Επίπεδη καµπύλη

Στα μαθηματικά, μια επίπεδη καμπύλη είναι μια καμπύλη σε ένα επίπεδο που μπορεί να είναι ένα ευκλείδειο χώρο, ένα συγγενές επίπεδο ή ένα προβολικό επίπεδο. Οι πιο συχνά μελετώμενες περιπτώσεις είναι οι λείες επίπεδες καμπύλες (συμπεριλαμβανομένων των τμηματικά λείων επίπεδων καμπυλών) και οι αλγεβρικές επίπεδες καμπύλες. Οι επίπεδες καμπύλες περιλαμβάνουν επίσης τις καμπύλες Ζορντάν (καμπύλες που περικλείουν μια περιοχή του επιπέδου αλλά δεν χρειάζεται να είναι λείες) και τις γραφικές παραστάσεις συνεχών συναρτήσεων.

Συμβολική αναπαράσταση

Μια επίπεδη καμπύλη μπορεί συχνά να αναπαρασταθεί σε καρτεσιανές συντεταγμένες με μια άρρητη εξίσωση της μορφής $f(x,y)=0$ για κάποια συγκεκριμένη συνάρτηση f. Εάν αυτή η εξίσωση μπορεί να λυθεί ρητά για το y ή το x - δηλαδή να ξαναγραφεί ως $y=g(x)$ ή $x=h(y)$ για συγκεκριμένη συνάρτηση g ή h - τότε αυτό παρέχει μια εναλλακτική, ρητή, μορφή της αναπαράστασης. Μια επίπεδη καμπύλη μπορεί επίσης συχνά να αναπαρασταθεί σε καρτεσιανές συντεταγμένες με μια παραμετρική εξίσωση της μορφής $(x,y)=(x(t),y(t))$ για συγκεκριμένες συναρτήσεις $x(t)$ και $y(t).$

Οι επίπεδες καμπύλες μπορούν επίσης μερικές φορές να αναπαρασταθούν σε εναλλακτικά συστήματα συντεταγμένων, όπως οι πολικές συντεταγμένες που εκφράζουν τη θέση κάθε σημείου σε όρους γωνίας και απόστασης από την αρχή.

Λεία επίπεδη καμπύλη

Μια λεια επίπεδη καμπύλη είναι μια καμπύλη σε έναν πραγματικό Ευκλείδειο επίπεδο $\mathbb {R} ^{2}$ και είναι μια μονοδιάστατη λεία πολλαπλότητα. Αυτό σημαίνει ότι μια λεία επίπεδη καμπύλη είναι μια επίπεδη καμπύλη που «τοπικά μοιάζει με Ευθεία», με την έννοια ότι κοντά σε κάθε σημείο, μπορεί να απεικονιστεί σε μια γραμμή με μια λεία συνάρτηση. Ισοδύναμα, μια λεία επίπεδη καμπύλη μπορεί να δοθεί τοπικά από μια εξίσωση $f(x,y)=0,$ όπου $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ είναι μια λεία συνάρτηση, και οι μερικές παράγωγοι $\partial f/\partial x$ και $\partial f/\partial y$ δεν είναι ποτέ και οι δύο 0 σε ένα σημείο της καμπύλης.

Καμπύλη αλγεβρικού επιπέδου

Μια αλγεβρική επίπεδη καμπύλη είναι μια καμπύλη σε ένα αφινικό ή προβολικό επίπεδο που δίνεται από μια πολυωνυμική εξίσωση $f(x,y)=0$ (ή $F(x,y,z)=0,$ όπου F είναι ένα ομογενές πολυώνυμο, στην προβολική περίπτωση).

Οι αλγεβρικές καμπύλες έχουν μελετηθεί εκτενώς από τον 18ο αιώνα.

Κάθε αλγεβρική επίπεδη καμπύλη έχει έναν βαθμό, τον βαθμό της εξίσωσης ορισμού, ο οποίος είναι ίσος, στην περίπτωση ενός αλγεβρικά κλειστού σώματος, με τον αριθμό των τομών της καμπύλης με μια ευθεία σε γενική θέση. Παραδείγματος χάριν, ο κύκλος που δίνεται από την εξίσωση $x^{2}+y^{2}=1$ έχει βαθμό 2.

Οι μη-ιδιάζουσες επίπεδες αλγεβρικές καμπύλες βαθμού 2 ονομάζονται κωνικές τομές και η προβολική τους ολοκλήρωση είναι όλες ισομορφικές με την προβολική ολοκλήρωση του κύκλου $x^{2}+y^{2}=1$ (δηλαδή η προβολική καμπύλη της εξίσωσης $x^{2}+y^{2}-z^{2}=0$). Οι επίπεδες καμπύλες 3ου βαθμού ονομάζονται κυβικές επίπεδες καμπύλες και, αν είναι μη-ιδιάζουσες, ελλειπτικές καμπύλες. Αυτές του βαθμού 4 ονομάζονται τεταρτογενείς επίπεδες καμπύλες.

Παραδείγματα

Πολυάριθμα παραδείγματα επίπεδων καμπυλών παρουσιάζονται στην Συλλογή καμπυλών και απαριθμούνται στη Λίστα καμπυλών. Οι αλγεβρικές καμπύλες βαθμού 1 ή 2 παρουσιάζονται εδώ (μια αλγεβρική καμπύλη βαθμού μικρότερου από 3 περιέχεται πάντα σε ένα επίπεδο):

Όνομα	Άρρητη συνάρτηση	Παραμετρικές εξισώσεις	Ως Συνάρτηση	Διάγραμμα
Ευθεία	$ax+by=c$	$(x,y)=(x_{0}+\alpha t,y_{0}+\beta t)$	$y=mx+c$
Κύκλος	$x^{2}+y^{2}=r^{2}$	$(x,y)=(r\cos t,r\sin t)$
Παραβολή	$y-x^{2}=0$	$(x,y)=(t,t^{2})$	$y=x^{2}$
Έλλειψη	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	$(x,y)=(a\cos t,b\sin t)$
Υπερβολή	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	$(x,y)=(a\cosh t,b\sinh t)$

Δημοσιεύσεις

• Meserve, Bruce E. (1983), Fundamental Concepts of Geometry, Dover Publications, ISBN 978-0-486-63415-9 
• Miller, Charles D.· Lial, Margaret L.· Schneider, David I. (1990). Fundamentals of College Algebra (3rd έκδοση). Scott Foresman/Little. σελ. 381. ISBN 978-0-673-38638-0. 
• Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd έκδοση), Reading: Addison-Wesley 

• Olivier Faugeras and Q.T. Luong (2001). The Geometry of Multiple Images. MIT Press. ISBN 978-0-262-06220-6. 

• Richard I. Hartley (1992). «Estimation of relative camera positions for uncalibrated cameras». https://link.springer.com/chapter/10.1007/3-540-55426-2_62. 

• Richard Hartley and Andrew Zisserman (2003). Multiple View Geometry in Computer Vision. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54051-3. 

• Richard I. Hartley (1997). «In Defense of the Eight-Point Algorithm». IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence 19 (6): 580–593. doi:10.1109/34.601246. 
• Axler, Sheldon (2015). Linear Algebra Done Right. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. doi:10.1007/978-3-319-11080-6. ISBN 978-3-319-11079-0. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 27 Μαΐου 2022. Ανακτήθηκε στις 17 Απριλίου 2022. 
• Berlinski, David (2011). A Tour of the Calculus. Knopf Doubleday Publishing Group. ISBN 9780307789730. 
• Brannan, David A.· Esplen, Matthew F.· Gray, Jeremy J. (1998). Geometry. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-59787-6. 
• Burton, David M. (2011). The History of Mathematics/An Introduction (7th έκδοση). New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-338315-6. 

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Ευκλείδειος χώρος
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Ομογενές πολυώνυμο
• Παραμετρικές εξισώσεις
• Παραβολή (γεωμετρία)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Πολικό σύστημα συντεταγμένων
• Άλγεβρα Μπουλ
• Βαθμός πολυωνύμου
• Επαναλαμβανόμενη συνάρτηση
• Χώρος Γραμμών και Χώρος Στηλών
• Πραγματικός αριθμός
• Μηδενοδύναμο στοιχείο
• Μονοδύναμο στοιχείο
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Euclid’s elements of geometry - The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885) Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Όστιν
• A History of Greek Mathematics, Τόμος 1
• A History of Greek Mathematics: Τόμος 2
• Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
• Plane Algebraic Curves
• Singular Points of Plane Curves.
• Mechanisms for the Generation of Plane Curves..
• A Catalog of Special Plane Curves.
• A Book of Curves.
• Handbook and Atlas of Curves....
• Representations of Nilpotent Lie Groups and Their Applications: Volume 1 .. ...
• Unipotent and Nilpotent Classes in Simple Algebraic Groups and Lie Algebras..

Παραπομπές

• Coolidge, J. L. (April 28, 2004), A Treatise on Algebraic Plane Curves, Dover Publications, ISBN 0-486-49576-0 .
• Yates, R. C. (1952), A handbook on curves and their properties, J.W. Edwards .
• Lawrence, J. Dennis (1972), A catalog of special plane curves, Dover, ISBN 0-486-60288-5, https://archive.org/details/catalogofspecial00lawr .