Πρόβλημα του Ναπολέοντα

Το πρόβλημα του Ναπολέοντα είναι πρόβλημα κατασκευής με κανόνα και διαβήτη. Δίνεται ένας κύκλος και το κέντρο του. Η πρόκληση είναι να διαιρεθεί ο κύκλος σε τέσσερα ίσα τόξα χρησιμοποιώντας μόνο ένα διαβήτη. Ήταν γνωστό ότι ο Ναπολέων ήταν ερασιτέχνης μαθηματικός, αλλά δεν είναι γνωστό αν δημιούργησε ή έλυσε το πρόβλημα. Ο φίλος του Ναπολέοντα, ο Ιταλός μαθηματικός Λορέντζο Μασκερόνι, εισήγαγε τον περιορισμό στη χρήση του διαβήτη (χωρίς χάρακα) στις γεωμετρικές κατασκευές. Αλλά στην πραγματικότητα, η παραπάνω πρόκληση είναι ευκολότερη από το πραγματικό πρόβλημα του Ναπολέοντα, που συνίσταται στην εύρεση του κέντρου ενός δεδομένου κύκλου μόνο με διαβήτη. Στις επόμενες ενότητες θα περιγραφούν λύσεις σε τρία προβλήματα και αποδείξεις ότι λειτουργούν.

Το βιβλίο του Γκιόργκ Μορ «Euclides Danicus (Ο Δανός Ευκλείδης)» από το 1672 πρόλαβε την ιδέα του Μασκερόνι, αν και το βιβλίο ανακαλύφθηκε εκ νέου μόλις το 1928.

Διαίρεση κύκλου σε τέσσερα ίσα τόξα με δεδομένο το κέντρο του

Από ένα σημείο Χ του κύκλου C, σχεδιάστε ένα τόξο που διέρχεται από το Ο (το κέντρο του C) το οποίο τέμνει το C στα σημεία V και Y. Κάντε το ίδιο με επίκεντρο το Y στο Ο, τέμνοντας το C στα σημεία Χ και Ζ. Σημειώστε ότι τα ευθύγραμμα τμήματα OV, OX, OY, OZ, VX, XY, YZ έχουν το ίδιο μήκος, καθώς όλες οι αποστάσεις είναι ίσες με την ακτίνα του κύκλου C.

Τώρα σχεδιάστε ένα τόξο με κέντρο το V που διέρχεται από το Y και ένα τόξο με κέντρο το Z που διέρχεται από το X- ονομάστε το σημείο όπου αυτά τα δύο τόξα διασταυρώνονται T. Σημειώστε ότι οι αποστάσεις VY και XZ είναι ${\sqrt {3}}$ φορές την ακτίνα του κύκλου C.

Τοποθετήστε την ακτίνα του διαβήτη ίση με την απόσταση ΟΤ (${\sqrt {2}}$ επί την ακτίνα του κύκλου C) και σχεδιάστε ένα τόξο με κέντρο το Ζ που τέμνει τον κύκλο C στα σημεία U και W. Το UVWZ είναι ένα τετράγωνο και τα τόξα του C UV, VW, WZ και ZU είναι το καθένα ίσο με το ένα τέταρτο της περιφέρειας του C.

Εύρεση του κέντρου ενός δεδομένου κύκλου

Έστω (C) ο κύκλος, του οποίου πρέπει να βρεθεί το κέντρο.

Έστω A ένα σημείο στο (C).

Ένας κύκλος (C1) με κέντρο το A συναντά το (C) στα σημεία B και B'.

Δύο κύκλοι (C2) με κέντρο τα σημεία B και B', με ακτίνα AB, τέμνονται και πάλι στο σημείο C.

Ένας κύκλος (C3) με κέντρο το C και ακτίνα AC συναντά τον (C1) στα σημεία D και D'.

Δύο κύκλοι (C4) με κέντρο τα D και D' και ακτίνα AD συναντώνται στο σημείο A, και στο O, το ζητούμενο κέντρο του (C).

Σημείωση: για να λειτουργήσει αυτό, η ακτίνα του κύκλου (C1) δεν πρέπει να είναι ούτε πολύ μικρή ούτε πολύ μεγάλη. Πιο συγκεκριμένα, η ακτίνα αυτή πρέπει να είναι μεταξύ του μισού και του διπλάσιου της ακτίνας του (C): αν η ακτίνα είναι μεγαλύτερη από τη διάμετρο του (C), ο (C1) δεν θα τέμνει τον (C)- αν η ακτίνα είναι μικρότερη από τη μισή ακτίνα του (C), το σημείο C θα βρίσκεται μεταξύ Α και Ο και ο (C3) δεν θα τέμνει τον (C1).

Απόδειξη

Η ιδέα πίσω από την απόδειξη είναι να κατασκευάσετε, μόνο με διαβήτη, το μήκος b²/a όταν τα μήκη a και b είναι γνωστά, και a/2 ≤ b ≤ 2a.

Στο σχήμα στα δεξιά, σχεδιάζεται ένας κύκλος ακτίνας α με κέντρο το Ο. Σε αυτόν επιλέγεται ένα σημείο Α, από το οποίο μπορούν να προσδιοριστούν τα σημεία Β και Β' έτσι ώστε τα ΑΒ και ΑΒ' να έχουν μήκος b. Το σημείο Α' βρίσκεται απέναντι από το Α, αλλά δεν χρειάζεται να κατασκευαστεί (θα χρειαζόταν μια ευθεία)- ομοίως το σημείο Η είναι η (εικονική) τομή των ΑΑ' και ΒΒ'. Το σημείο C μπορεί να προσδιοριστεί από τα B και B', χρησιμοποιώντας κύκλους ακτίνας b.

Το τρίγωνο ΑΒΑ' έχει ορθή γωνία στο Β και το BH είναι κάθετο στο ΑΑ', οπότε :

${\frac {AH}{AB}}={\frac {AB}{AA'}}$

Ως εκ τούτου,$AH={\frac {b^{2}}{2a}}$ και AC = b²/a.

Στην παραπάνω κατασκευή του κέντρου, μια τέτοια διαμόρφωση εμφανίζεται δύο φορές :

• τα σημεία A, B και B' βρίσκονται πάνω στον κύκλο (C), ακτίνα a
  1 = r ; τα AB, AB', BC και B'C είναι ίσα με b
  1 = R, οπότε $AC={\frac {R^{2}}{r}}$;

• τα σημεία A, D και D' βρίσκονται πάνω στον κύκλο με κέντρο το C, ακτίνας $a_{2}={\frac {R^{2}}{r}}$ ; τα DA, D'A, DO και D'O είναι ίσα με b
  2 = R, οπότε $AO={\frac {R^{2}}{R^{2}/r}}=r$.

Επομένως, το Ο είναι το κέντρο του κύκλου (C).

Εύρεση του μέσου μιας δεδομένης απόστασης ή ενός ευθύγραμμου τμήματος

Κατασκευή του μέσου μιας απόστασης ή ενός τμήματος γραμμής μόνο με πυξίδα, κινούμενα σχέδια δείτε εδώ.

Έστω |AD| η απόσταση', της οποίας το κέντρο πρέπει να βρεθεί.

Δύο κύκλοι (C₁) με κέντρο το A και (C₂) με κέντρο το D και ακτίνα |AD| συναντώνται στα σημεία B και B'.

Ένας κύκλος (C₃) με κέντρο το B' και ακτίνα |B'B| συναντά τον κύκλο (C₂) στο A'.

Ένας κύκλος (C₄) με κέντρο το A' και ακτίνα |A'A| συναντά τον κύκλο (C₁) στα σημεία E και E'.

Δύο κύκλοι (C₅) με κέντρο το E και (C₆) με κέντρο το E' και ακτίνα |EA| συναντώνται στα σημεία A και O. Το O είναι το ζητούμενο κέντρο του |AD|.

• Το σχέδιο μπορεί επίσης να εφαρμοστεί σε ένα Ευθύγραμμο τμήμα AD.
• Η απόδειξη που περιγράφεται παραπάνω ισχύει και για αυτόν τον σχεδιασμό.

Σημείωση: Το σημείο Α στο σχέδιο είναι ισοδύναμο με το Α στην απόδειξη.

Επομένως, ακτίνα: (C₂) ≙ (C) και σημεία: O ≙ H, B ≙ B, D ≙ O και A' ≙ A'.

Δημοσιεύσεις

• Dembowski, Peter (1968), Finite geometries, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 44, Berlin: Springer, ISBN 3-540-61786-8, https://archive.org/details/finitegeometries0000demb 
• Euclid (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements, Translated from the Text of Heiberg, with Introduction and Commentary. 1 (Books I and II). Μτφρ. Heath, Thomas L. (Reprint of 2nd (1925) έκδοση). Dover.  On-line text at archive.org
• Bourke, Paul (Ιουλίου 1997). «Calculating the area and centroid of a polygon». 
• Coxeter, H.S.M.· Greitzer, S.L. (1967). Geometry Revisited. New Mathematical Library. 19. Washington, D.C.: en:Mathematical Association of America. σελίδες 60–65. ISBN 978-0-88385-619-2. Zbl 0166.16402. 
• Grünbaum, Branko (2012), «Is Napoleon's Theorem Really Napoleon's Theorem?», American Mathematical Monthly 119 (6): 495–501, doi:10.4169/amer.math.monthly.119.06.495,  
• Wetzel, John E. (April 1992). «Converses of Napoleon's Theorem». The American Mathematical Monthly 99 (4): 339–351. doi:10.2307/2324901. . Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2014-04-29. https://web.archive.org/web/20140429191842/http://apollonius.math.nthu.edu.tw/d1/disk5/js/geometry/napoleon/9.pdf. 
• Axler, Sheldon (2012), Algebra and Trigonometry, John Wiley & Sons, ISBN 978-0470-58579-5, https://books.google.com/books?id=B5RxDwAAQBAJ 

• Boyer, Carl B. (2004), History of Analytic Geometry, Dover, ISBN 978-0-486-43832-0, https://books.google.com/books?id=2T4i5fXZbOYC 
• Oakley, C. O., Ph.D. (1944), An Outline of the Calculus, New York: Barnes & Noble 
• Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd έκδοση), Reading: Addison-Wesley 

Δείτε επίσης

• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Στοιχεία του Ευκλείδη
• Ευκλείδειος χώρος
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Μιγαδικός αριθμός
• τοπολογικος ισομορφισμός
• Παραβολή (γεωμετρία)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Θεώρημα εξαγώνου του Πάππου
• Ορθογώνιο τρίγωνο
• Τετραγωνισμός παραβολής
• Διαβήτης (όργανο)
• Διπλασιασμός του κύβου
• Προβολική γεωμετρία
• Υπερβολή (γεωμετρία)
• Μη αντιμεταθετική αλγεβρική γεωμετρία
• Κωνική τομή
• Παραλληλόγραμμο
• Θεώρημα Ναπολέοντα

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Euclid’s elements of geometry - The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885) Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Όστιν
• Τα οπτικά του Ευκλείδη Διδακτορική Διατριβή - ΕΑΔΔ
• “Αρχιμήδους Βιβλίο Λημμάτων” – Πραγματεία του Νικολάου Λ. Κεχρή Ανοιχτή βιβλιοθήκη
• Virtual book about Archimedes Chris Rorres - Drexel University
• A History of Greek Mathematics, Τόμος 1
• A History of Greek Mathematics: Τόμος 2
• Advanced Euclidean Geometry
• Methods for Euclidean Geometry.
• Mathematics via Problems: Part 2: Geometry, Napoleon's problem, mathematics..page 25
• CRC Concise Encyclopedia of Mathematics.. Napoleon's problem, mathematics... page 1984
• Mathematical Problems: An Essay on Their Nature and Importance ..Napoleon's problem, mathematics....page85.
• Mathematical Olympiad Treasures ...Napoleon's problem, mathematics..page 54 .
• The World of Mathematics, Τόμος 1 ....Napoleon's problem, mathematics..... page 321...
• Tales of Impossibility: The 2000-Year Quest to Solve the Mathematical .....Napoleon's problem, mathematics...page 184
• Unipotent and Nilpotent Classes in Simple Algebraic Groups and Lie Algebras..

Πηγές

• Pedoe, Dan (1995), «1 Section 11: Compass geometry», Circles / A Mathematical View, Mathematical Association of America, σελ. 23–25, ISBN 978-0-88385-518-8 
• Kisacanin, Branislav (8 Μαΐου 2007). Mathematical Problems and Proofs: Combinatorics, Number Theory, and Geometry. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-306-46963-3. 
• Scriba, Christoph J.· Schreiber, Peter (22 Απριλίου 2015). 5000 Years of Geometry: Mathematics in History and Culture. Birkhäuser. ISBN 978-3-0348-0898-9.