Χώρος (μαθηματικά)

Ο χώρος στα μαθηματικά, είναι ένα σύνολο που επιπροσθέτως έχει κάποια μαθηματική δομή.

Στα αρχαία μαθηματικά, ο «χώρος» ήταν μια γεωμετρική αφαίρεση του τρισδιάστατου χώρου που παρατηρείται στην καθημερινή ζωή. Η αξιωματική μέθοδος ήταν το κύριο εργαλείο έρευνας από τον Ευκλείδη (περίπου το 300 π.Χ.). Η μέθοδος των συντεταγμένων (Αναλυτική γεωμετρία) εγκρίθηκε από τον Ρενέ Ντεκάρτ το 1637. Εκείνη την εποχή, τα γεωμετρικά θεωρήματα αντιμετωπίστηκαν ως απόλυτη αντικειμενική αλήθεια δυνάμενα να γίνουν γνωστά μέσω της διαίσθησης και της λογικής, παρόμοια με τα αντικείμενα της φυσικής επιστήμης. Τα δε αξιώματα αντιμετωπίστηκαν ως προφανείς επιπτώσεις των ορισμών.

Τα σύγχρονα μαθηματικά αντιμετωπίζουν τον «χώρο» αρκετά διαφορετικά σε σχέση με τα κλασικά μαθηματικά. Οι μαθηματικοί χώροι συχνά σχηματίζουν κάποια ιεραρχία, δηλαδή, ένας χώρος μπορεί να κληρονομήσει όλα τα χαρακτηριστικά ενός μητρικού χώρου. Για παράδειγμα, όλοι οι χώροι με εσωτερικό γινόμενο είναι επίσης χώροι με νόρμα, επειδή το εσωτερικό γινόμενο επάγει μια νόρμα, έτσι ώστε:

$\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.$

Πηγές

• Itô, Kiyosi, επιμ.. (1993), Encyclopedic dictionary of mathematics (2η έκδοση), Mathematical society of Japan (original), MIT press (μετάφραση στα αγγλικά) 
• Bourbaki, Nicolas (1994), Elements of the history of mathematics, Masson (original), Springer (μετάφραση στα αγγλικά)