Πόλος και πολικός

Η πολική ευθεία q σε ένα σημείο Q' ως προς έναν κύκλο ακτίνας r με κέντρο το σημείο Ο'. Το σημείο P είναι το σημείο αντιστροφής του Q'- η πολική είναι η ευθεία που διέρχεται από το P και είναι κάθετη στην ευθεία που περιέχει τα O, P και Q.

Στη γεωμετρία, πόλος και πολικός είναι αντίστοιχα ένα σημείο και μια ευθεία που έχουν μοναδική αμοιβαία σχέση σε σχέση με μια δεδομένη κωνική τομή.

Η πολική αμοιβαιότητα σε έναν δεδομένο κύκλο είναι ο μετασχηματισμός του κάθε σημείου στο επίπεδο με την πολική του ευθεία και της κάθε ευθείας στο επίπεδο με τον πόλο της.

Ιδιότητες

Ο πόλος και ο πολικός έχουν αρκετές χρήσιμες ιδιότητες:

• Αν ένα σημείο P' βρίσκεται πάνω στην ευθεία l, τότε ο πόλος L' της ευθείας l βρίσκεται πάνω στον πόλο p του σημείου P.
• Αν ένα σημείο P κινείται κατά μήκος μιας ευθείας l, το πολικό p περιστρέφεται γύρω από τον πόλο L της ευθείας l.
• Αν δύο εφαπτόμενες ευθείες μπορούν να σχεδιαστούν από έναν πόλο στην κωνική τομή, τότε η πολική της διέρχεται και από τα δύο εφαπτόμενα σημεία.
• Αν ένα σημείο βρίσκεται πάνω στην κωνική τομή, ο πόλος της είναι η εφαπτομένη που διέρχεται από το σημείο αυτό στην κωνική τομή.
• Αν ένα σημείο P βρίσκεται πάνω στη δική του πολική γραμμή, τότε το P βρίσκεται πάνω στην κωνική τομή.
• Κάθε γραμμή έχει, ως προς μια μη εκφυλισμένη κωνική τομή, ακριβώς έναν πόλο.

Ειδική περίπτωση κύκλων

Ο πόλος μιας ευθείας L σε έναν κύκλο C είναι ένα σημείο Q που είναι η αντιστροφή στο C του σημείου P στο L που είναι πιο κοντά στο κέντρο του κύκλου. Αντίστροφα, η πολική γραμμή (ή πολική) ενός σημείου Q' σε έναν κύκλο C είναι η ευθεία L τέτοια ώστε το πλησιέστερο σημείο P στο κέντρο του κύκλου να είναι η αντιστροφή του Q στο C.

Αν ένα σημείο A βρίσκεται στην πολική ευθεία q ενός άλλου σημείου Q', τότε το Q' βρίσκεται στην πολική ευθεία a του A. Γενικότερα, οι πόλοι όλων των σημείων της ευθείας q πρέπει να διέρχονται από τον πόλο της Q.

Η σχέση μεταξύ πόλων και πολικών είναι αμοιβαία. Έτσι, αν ένα σημείο Α' βρίσκεται στην πολική γραμμή q ενός σημείου Q', τότε το σημείο Q' πρέπει να βρίσκεται στην πολική γραμμή α του σημείου Α. Οι δύο πολικές ευθείες a και q δεν είναι απαραίτητο να είναι παράλληλες.

Υπάρχει μια άλλη περιγραφή της πολικής γραμμής ενός σημείου P' στην περίπτωση που αυτό βρίσκεται έξω από τον κύκλο C. Στην περίπτωση αυτή, υπάρχουν δύο ευθείες που διέρχονται από το P και εφάπτονται στον κύκλο, και η πολική του P είναι η ευθεία που ενώνει τα δύο σημεία εφαπτομένων (δεν φαίνεται εδώ). Αυτό δείχνει ότι ο πόλος και η πολική γραμμή είναι έννοιες της προβολικής γεωμετρίας του επιπέδου και γενικεύονται με οποιαδήποτε μη ιδιάζουσα κωνική στη θέση του κύκλου C.

Πολική αμοιβαιότητα

Απεικόνιση της δυϊκότητας μεταξύ σημείων και γραμμών και της διπλής έννοιας της «σύμπτωσης». Αν δύο ευθείες a και k διέρχονται από ένα σημείο Q', τότε το πολικό q του Q' ενώνει τους πόλους A και K των ευθειών a και k, αντίστοιχα.

Οι έννοιες του πόλου και της πολικής του γραμμής αναπτύχθηκαν στην προβολική γεωμετρία. Παραδείγματος χάριν, η πολική γραμμή μπορεί να θεωρηθεί ως το σύνολο των προβολικών αρμονικών συζυγών ενός δεδομένου σημείου, του πόλου, ως προς μια κωνική. Η πράξη της αντικατάστασης κάθε σημείου από το πολικό του και αντίστροφα είναι γνωστή ως πολικότητα.

Μια πολικότητα είναι μια συσχέτιση που είναι επίσης μια ενέλιξη.

Για κάποιο σημείο P και το πολικό του p, κάθε άλλο σημείο Q επί του p είναι ο πόλος της ευθείας q που διέρχεται από το P. Αυτό περιλαμβάνει μια αμοιβαία σχέση, και είναι μια σχέση στην οποία διατηρούνται οι περιπτώσεις.

Γενικές κωνικές τομές

Η γραμμή p είναι η πολική γραμμή προς το σημείο P, η l προς το L και η m προς το M.

Η p είναι η πολική ευθεία προς το σημείο P ; m είναι η πολική ευθεία προς το M

Οι έννοιες του πόλου, του πολικού και της αντιστρεπτότητας μπορούν να γενικευτούν από τους κύκλους σε άλλες κωνικές τομές, όπως είναι η έλλειψη, η υπερβολή και η παραβολή. Αυτή η γενίκευση είναι δυνατή επειδή οι κωνικές τομές προκύπτουν από την αντιστρεπτότητα ενός κύκλου σε έναν άλλο κύκλο και οι σχετικές ιδιότητες, όπως η πρόσπτωση και η διασταυρούμενη σχέση, διατηρούνται κάτω από όλους τους προβολικούς μετασχηματισμούς.

Υπολογισμός της πολικότητας ενός σημείου

Μια γενική κωνική τομή μπορεί να γραφεί ως εξίσωση δευτέρου βαθμού στις καρτεσιανές συντεταγμένες (x, y) του επιπέδου

$A_{xx}x^{2}+2A_{xy}xy+A_{yy}y^{2}+2B_{x}x+2B_{y}y+C=0$

όπου A_xx, A_xy, A_yy, B_x, B_y, και C είναι οι σταθερές που καθορίζουν την εξίσωση. Για μια τέτοια κωνική τομή, η πολική γραμμή σε ένα δεδομένο σημείο πόλου (ξ, η) ορίζεται από την εξίσωση

$Dx+Ey+F=0\,$

όπου D, E και F είναι επίσης σταθερές που εξαρτώνται από τις συντεταγμένες του πόλου (ξ, η)

${\begin{aligned}D&=A_{xx}\xi +A_{xy}\eta +B_{x}\\E&=A_{xy}\xi +A_{yy}\eta +B_{y}\\F&=B_{x}\xi +B_{y}\eta +C\end{aligned}}$

Υπολογισμός του πόλου μιας γραμμής

Ο πόλος της ευθείας $Dx+Ey+F=0$, σε σχέση με τη μη εκφυλισμένη κωνική τομή

$A_{xx}x^{2}+2A_{xy}xy+A_{yy}y^{2}+2B_{x}x+2B_{y}y+C=0$

μπορεί να υπολογιστεί σε δύο βήματα.

Πρώτον, υπολογίστε τους αριθμούς x, y και z από το

${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{xx}&A_{xy}&B_{x}\\A_{xy}&A_{yy}&B_{y}\\B_{x}&B_{y}&C\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}D\\E\\F\end{bmatrix}}$

Τώρα, ο πόλος είναι το σημείο με συντεταγμένες $\left({\frac {x}{z}},{\frac {y}{z}}\right)$

Πίνακες για τις σχέσεις πόλου-πολικού

• Σχέση πόλου-πόλου για μια έλλειψη
• Πολική-πολική σχέση για μια υπερβολή
• Πολική-πολική σχέση για μια παραβολή

κωνική τομή	εξίσωση	πολικός του σημείου $P=(x_{0},y_{0})$
κύκλος	$x^{2}+y^{2}=r^{2}$	$x_{0}x+y_{0}y=r^{2}$
έλλειψη	$\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1$	${\frac {x_{0}x}{a^{2}}}+{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1$
υπερβολή	$\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1$	${\frac {x_{0}x}{a^{2}}}-{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1$
παραβολή	$y=ax^{2}$	$y+y_{0}=2ax_{0}x$

κωνική τομή	εξίσωση	πόλος της γραμμής u x + v y = w
κύκλος	$x^{2}+y^{2}=r^{2}$	$\left({\frac {r^{2}u}{w}},\;{\frac {r^{2}v}{w}}\right)$
έλλειψη	$\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1$	$\left({\frac {a^{2}u}{w}},\;{\frac {b^{2}v}{w}}\right)$
υπερβολή	$\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1$	$\left({\frac {a^{2}u}{w}},\;-{\frac {b^{2}v}{w}}\right)$
παραβολή	$y=ax^{2}$	$\left(-{\frac {u}{2av}},\;-{\frac {w}{v}}\right)$

Μέσω πλήρους τετραγώνου

Στην προβολική γεωμετρία, δύο γραμμές σε ένα επίπεδο τέμνονται πάντα. Έτσι, δοθέντων τεσσάρων σημείων που σχηματίζουν ένα πλήρες τετράγωνο, οι γραμμές που συνδέουν τα σημεία τέμνονται σε τρία επιπλέον διαγώνια σημεία.

Δεδομένου ενός σημείου Ζ που δεν βρίσκεται στην κωνική Γ, σχεδιάστε δύο δευτερεύουσες από το Ζ μέσω του Γ που τέμνονται στα σημεία Α, Β, Δ και Ε. Τότε αυτά τα τέσσερα σημεία σχηματίζουν ένα πλήρες τετράγωνο και το Ζ βρίσκεται σε ένα από τα σημεία της διαγωνίου. Η ευθεία που ενώνει τα άλλα δύο διαγώνια σημεία είναι η πολική του Ζ, και το Ζ είναι ο πόλος αυτής της ευθείας.

Εφαρμογές

Οι πόλοι και τα πολικά σημεία ορίστηκαν από τον Τζόζεφ Ντίαζ Γεργκόν και παίζουν σημαντικό ρόλο στη λύση του Απολλώνιου προβλήματος.

Στην επίπεδη δυναμική ένας πόλος είναι το κέντρο περιστροφής, ο πόλος είναι η γραμμή δράσης της δύναμης και ο κώνος είναι ο πίνακας μάζας- αδράνειας. Η σχέση πόλου-πολικού χρησιμοποιείται για τον ορισμό του κέντρου κρούσης ενός επίπεδου άκαμπτου σώματος. Εάν ο πόλος είναι το σημείο άρθρωσης, τότε ο πόλος είναι η γραμμή δράσης της κρούσης, όπως περιγράφεται στη θεωρία του επίπεδου κοχλία.

Δημοσιεύσεις

• Bell, John L. (1999). The Art of the Intelligible: An Elementary Survey of Mathematics in its Conceptual Development. Kluwer. ISBN 0-7923-5972-0. 
• Euclid (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements, Translated from the Text of Heiberg, with Introduction and Commentary. 1 (Books I and II). Μτφρ. Heath, Thomas L. (Reprint of 2nd (1925) έκδοση). Dover.  On-line text at archive.org
• Bourke, Paul (Ιουλίου 1997). «Calculating the area and centroid of a polygon». 
• Simon Plouffe (1998). «The Computation of Certain Numbers Using a Ruler and Compass». Journal of Integer Sequences 1: 13. ISSN 1530-7638. Bibcode: 1998JIntS...1...13P. http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/compass.html. 
• Avron, Arnon (1990). «On strict strong constructibility with a compass alone». Journal of Geometry 38 (1–2): 12–15. doi:10.1007/BF01222890. 
• Ell, Todd A.; Sangwine, Stephen J. (2007). «Quaternion involutions and anti-involutions». Computers & Mathematics with Applications 53 (1): 137–143. doi:10.1016/j.camwa.2006.10.029. 
• Knus, Max-Albert; Merkurjev, Alexander; Rost, Markus; Tignol, Jean-Pierre (1998), The book of involutions, Colloquium Publications, 44, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0904-0,  
• Hartshorne, Robin (1967), Foundations of Projective Geometry, New York: W.A. Benjamin, Inc 
• Hirschfeld, J. W. P. (1979), Projective Geometries Over Finite Fields, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850295-1 
• Boyer, Carl B. (2004), History of Analytic Geometry, Dover, ISBN 978-0-486-43832-0, https://books.google.com/books?id=2T4i5fXZbOYC 
• Oakley, C. O., Ph.D. (1944), An Outline of the Calculus, New York: Barnes & Noble 
• Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd έκδοση), Reading: Addison-Wesley 

Δείτε επίσης

• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Στοιχεία του Ευκλείδη
• Ευκλείδειος χώρος
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Μιγαδικός αριθμός
• τοπολογικος ισομορφισμός
• Παραβολή (γεωμετρία)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Πάππος ο Αλεξανδρεύς
• Κέντρο μάζας
• Τετραγωνισμός παραβολής
• Διαβήτης (όργανο)
• Περί σφαίρας και κυλίνδρου
• Προβολική γεωμετρία
• Υπερβολή (γεωμετρία)
• Εγγεγραμμένος και Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι τριγώνου
• Κωνική τομή
• Παραλληλόγραμμο
• Οινοπίδης ο Χίος

Παραπομπές

• R. Boeker, 'Neusis', in: Paulys Realencyclopädie der Classischen Altertumswissenschaft, G. Wissowa red. (1894–), Supplement 9 (1962) 415–461.–In German. The most comprehensive survey; however, the author sometimes has rather curious opinions.
• T. L. Heath, A history of Greek Mathematics (2 volumes; Oxford 1921).
• H. G. Zeuthen, Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum [= The Theory of Conic Sections in Antiquity] (Copenhagen 1886; reprinted Hildesheim 1966).

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Euclid’s elements of geometry - The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885) Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Όστιν
• Τα οπτικά του Ευκλείδη Διδακτορική Διατριβή - ΕΑΔΔ
• “Αρχιμήδους Βιβλίο Λημμάτων” – Πραγματεία του Νικολάου Λ. Κεχρή Ανοιχτή βιβλιοθήκη
• Virtual book about Archimedes Chris Rorres - Drexel University
• A History of Greek Mathematics, Τόμος 1
• A History of Greek Mathematics: Τόμος 2
• Advanced Euclidean Geometry
• Methods for Euclidean Geometry.
• The Elements of Coordinate Geometry: In Three Parts...Pole and polar page 101
• Elementary Co-ordinate Geometry ...Pole and polar page 85 ...
• Principles of Modern Geometry ...Pole and polar, page 160
• Elements of Analytic Geometry ..Pole and polar.. page 8"
• New International Encyclopedia, Τόμος 18...Pole and polar, geometry page 793...
• Concise Handbook of Mathematics and Physics ...Pole and polar, geometry ..page 138
• Technical Calculus with Analytic Geometry.... Pole and polar, page 71....
• Unipotent and Nilpotent Classes in Simple Algebraic Groups and Lie Algebras..

• Interactive animation with multiple poles and polars at Cut-the-Knot
• Interactive animation with one pole and its polar
• Interactive 3D with coloured multiple poles/polars - open source
• Weisstein, Eric W., "Polar" από το MathWorld.
• Weisstein, Eric W., "Reciprocation" από το MathWorld.
• Weisstein, Eric W., "Inversion pole" από το MathWorld.
• Weisstein, Eric W., "Reciprocal curve" από το MathWorld.
• Tutorial at Math-abundance

Πηγές

• Brannan, David A.· Esplen, Matthew F. (22 Δεκεμβρίου 2011). Geometry. Cambridge University Press. ISBN 978-1-139-50370-9. 
• Schwerdtfeger, Hans (1 Ιανουαρίου 1979). Geometry of Complex Numbers: Circle Geometry, Moebius Transformation, Non-euclidean Geometry. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-63830-0. 
• Kletenik, D. (2002). Problems in Analytic Geometry. The Minerva Group, Inc. ISBN 978-0-89875-714-9.