Θεώρημα του Πασκάλ

Ευθεία Πασκάλ GHK του αυτοδιασταυρούμενου εξαγώνου ABCDEF εγγεγραμμένου σε έλλειψη. Οι απέναντι πλευρές του εξαγώνου έχουν το ίδιο χρώμα.

Αυτοδιασταυρούμενο εξάγωνο ABCDEF, εγγεγραμμένο σε κύκλο. Οι πλευρές του επεκτείνονται έτσι ώστε ζεύγη αντίθετων πλευρών να τέμνονται στη ευθεία του Πασκάλ. Κάθε ζεύγος εκτεταμένων αντίθετων πλευρών έχει το δικό του χρώμα: ένα κόκκινο, ένα κίτρινο, ένα μπλε. Η ευθεία του Πασκάλ απεικονίζεται με λευκό χρώμα.

Στην προβολική γεωμετρία, το θεώρημα του Πασκάλ (επίσης γνωστό ως θεώρημα hexagrammum mysticum, λατινικά για το μυστικιστικό εξάγραμμο) δηλώνει ότι αν έξι αυθαίρετα σημεία επιλεγούν σε μια κωνική (η οποία μπορεί να είναι έλλειψη, παραβολή ή υπερβολή σε ένα κατάλληλο αφινικό επίπεδο) και ενωθούν με ευθύγραμμα τμήματα με οποιαδήποτε σειρά για να σχηματίσουν ένα εξάγωνο, τότε τα τρία ζεύγη αντίθετων πλευρών του εξαγώνου (που επεκτείνονται αν είναι απαραίτητο) συναντώνται σε τρία σημεία που βρίσκονται σε μια ευθεία γραμμή, η οποία ονομάζεται ευθεία Πασκάλ του εξαγώνου. Πήρε το όνομά της από τον Μπλεζ Πασκάλ.

Το θεώρημα ισχύει επίσης στο ευκλείδειο επίπεδο, αλλά η δήλωση πρέπει να προσαρμοστεί για να αντιμετωπιστούν οι ειδικές περιπτώσεις όπου οι απέναντι πλευρές είναι παράλληλες.

Το θεώρημα αυτό αποτελεί γενίκευση του θεωρήματος εξαγώνου του Πάππου, το οποίο είναι η ειδική περίπτωση εκφυλισμένης κωνικής δύο ευθειών με τρία σημεία σε κάθε ευθεία.

Ευκλείδειες παραλλαγές

Το πιο φυσικό περιβάλλον για το θεώρημα του Πασκάλ είναι το προβολικό επίπεδο, καθώς δύο οποιεσδήποτε ευθείες συναντώνται και δεν χρειάζεται να γίνουν εξαιρέσεις για τις παράλληλες ευθείες. Ωστόσο, το θεώρημα παραμένει έγκυρο στο ευκλείδειο επίπεδο, με τη σωστή ερμηνεία του τι συμβαίνει όταν κάποιες απέναντι πλευρές του εξαγώνου είναι παράλληλες.

Αν ακριβώς ένα ζεύγος αντίθετων πλευρών του εξαγώνου είναι παράλληλες, τότε το συμπέρασμα του θεωρήματος είναι ότι η «ευθεία Πασκάλ» που προσδιορίζεται από τα δύο σημεία τομής είναι παράλληλη προς τις παράλληλες πλευρές του εξαγώνου. Αν δύο ζεύγη αντίθετων πλευρών είναι παράλληλα, τότε και τα τρία ζεύγη αντίθετων πλευρών σχηματίζουν ζεύγη παράλληλων ευθειών και δεν υπάρχει ευθεία Πασκάλ στο ευκλείδειο επίπεδο (στην περίπτωση αυτή, η ευθεία στο άπειρο του εκτεταμένου ευκλείδειου επιπέδου είναι η ευθεία Πασκάλ του εξαγώνου).

Σχετικά αποτελέσματα

Το θεώρημα του Πασκάλ είναι το πολικό αντίστροφο και το προβολικό δυϊκό του θεωρήματος του Μπιανσόν. Διατυπώθηκε από τον Μπλεζ Πασκάλ σε ένα σημείωμα που γράφτηκε το 1639 όταν ήταν 16 ετών και δημοσιεύτηκε τον επόμενο χρόνο ως πλατύφυλλο με τίτλο « Δοκίμιο για τις κόνικες». Από B. P."

Το θεώρημα του Πασκάλ είναι μια ειδική περίπτωση του θεωρήματος Κέιλι-Μπάχαρακ.

Μια εκφυλισμένη περίπτωση του θεωρήματος του Πασκάλ (τέσσερα σημεία) είναι ενδιαφέρουσα, Δεδομένων των σημείων ABCD σε μια κωνική Γ, η τομή των εναλλασσόμενων πλευρών, AB ∩ CD, BC ∩ DA, μαζί με την τομή των εφαπτόμενων στις απέναντι κορυφές (A, C) και (B, D) είναι συγγραμμικές σε τέσσερα σημεία, οι εφαπτόμενες είναι εκφυλισμένες «πλευρές», που λαμβάνονται σε δύο πιθανές θέσεις στο «εξάγωνο» και η αντίστοιχη ευθεία Πασκάλ μοιράζεται κάθε εκφυλισμένη τομή. Αυτό μπορεί να αποδειχθεί ανεξάρτητα χρησιμοποιώντας μια ιδιότητα του πόλου-πολικού. Αν η κωνική είναι κύκλος, τότε μια άλλη εκφυλισμένη περίπτωση λέει ότι για ένα τρίγωνο, τα τρία σημεία που εμφανίζονται ως τομή μιας πλευρικής γραμμής με την αντίστοιχη πλευρική γραμμή του τριγώνου Γεργκόν, είναι συγγραμμικά.

Έξι είναι ο ελάχιστος αριθμός σημείων μιας κωνικής για τα οποία μπορούν να γίνουν ειδικές δηλώσεις, καθώς πέντε σημεία καθορίζουν μια κωνική.

Το αντίστροφο είναι το θεώρημα Μπράικενριτζ-Μακλάουριν, που πήρε το όνομά του από τους Βρετανούς μαθηματικούς του 18ου αιώνα Γουίλιαμ Μπράικενριτζ και Κόλιν Μακλάουριν ((Mills 1984)), το οποίο δηλώνει ότι αν τα τρία σημεία τομής των τριών ζευγών ευθειών που διέρχονται από τις αντίθετες πλευρές ενός εξαγώνου βρίσκονται πάνω σε μια ευθεία, τότε οι έξι κορυφές του εξαγώνου βρίσκονται πάνω σε μια κωνική- η κωνική μπορεί να είναι εκφυλισμένη, όπως στο θεώρημα του Πάππου. Το θεώρημα Μπράικενριτζ-Μακλάουριν μπορεί να εφαρμοστεί στην κατασκευή Μπράικενριτζ-Μακλάουριν, η οποία είναι μια συνθετική κατασκευή της κωνικής που ορίζεται από πέντε σημεία, μεταβάλλοντας το έκτο σημείο.

Το θεώρημα γενικεύτηκε από τον Ογκούστ Φερντινάν Μόμπιους το 1847, ως εξής: ας υποθέσουμε ότι ένα πολύγωνο με 4n + 2 πλευρές εγγράφεται σε μια κωνική τομή και αντίθετα ζεύγη πλευρών επεκτείνονται μέχρι να συναντηθούν σε 2n + 1 σημεία. Τότε αν 2n από αυτά τα σημεία βρίσκονται πάνω σε μια κοινή ευθεία, το τελευταίο σημείο θα βρίσκεται επίσης πάνω σε αυτή την ευθεία.

Hexagrammum Mysticum

Αν δοθούν έξι μη διατεταγμένα σημεία σε μια κωνική τομή, μπορούν να συνδεθούν σε ένα εξάγωνο με 60 διαφορετικούς τρόπους, με αποτέλεσμα 60 διαφορετικές περιπτώσεις του θεωρήματος του Πασκάλ και 60 διαφορετικές ευθείες Πασκάλ. Αυτή η διαμόρφωση των 60 ευθειών ονομάζεται Hexagrammum Mysticum .

Όπως απέδειξε ο Τόμας Κέρκμαν το 1849, αυτές οι 60 ευθείες μπορούν να συσχετιστούν με 60 σημεία με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε σημείο να βρίσκεται σε τρεις ευθείες και κάθε ευθεία να περιέχει τρία σημεία. Τα 60 σημεία που σχηματίζονται με αυτόν τον τρόπο είναι σήμερα γνωστά ως σημεία Κίρκμαν. Οι ευθείες Πασκάλ περνούν επίσης, τρεις κάθε φορά, μέσα από 20 σημεία Στάινερ. Υπάρχουν 20 ευθείες Κέιλι που αποτελούνται από ένα σημείο Στάινερ και τρία σημεία Κέρκμαν. Τα σημεία Στάινερ βρίσκονται επίσης, τέσσερα κάθε φορά, σε 15 ευθείες Πλάκερ. Επιπλέον, οι 20 γραμμές Κέιλι περνούν τέσσερις κάθε φορά από 15 σημεία γνωστά ως σημεία Σαλμόν.

Αποδείξεις

Το αρχικό σημείωμα του Πασκάλ δεν έχει καμία απόδειξη, αλλά υπάρχουν διάφορες σύγχρονες αποδείξεις του θεωρήματος.

Αρκεί να αποδείξουμε το θεώρημα όταν η κωνική είναι κύκλος, επειδή κάθε (μη εκφυλισμένη) κωνική μπορεί να αναχθεί σε κύκλο με έναν προβολικό μετασχηματισμό. Αυτό έγινε αντιληπτό από τον Πασκάλ, του οποίου το πρώτο λήμμα διατυπώνει το θεώρημα για κύκλο. Το δεύτερο λήμμα του δηλώνει ότι ό,τι ισχύει σε ένα επίπεδο παραμένει αληθές κατά την προβολή σε ένα άλλο επίπεδο. Οι εκφυλισμένες κωνικές ακολουθούνται από τη συνέχεια (το θεώρημα ισχύει για τις μη εκφυλισμένες κωνικές και συνεπώς ισχύει στο όριο της εκφυλισμένης κωνικής).

Μια σύντομη στοιχειώδης απόδειξη του θεωρήματος του Πασκάλ στην περίπτωση του κύκλου βρέθηκε από τον βαν Γιζέρεν (van Yzeren (1993)), με βάση την απόδειξη στο (Γκουγκενχάιμερ (Guggenheimer 1967)). Η απόδειξη αυτή αποδεικνύει το θεώρημα για κύκλο και στη συνέχεια το γενικεύει σε κωνικές.

Μια σύντομη στοιχειώδης υπολογιστική απόδειξη στην περίπτωση του πραγματικού προβολικού επιπέδου βρέθηκε από τον Στεφανόβικ (Stefanovic (2010).

Μπορούμε να συμπεράνουμε την απόδειξη και από την ύπαρξη ισογώνιας συζυγίας. Αν πρόκειται να δείξουμε ότι X = AB ∩ DE, Y = BC ∩ EF, Z = CD ∩ FA είναι συγγραμμικά για το συγκυκλικό ABCDEF, τότε παρατηρούμε ότι τα △EYB και △CYF είναι παρόμοια, και ότι τα X και Z θα αντιστοιχούν στην ισογώνια συζυγία αν επικαλύψουμε τα όμοια τρίγωνα. Αυτό σημαίνει ότι ∠CYX = ∠CYZ, άρα καθιστά το XYZ συγγραμμικό.

Μια σύντομη απόδειξη μπορεί να κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας τη διατήρηση διπλού λόγου. Προβάλλοντας την τετράδα ABCE από την D στην ευθεία AB, λαμβάνουμε την τετράδα ABPX, και προβάλλοντας την τετράδα ABCE από την F στην ευθεία BC, λαμβάνουμε την τετράδα QBCY. Αυτό λοιπόν σημαίνει ότι R(AB; PX) = R(QB; CY), όπου ένα από τα σημεία των δύο τετράδων επικαλύπτεται, άρα σημαίνει ότι οι άλλες ευθείες που συνδέουν τα άλλα τρία ζεύγη πρέπει να συμπίπτουν για να διατηρηθεί ο διπλός λόγος. Επομένως, XYZ είναι συγγραμμικές.

Μια άλλη απόδειξη για το θεώρημα του Πασκάλ για έναν κύκλο χρησιμοποιεί επανειλημμένα το θεώρημα του Μενέλαου.

Ο Νταντελέν, ο γεωμέτρης που ανακάλυψε τις περίφημες σφαίρες Νταντελέν, κατέληξε σε μια όμορφη απόδειξη χρησιμοποιώντας την τεχνική «τρισδιάστατης ανύψωσης» που είναι ανάλογη με την τρισδιάστατη απόδειξη του θεωρήματος του Ντεσάργκ. Η απόδειξη κάνει χρήση της ιδιότητας ότι για κάθε κωνική τομή μπορούμε να βρούμε ένα μονόφυλλο υπερβολοειδές που διέρχεται από την κωνική.

Υπάρχει επίσης μια απλή απόδειξη για το θεώρημα του Πασκάλ για έναν κύκλο χρησιμοποιώντας το νόμο των ημιτόνων και της ομοιότητας.

Απόδειξη με χρήση κυβικών καμπυλών

Οι τομές των εκτεταμένων αντίθετων πλευρών του απλού κυκλικού εξαγώνου ABCDEF (δεξιά) βρίσκονται στη ευθεία Πασκάλ MNP (αριστερά).

Το θεώρημα του Πασκάλ έχει μια σύντομη απόδειξη χρησιμοποιώντας το Θεώρημα Κέιλι-Μπάχαραχ ότι δεδομένου οποιουδήποτε 8 σημείων σε γενική θέση, υπάρχει ένα μοναδικό ένατο σημείο τέτοιο ώστε όλα τα κυβικά που διέρχονται από τα 8 πρώτα να διέρχονται επίσης από το ένατο σημείο. Συγκεκριμένα, αν 2 γενικοί κύβοι τέμνονται σε 8 σημεία, τότε κάθε άλλος κύβος που διέρχεται από τα ίδια 8 σημεία συναντά το ένατο σημείο τομής των δύο πρώτων κύβων. Το θεώρημα του Πασκάλ προκύπτει αν θεωρήσουμε τα 8 σημεία ως τα 6 σημεία του εξαγώνου και δύο από τα σημεία (ας πούμε, M και N στο σχήμα) στην υποτιθέμενη ευθεία Πασκάλ, και το ένατο σημείο ως το τρίτο σημείο (P στο σχήμα). Οι δύο πρώτοι κύβοι είναι δύο σύνολα 3 ευθειών που διέρχονται από τα 6 σημεία του εξαγώνου (για παράδειγμα, το σύνολο AB, CD, EF, και το σύνολο BC, DE, FA), και ο τρίτος κύβος είναι η ένωση της κωνικής και της ευθείας MN. Εδώ η «ένατη τομή» P δεν μπορεί να βρίσκεται πάνω στην κωνική λόγω γενικότητας, και επομένως βρίσκεται πάνω στην MN.

Το Θεώρημα Κέιλι-Μπάχαραχ χρησιμοποιείται επίσης για την απόδειξη ότι η λειτουργία ομάδας σε κυβικές ελλειπτικές καμπύλες είναι προσεταιριστική . Η ίδια πράξη ομάδας μπορεί να εφαρμοστεί σε μια κωνική αν επιλέξουμε ένα σημείο E στην κωνική και μια ευθεία MP στο επίπεδο. Το άθροισμα των A και B προκύπτει αν βρούμε πρώτα το σημείο τομής της ευθείας AB με την MP, το οποίο είναι το M. Στη συνέχεια τα A και B αθροίζονται στο δεύτερο σημείο τομής της κωνικής με την ευθεία EM, το οποίο είναι το D. Έτσι αν Q είναι το δεύτερο σημείο τομής της κωνικής με την ευθεία EN, τότε

$(A+B)+C=D+C=Q=A+F=A+(B+C)$

Συνεπώς, η λειτουργία της ομάδας είναι προσεταιριστική. Από την άλλη πλευρά, το θεώρημα του Πασκάλ προκύπτει από τον παραπάνω τύπο προσεταιριστικότητας, και επομένως από τη προσεταιριστικότητα της πράξης ομάδας των ελλειπτικών καμπυλών μέσω της συνέχειας.

Απόδειξη χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Μπεζούτ

Έστω ότι f είναι το κυβικό πολυώνυμο που μηδενίζεται στις τρεις ευθείες που διέρχονται από τις AB, CD, EF και g είναι το κυβικό που μηδενίζεται στις άλλες τρεις ευθείες BC, DE, FA. Επιλέγουμε ένα γενικό σημείο P στην κωνική και επιλέγουμε λ έτσι ώστε η κυβική h = f + λg μηδενίζεται στο P. Τότε h = 0 είναι μια κυβική που έχει 7 κοινά σημεία A, B, C, D, E, F, P με την κωνική. Αλλά σύμφωνα με το θεώρημα του Μπεζούτ μια κυβική και μια κωνική έχουν το πολύ 3 × 2 = 6 σημεία κοινά, εκτός αν έχουν κοινή συνιστώσα. Έτσι η κυβική h = 0 έχει μια κοινή συνιστώσα με την κωνική που πρέπει να είναι η ίδια η κωνική, οπότε h = 0 είναι η ένωση της κωνικής και μιας ευθείας. Τώρα είναι εύκολο να ελέγξουμε ότι αυτή η γραμμή είναι η γραμμή Πασκάλ.

Μια ιδιότητα του εξαγώνου του Πασκάλ

Εκφυλισμοί του θεωρήματος Πασκάλ

Έχοντας και πάλι δεδομένο το εξάγωνο σε μια κωνική του θεωρήματος του Πασκάλ με τον παραπάνω συμβολισμό για τα σημεία (στο πρώτο σχήμα), έχουμε.

${\frac {\overline {GB}}{\overline {GA}}}\times {\frac {\overline {HA}}{\overline {HF}}}\times {\frac {\overline {KF}}{\overline {KE}}}\times {\frac {\overline {GE}}{\overline {GD}}}\times {\frac {\overline {HD}}{\overline {HC}}}\times {\frac {\overline {KC}}{\overline {KB}}}=1.$

Εκφυλισμοί του θεωρήματος Πασκάλ

Υπάρχουν εκφυλισμένες περιπτώσεις 5, 4 και 3 σημείων του θεωρήματος του Πασκάλ. Σε μια εκφυλισμένη περίπτωση, δύο προηγουμένως συνδεδεμένα σημεία του σχήματος θα συμπέσουν τυπικά και η συνδετική ευθεία θα γίνει η εφαπτομένη στο σημείο που συμπίπτει. Δείτε τις εκφυλισμένες περιπτώσεις που δίνονται στο προστιθέμενο σχήμα και στον εξωτερικό σύνδεσμο για τις γεωμετρίες κύκλου. Αν επιλέξει κανείς κατάλληλες ευθείες των σχημάτων Πασκάλ ως ευθείες στο άπειρο παίρνει πολλά ενδιαφέροντα σχήματα σε παραβολές και σε υπερβολές.

Δημοσιεύσεις

• Dembowski, Peter (1968), Finite geometries, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 44, Berlin: Springer, ISBN 3-540-61786-8, https://archive.org/details/finitegeometries0000demb 
• Euclid (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements, Translated from the Text of Heiberg, with Introduction and Commentary. 1 (Books I and II). Μτφρ. Heath, Thomas L. (Reprint of 2nd (1925) έκδοση). Dover.  On-line text at archive.org
• Bourke, Paul (Ιουλίου 1997). «Calculating the area and centroid of a polygon». 
• Simon Plouffe (1998). «The Computation of Certain Numbers Using a Ruler and Compass». Journal of Integer Sequences 1: 13. ISSN 1530-7638. Bibcode: 1998JIntS...1...13P. http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/compass.html. 
• Pappi (1660). Mathematicae collectiones (στα Λατινικά). ex typographia HH. de Duccijs. 
• Brannan, David A.; Esplen, Matthew F.; Gray, Jeremy J. (1998), Geometry, Cambridge University Press, ISBN 0-521-59787-0 
• Coxeter, H. S. M. (1969), Introduction to Geometry, New York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-50458-0 
• Boyer, Carl B. (2004), History of Analytic Geometry, Dover, ISBN 978-0-486-43832-0, https://books.google.com/books?id=2T4i5fXZbOYC 
• Oakley, C. O., Ph.D. (1944), An Outline of the Calculus, New York: Barnes & Noble 
• Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd έκδοση), Reading: Addison-Wesley 

Δείτε επίσης

• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Στοιχεία του Ευκλείδη
• Ευκλείδειος χώρος
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Μιγαδικός αριθμός
• τοπολογικος ισομορφισμός
• Παραβολή (γεωμετρία)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Θεώρημα εξαγώνου του Πάππου
• Αμπού αλ Ουάφα
• Τετραγωνισμός παραβολής
• Διαβήτης (όργανο)
• Διπλασιασμός του κύβου
• Προβολική γεωμετρία
• Υπερβολή (γεωμετρία)
• Μη αντιμεταθετική αλγεβρική γεωμετρία
• Κωνική τομή
• Παραλληλόγραμμο
• Θεώρημα Κέιλι-Μπάχαραχ

Παραπομπές

• Interactive demo of Pascal's theorem (Java required) at cut-the-knot
• 60 Pascal Lines (Java required) at cut-the-knot
• The Complete Pascal Figure Graphically Presented by J. Chris Fisher and Norma Fuller (University of Regina)
• Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes (PDF; 891 kB), Uni Darmstadt, S. 29–35.
• How to Project Spherical Conics into the Plane by Yoichi Maeda (Tokai University)

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Euclid’s elements of geometry - The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885) Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Όστιν
• Τα οπτικά του Ευκλείδη Διδακτορική Διατριβή - ΕΑΔΔ
• “Αρχιμήδους Βιβλίο Λημμάτων” – Πραγματεία του Νικολάου Λ. Κεχρή Ανοιχτή βιβλιοθήκη
• Virtual book about Archimedes Chris Rorres - Drexel University
• A History of Greek Mathematics, Τόμος 1
• A History of Greek Mathematics: Τόμος 2
• Advanced Euclidean Geometry
• Methods for Euclidean Geometry.
• Mathematics and Its History .......Pascal's theorem..page 95
• Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics... Pascal's theorem... page 101
• Mechanical Theorem Proving in Geometries: Basic Principles .. Pascal's theorem 127
• Lectures on Analytic and Projective Geometry...Pascal's theorem..page 131 .
• Finding Ellipses: What Blaschke Products, Poncelet’s Theorem, and the....Pascal's theorem. page 57...
• Conics ...Pascal's theorem....page 203
• Unipotent and Nilpotent Classes in Simple Algebraic Groups and Lie Algebras..

Πηγές

• Biggs, N. L. (1981), «T. P. Kirkman, mathematician», Bulletin of the London Mathematical Society 13 (2): 97–120, doi:10.1112/blms/13.2.97 

• Conway, John; Ryba, Alex (2012), «The Pascal Mysticum Demystified», The Mathematical Intelligencer 34 (3): 4–8, doi:10.1007/s00283-012-9301-4 
• Coxeter, H. S. M.; Greitzer, Samuel L. (1967), Geometry Revisited, Washington, DC: Mathematical Association of America|, σελ. 76 
• Guggenheimer, Heinrich W. (1967), Plane geometry and its groups, San Francisco, Calif.: Holden–Day Inc. 
• Mills, Stella (March 1984), «Note on the Braikenridge–Maclaurin Theorem», Notes and Records of the Royal Society of London (The Royal Society) 38 (2): 235–240, doi:10.1098/rsnr.1984.0014 
• Modenov, P.S.; Parkhomenko, A.S. (2001) [1994], "Pascal theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Pascal, Blaise (1640). «Essay pour les coniques» (facsimile). Niedersächsiche Landesbibliothek, Gottfried Wilhelm Leibniz Bibliothek. Ανακτήθηκε στις 21 Ιουνίου 2013. 

• Smith, David Eugene (1959), A Source Book in Mathematics, New York: Dover, ISBN 0-486-64690-4, https://books.google.com/books?id=awAfO7Ff_z0C&q=smith+source+book 
• Stefanovic, Nedeljko (2010), A very simple proof of Pascal's hexagon theorem and some applications, Indian Academy of Sciences, http://www.ias.ac.in/mathsci/vol120/nov2010/pm-10-00024.PDF 
• Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, London: Penguin Books, ISBN 0-14-011813-6, https://archive.org/details/penguindictionar0000well 
• Young, John Wesley (1930), Projective Geometry, The Carus Mathematical Monographs, Number Four, The Mathematical Association of America 
• van Yzeren, Jan (1993), «A simple proof of Pascal's hexagon theorem», The American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 100 (10): 930–931, doi:10.2307/2324214, ISSN 0002-9890