Σπείρα του Θεοδώρου

Η σπείρα του Θεόδωρου μέχρι το τρίγωνο με υποτείνουσα ${\sqrt {17}}$

Στη γεωμετρία, η σπείρα του Θεοδώρου (που ονομάζεται επίσης σπείρα της τετραγωνικής ρίζας, πυθαγόρεια σπείρα ή σαλιγκάρι του Πυθαγόρα) είναι μια σπείρα που αποτελείται από ορθογώνια τρίγωνα, τοποθετημένα ακμή προς ακμή. Πήρε το όνομά της από τον Θεόδωρο της Κυρήνης.

Κατασκευή

Η σπείρα ξεκινά με ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο, με κάθε σκέλος να έχει μοναδιαίο μήκος. Ένα άλλο ορθογώνιο τρίγωνο (το οποίο είναι το μόνο διάμεσο ορθογώνιο τρίγωνο) σχηματίζεται, με το ένα σκέλος να είναι η υποτείνουσα του προηγούμενου ορθογωνίου τριγώνου (με μήκος την τετραγωνική ρίζα του 2) και το άλλο σκέλος να έχει μήκος 1. Το μήκος της υποτείνουσας αυτού του δεύτερου ορθογωνίου τριγώνου είναι η τετραγωνική ρίζα του 3. Η διαδικασία στη συνέχεια επαναλαμβάνεται- το $n$th τρίγωνο στην ακολουθία είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο με μήκη πλευρών ${\sqrt {n}}$ και 1, και με υποτείνουσα ${\sqrt {n+1}}$. Παραδείγματος χάριν, το 16ο τρίγωνο έχει πλευρές μήκους $4={\sqrt {16}}$, 1 και υποτείνουσα ${\sqrt {17}}$.

Ιστορία και χρήσεις

Παρόλο που όλο το έργο του Θεόδωρου χάθηκε, ο Πλάτων έβαλε τον Θεόδωρο στον διάλογό του «Θεαίτητος», ο οποίος μιλάει για το έργο του. Θεωρείται ότι ο Θεόδωρος είχε αποδείξει ότι όλες οι τετραγωνικές ρίζες των μη τετραγωνικών ακεραίων αριθμών από το 3 έως το 17 είναι άρρητες μέσω της Σπείρας του Θεόδωρου.

Ο Πλάτων δεν αποδίδει στον Θεόδωρο την αρρητότητα της τετραγωνικής ρίζας του 2, διότι ήταν γνωστή και πριν από αυτόν. Ο Θεόδωρο και ο Θεαίτητος χώρισαν τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς σε διαφορετικές κατηγορίες.

Αρχαίο κείμενο	Απόδοση
Θεαίτητος (147d2 …περὶ δυνάμεών τι ἡμῖν Θεόδωρος ὅδε ἔγραφε, τῆς τε τρίποδος πέρι καὶ πεντέποδος [ἀποφαίνων] ὅτι μήκει οὐ σύμμετροι τῇ ποδιαίᾳ, καὶ οὕτω κατὰ μίαν ἑκάστην προαιρούμενος μέχρι τῆς ἑπτακαιδεκάποδος.»       Πλάτων	Θεαίτητος 147d2..Σε ότι αφορά τις δυνάμεις του τρία (τρία πόδια) και του πέντε (πέντε πόδια) , ο Θεόδωρος μου έγραψε, ότι φαίνεται πως δεν είναι συμμετρικοί αριθμοί και το ίδιο ισχύει αν πάρουμε ένα ένα τους αριθμούς έως το δεκαεπτά (δεκαεπτά πόδια)

Υποτείνουσα

Κάθε μια από τις υποτείνουσες των τριγώνων $h_{n}$ δίνει την τετραγωνική ρίζα του αντίστοιχου φυσικού αριθμού, με $h_{1}={\sqrt {2}}$.

Ο Πλάτων, που διδάχθηκε από τον Θεόδωρο, διερωτήθηκε γιατί ο Θεόδωρος σταμάτησε στο ${\sqrt {17}}$. Ο λόγος πιστεύεται συνήθως ότι είναι ότι η ${\sqrt {17}}$ υποτείνουσα ανήκει στο τελευταίο τρίγωνο που δεν επικαλύπτει το σχήμα.

Επικάλυψη

Το 1958, ο Κέιλεμπ Γουίλιαμς απέδειξε ότι καμία από τις δύο υποτείνουσες δεν θα συμπέσει ποτέ, ανεξάρτητα από το πόσο μακριά συνεχίζεται η σπείρα. Επίσης, αν οι πλευρές μοναδιαίου μήκους επεκταθούν σε μια γραμμή, δεν θα περάσουν ποτέ από κάποια από τις άλλες κορυφές του συνολικού σχήματος.

Επέκταση

Χρωματιστή εκτεταμένη σπείρα του Θεόδωρου με 110 τρίγωνα

Ο Θεόδωρος σταμάτησε τη σπείρα του στο τρίγωνο με υποτείνουσα ${\sqrt {17}}$. Αν η σπείρα συνεχιστεί σε άπειρα πολλά τρίγωνα, διαπιστώνονται πολλά ακόμη ενδιαφέροντα χαρακτηριστικά.

Ρυθμός ανάπτυξης

Γωνία

Αν $\varphi _{n}$ είναι η γωνία του $n$th τριγώνου (ή σπειροειδούς τμήματος), τότε:

$\tan \left(\varphi _{n}\right)={\frac {1}{\sqrt {n}}}.$

Επομένως, η αύξηση της γωνίας $\varphi _{n}$ του επόμενου τριγώνου $n$ είναι:

$\varphi _{n}=\arctan \left({\frac {1}{\sqrt {n}}}\right).$

Το άθροισμα των γωνιών των πρώτων $k$ τριγώνων ονομάζεται συνολική γωνία $\varphi (k)$ για το $k$th τρίγωνο. Αυξάνεται αναλογικά με την τετραγωνική ρίζα του $k$, με έναν περιορισμένo διορθωτικό όρο $c_{2}$:

$\varphi \left(k\right)=\sum _{n=1}^{k}\varphi _{n}=2{\sqrt {k}}+c_{2}(k)$

όπου

$\lim _{k\to \infty }c_{2}(k)=-2.157782996659\ldots$ ( A105459).

Ένα τρίγωνο ή τμήμα σπείρας

Ακτίνα

Η αύξηση της ακτίνας της σπείρας σε ένα ορισμένο τρίγωνο $n$ είναι

$\Delta r={\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}.$

Αρχιμήδεια σπείρα

Η σπείρα του Θεόδωρου προσεγγίζει την Σπείρα του Αρχιμήδη. Ακριβώς όπως η απόσταση μεταξύ δύο σπειρών της Σπείρας του Αρχιμήδη ισούται με τη μαθηματική σταθερά $\pi$, καθώς ο αριθμός των σπειρών της σπείρας του Θεοδώρου πλησιάζει στο άπειρο, η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών σπειρών πλησιάζει γρήγορα το $\pi$.

Ο ακόλουθος πίνακας δείχνει τις διαδοχικές περιελίξεις της σπείρας που προσεγγίζει το Π:

Περιελίξεις No.:	Υπολογισμός μέσης απόστασης περιέλιξης	Ακρίβεια της μέσης απόστασης περιέλιξης σε σύγκριση με την π
2	3.1592037	99.44255%
3	3.1443455	99.91245%
4	3.14428	99.91453%
5	3.142395	99.97447%
$\to \infty$	$\to \pi$	$\to 100\%$

Όπως φαίνεται, μετά την πέμπτη μόνο περιέλιξη, η απόσταση προσεγγίζει με ακρίβεια 99,97% το $\pi$.

Συνεχής καμπύλη

Η αναλυτική συνέχεια της σπείρας του Θεοδώρου από τον Φίλιπ Τ. Ντέιβις, συμπεριλαμβανομένης της επέκτασης προς την αντίθετη κατεύθυνση από την αρχή (αρνητικοί αριθμοί κόμβων).

Το ερώτημα του τρόπου παρεμβολής των διακριτών σημείων της σπείρας του Θεόδωρου με μια ομαλή καμπύλη προτάθηκε και απαντήθηκε από τον Φίλιπ Τ. Ντέιβις το 2001 με την αναλογία του τύπου του Όιλερ για τη συνάρτηση γάμμα ως παρεμβολής για την παραγοντική συνάρτηση. Ο Ντέιβις βρήκε τη συνάρτηση.

$T(x)=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1+i/{\sqrt {k}}}{1+i/{\sqrt {x+k}}}}\qquad (-1<x<\infty )$

η οποία μελετήθηκε περαιτέρω από τον μαθητή του Λίντερ και τον Ιζερλές. Η συνάρτηση αυτή μπορεί να χαρακτηριστεί αξιωματικά ως η μοναδική συνάρτηση που ικανοποιεί τη συναρτησιακή εξίσωση

$f(x+1)=\left(1+{\frac {i}{\sqrt {x+1}}}\right)\cdot f(x),$

την αρχική συνθήκη $f(0)=1,$ και μονοτονία τόσο στο επιχείρημα όσο και στο modulus.

Μια αναλυτική συνέχεια της συνεχούς μορφής της σπείρας του Θεοδώρου του Ντέιβις εκτείνεται στην αντίθετη κατεύθυνση από την αρχή.

Στο σχήμα οι κόμβοι της αρχικής (διακριτής) σπείρας του Θεοδώρου φαίνονται ως μικροί πράσινοι κύκλοι. Οι μπλε είναι εκείνοι, που προστίθενται στην αντίθετη κατεύθυνση της σπείρας. Μόνο οι κόμβοι $n$ με ακέραια τιμή της πολικής ακτίνας $r_{n}=\pm {\sqrt {|n|}}$ αριθμούνται στο σχήμα. Ο διακεκομμένος κύκλος στην αρχή των συντεταγμένων $O$ είναι ο κύκλος καμπυλότητας στο $O$.

Δημοσιεύσεις

• Dembowski, Peter (1968), Finite geometries, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 44, Berlin: Springer, ISBN 3-540-61786-8, https://archive.org/details/finitegeometries0000demb 
• Euclid (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements, Translated from the Text of Heiberg, with Introduction and Commentary. 1 (Books I and II). Μτφρ. Heath, Thomas L. (Reprint of 2nd (1925) έκδοση). Dover.  On-line text at archive.org
• Bourke, Paul (Ιουλίου 1997). «Calculating the area and centroid of a polygon». 
• Simon Plouffe (1998). «The Computation of Certain Numbers Using a Ruler and Compass». Journal of Integer Sequences 1: 13. ISSN 1530-7638. Bibcode: 1998JIntS...1...13P. http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/compass.html. 
• Pappi (1660). Mathematicae collectiones (στα Λατινικά). ex typographia HH. de Duccijs. 
• Brannan, David A.; Esplen, Matthew F.; Gray, Jeremy J. (1998), Geometry, Cambridge University Press, ISBN 0-521-59787-0 
• Coxeter, H. S. M. (1969), Introduction to Geometry, New York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-50458-0 
• Boyer, Carl B. (2004), History of Analytic Geometry, Dover, ISBN 978-0-486-43832-0, https://books.google.com/books?id=2T4i5fXZbOYC 
• Oakley, C. O., Ph.D. (1944), An Outline of the Calculus, New York: Barnes & Noble 
• Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd έκδοση), Reading: Addison-Wesley 

Δείτε επίσης

• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Στοιχεία του Ευκλείδη
• Ευκλείδειος χώρος
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Μιγαδικός αριθμός
• τοπολογικος ισομορφισμός
• Παραβολή (γεωμετρία)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Θεώρημα εξαγώνου του Πάππου
• Τετραγωνική ρίζα
• Τετραγωνισμός παραβολής
• Διαβήτης (όργανο)
• Διπλασιασμός του κύβου
• Προβολική γεωμετρία
• Υπερβολή (γεωμετρία)
• Μη αντιμεταθετική αλγεβρική γεωμετρία
• Άρρητος αριθμός
• Παραλληλόγραμμο
• Θεόδωρος ο Κυρηναίος

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Euclid’s elements of geometry - The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885) Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Όστιν
• Τα οπτικά του Ευκλείδη Διδακτορική Διατριβή - ΕΑΔΔ
• “Αρχιμήδους Βιβλίο Λημμάτων” – Πραγματεία του Νικολάου Λ. Κεχρή Ανοιχτή βιβλιοθήκη
• Virtual book about Archimedes Chris Rorres - Drexel University
• A History of Greek Mathematics, Τόμος 1
• A History of Greek Mathematics: Τόμος 2
• Advanced Euclidean Geometry
• Methods for Euclidean Geometry.
• Walter Gautschi, Volume 3: Selected Works with Commentaries, Spiral of Theodorus..page 689
• Spirals and Vortices: In Culture, Nature, and Science... Spiral of Theodorus... page 109
• Mind The Gap: The Labyrinthine Story Of Planetary Orbits, Mathematics, And ..Spiral of Theodorus... page36
• Artificial Intelligence: Concepts, Methodologies, Tools, and Applications ...Spiral of Theodorus..page 1540 .
• A Topology of Mind: Spiral Thought Patterns, the Hyperlinking of Text, Ideas ...Spiral of Theodorus page 72...
• The Fractional Trigonometry: With Applications to Fractional Differential ...Spiral of Theodorus...page 307
• Unipotent and Nilpotent Classes in Simple Algebraic Groups and Lie Algebras..

Πηγές

• Biggs, N. L. (1981), «T. P. Kirkman, mathematician», Bulletin of the London Mathematical Society 13 (2): 97–120, doi:10.1112/blms/13.2.97 

• Conway, John; Ryba, Alex (2012), «The Pascal Mysticum Demystified», The Mathematical Intelligencer 34 (3): 4–8, doi:10.1007/s00283-012-9301-4 
• Coxeter, H. S. M.; Greitzer, Samuel L. (1967), Geometry Revisited, Washington, DC: Mathematical Association of America|, σελ. 76 
• Guggenheimer, Heinrich W. (1967), Plane geometry and its groups, San Francisco, Calif.: Holden–Day Inc. 
• Mills, Stella (March 1984), «Note on the Braikenridge–Maclaurin Theorem», Notes and Records of the Royal Society of London (The Royal Society) 38 (2): 235–240, doi:10.1098/rsnr.1984.0014 
• Hiroshi Okumura; Masayuki Watanabe (2006). «90.26 A Right Triangle Inscribed in a Similar Right Triangle». The Mathematical Gazette 90 (517): 138-141. https://www.jstor.org/stable/3621439. 
• Tien, Li C. (Απριλίου 2009). «Right Triangle». The Mathematical Intelligencer 31 (2): 50–50. doi:10.1007/s00283-009-9045-y. 

• Ivor Bulmer-Thomas: Theodorus of Cyrene. In: Charles Coulston Gillispie (Hrsg.): Dictionary of Scientific Biography. Band 13, Charles Scribner’s Sons, New York 1981, ISBN 0-684-16969-X, S. 314–319 (achtbändige Ausgabe; die Bände 13 und 14 in einem Band).
• Constantinos Macris: Théodore de Cyrène, le géomètre. In: Richard Goulet (Hrsg.): Dictionnaire des philosophes antiques. Band 7, CNRS Éditions, Paris 2018, ISBN 978-2-271-09024-9, S. 972–984.
• Leonid Zhmud: Theodoros aus Kyrene. In: Hellmut Flashar u. a. (Hrsg.): Frühgriechische Philosophie (= Grundriss der Geschichte der Philosophie. Die Philosophie der Antike. Band 1). Halbband 1, Schwabe, Basel 2013, ISBN 978-3-7965-2598-8, S. 420–421.
• van Yzeren, Jan (1993), «A simple proof of Pascal's hexagon theorem», The American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 100 (10): 930–931, doi:10.2307/2324214, ISSN 0002-9890