναμική ενέργεια. Το βαρυτικό δυναμικό ορίζεται ως μείον το έργο ανά μονάδα μάζας που εκτελεί η βαρυτική δύναμη από ένα σημείο αναφοράς σε μια απόσταση r από την αρχή των αξόνων. Αντίθετα, η βαρυτική δυναμική ενέργεια, V, ορίζεται ως

$V(r)=-\int _{\mathbf {r} _{0}}^{\mathbf {r} }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r}$

Επειδή όμως ισχύει ότι F=mg, η σχέση που συνδέει το βαρυτικό δυναμικό με τη βαρυτική δυναμική ενέργεια είναι:

$V(r)=m\Phi (r)\ \ \$

Γνωρίζοντας το βαρυτικό δυναμικό που δημιουργεί μία συγκεκριμένη κατανομή μάζας στο χώρο, είναι δυνατόν να υπολογίσουμε και την αντίστοιχη δυναμική ενέργεια ενός σώματος μάζας m που τοποθετείται σε κάποιο σημείο του χώρου μέσω της προηγούμενης σχέσης.

Η Κλασική εικόνα πεδίων

Από νωρίς η ιδέα της δράσης μίας αόρατης δύναμης εξ αποστάσεως προβλημάτιζε τους φυσικούς, με αποτέλεσμα να αναπτυχθεί η παραπάνω εικόνα των πεδίων - όπως ακριβώς και στον ηλεκτρομαγνητισμό. Εν γένει, η εικόνα των πεδίων θεωρείται γενικότερη και στην περίπτωση της βαρύτητας αποτέλεσε τη βάση για την ανάπτυξη της Γενικής Σχετικότητας από τον Αϊνστάιν. Η βασική εικόνα των πεδίων στην περίπτωση της κλασικής βαρύτητας, μπορεί να συνοψισθεί στις εξής δύο προτάσεις:

• Μια οποιαδήποτε κατανομή μάζας παράγει βαρυτικό δυναμικό σύμφωνα με την εξίσωση ∇²Φ=4πGρ
• Το βαρυτικό πεδίο προκαλεί επιτάχυνση a=-∇Φ βάσει του 2ου νόμου του Νεύτωνα

Βαρύτητα και νόμος του Γκάους

Ανάλογα με τον ηλεκτρομαγνητισμό, μπορεί κανείς να εφαρμόσει τον νόμο του Γκάους για το βαρυτικό πεδίο που δημιουργεί μία δεδομένη κατανομή μάζας. Η εξίσωση στην οποία καταλήγει κανείς είναι η παρακάτω:

$\oint _{S}\mathbf {g} \cdot d\mathbf {S} =-4\pi GM_{\textrm {enc}}$

Το σύμβολο M_enc αναπαριστά τη συνολική μάζα που περικλύει η επιφάνεια Γκάους, S, που επιλέγεται κάθε φορά. Η χρήση της παραπάνω εξίσωσης για τον υπολογισμό της έντασης του βαρυτικού πεδίου ενδείκνυται μόνο όταν ένα πρόβλημα έχει επαρκή συμμετρία (π.χ. σφαιρική, κυλινδρική ή επίπεδη). Ειδάλλως, η χρήση εργαλείων όπως το βαρυτικό δυναμικό είναι προτιμότερη.

Βιβλιογραφία

• Øyvind Grøn, Sigbjørn Hervik (2007). Einstein's General Theory Of Relativity: With Modern Applications In Cosmology. Springer publications, USA.

Δείτε επίσης

• Βαρύτητα
• Κλασική μηχανική
• Νόμοι κίνησης του Νεύτωνα
• Νόμος της παγκόσμιας έλξης