Δεύτερη Εικασία Χάρντι-Λίτλγουντ

Στη θεωρία των αριθμών, η δεύτερη εικασία Χάρντι-Λίτλγουντ αφορά τον αριθμό των πρώτων αριθμών μέσα σε διαστήματα. Όπως και η πρώτη εικασία Χάρντι-Λίτλγουντ, η δεύτερη εικασία Χάρντι-Λίτλγουντ προτάθηκε από τους Γ. Χ. Χάρντι και Τζον Έντενσορ Λίτλγουντ το 1923^[1].

Δήλωση

Η εικασία δηλώνει ότι

$\pi (x+y)\leq \pi (x)+\pi (y)$

για ακέραιους $x, y \geq 2$ όπου $π (z)$ δηλώνει τη συνάρτηση αρίθμησης πρώτων αριθμών, που δίνει τον αριθμό των πρώτων αριθμών μέχρι και τον $z$ .

Σύνδεση με την πρώτη εικασία Χάρντι-Λίτλγουντ

Η δήλωση της δεύτερης εικασίας Χάρντι-Λίτλγουντ είναι ισοδύναμη με τη δήλωση ότι ο αριθμός των πρώτων αριθμών από $x + 1$ έως $x + y$ είναι πάντα μικρότερος ή ίσος με τον αριθμό των πρώτων αριθμών από 1 έως $y$ . Αποδείχθηκε ότι αυτό είναι ασύμβατο με την πρώτη εικασία Χάρντι-Λίτλγουντ για τις πρώτες $k$ -tuples, και η πρώτη παραβίαση αναμένεται να συμβεί πιθανότατα για πολύ μεγάλες τιμές του $x$ .^[2]^[3] Παραδείγματος χάριν, μια αποδεκτή $k$ -tuple ^[4](ή ένας πρώτος αστερισμός^[5]^[6]) 447 πρώτων μπορεί να βρεθεί σε ένα διάστημα y = 3159 ακεραίων, ενώ $π (3159) = 446$ . Αν ισχύει η πρώτη εικασία Χάρντι-Λίτλγουντ, τότε η πρώτη ανάλογη $k$ -tuple αναμένεται για x μεγαλύτερο από $1.5 \times 10 174$ αλλά μικρότερο από $2.2 \times 10 1198$ .^[7]

Πρόσφατη πρόοδος

Αν και απέχουμε ακόμη πολύ από την απόδειξη της πρώτης εικασίας Χάρντι-Λίτλγουντ ή την εύρεση αντιπαραδείγματος για τη δεύτερη, τα τελευταία χρόνια έχει σημειωθεί σημαντική πρόοδος, και μάλιστα με απροσδόκητο τρόπο! Τον Απρίλιο του 2013, ένας μαθηματικός ονόματι Γιτάνγκ Ζανγκ^[8]^[9] απέδειξε ότι υπάρχουν άπειρα πολλά ζεύγη πρώτων αριθμών που απέχουν μεταξύ τους λιγότερο από 70 εκατομμύρια^[8]. Αυτό σημαίνει αυτομάτως ότι υπάρχει τουλάχιστον μία τιμή του Κ για την οποία ισχύει η εικασία (0, Κ) και ότι η τιμή αυτή είναι μικρότερη από 70 εκατομμύρια.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

Broughan, Kevin (25 Φεβρουαρίου 2021). Bounded Gaps Between Primes: The Epic Breakthroughs of the Early Twenty-First Century. Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-83674-6.
Riesel, H. (14 Μαρτίου 2013). Prime Numbers and Computer Methods for Factorization. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-1089-2.
Riesel, Hans (6 Δεκεμβρίου 2012). Prime Numbers and Computer Methods for Factorization. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-0251-6.
Weisstein, Eric W. (12 Δεκεμβρίου 2002). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. CRC Press. ISBN 978-1-4200-3522-3.
Agarwal, Ravi P. (2024). Mathematics Before and After Pythagoras: Exploring the Foundations and Evolution of Mathematical Thought. Springer Nature. ISBN 978-3-031-74224-8.
Macfarlane, Alan· Turin, Mark (30 Σεπτεμβρίου 2021). Science and Religion: Edwin Salpeter, Owen Gingerich and John Polkinghorne. Routledge. ISBN 978-1-000-46790-1.
Aflitunov, Albert (26 Οκτωβρίου 2024). Arithmetic (number theory). Litres. ISBN 978-5-04-688265-0.
Granville, Andrew· Rudnick, Zeév (8 Απριλίου 2007). Equidistribution in Number Theory, An Introduction. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4020-5404-4.
Lozano-Robledo, Álvaro (21 Μαρτίου 2019). Number Theory and Geometry: An Introduction to Arithmetic Geometry. American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-5016-8.
Schinzel, Andrzej (2007). Selecta: Diophantine problems and polynomials. European Mathematical Society. ISBN 978-3-03719-038-8.
Schehr, Grégory· Altland, Alexander (15 Αυγούστου 2017). Stochastic Processes and Random Matrices: Lecture Notes of the Les Houches Summer School: Volume 104, July 2015. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-251786-9.

Παραπομπές

↑ Hardy, G. H.; Littlewood, J. E. (1923). «Some Problems of 'Partitio Numerorum.' III. On the Expression of a Number as a Sum of Primes.». Acta Math. 44 (44): 1–70. doi:10.1007/BF02403921. .
↑ Hensley, Douglas; Richards, Ian (1974). «Primes in intervals». Acta Arith. 25 (1973/74): 375–391. doi:10.4064/aa-25-4-375-391.
MR 396440
.
↑ Richards, Ian (1974). «On the Incompatibility of Two Conjectures Concerning Primes». Bull. Amer. Math. Soc. 80: 419–438. doi:10.1090/S0002-9904-1974-13434-8.
↑ «K-Tuple Permissible Patterns». www.opertech.com. Ανακτήθηκε στις 11 Ιανουαρίου 2025.
↑ «Admissible prime constellations». sweet.ua.pt. Ανακτήθηκε στις 12 Ιανουαρίου 2025.
↑ «Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου - σελίδα 63» (PDF).
↑ «447-tuple calculations». Ανακτήθηκε στις 12 Αυγούστου 2008.
↑ ^8,0 ^8,1 «Prime gaps of less than 70 million». aimath.org. Ανακτήθηκε στις 12 Ιανουαρίου 2025.
↑ Klarreich, Erica (19 Μαΐου 2013). «Unheralded Mathematician Bridges the Prime Gap». Quanta Magazine (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 12 Ιανουαρίου 2025.

Aneva, B. (1999), «Symmetry of the Riemann operator», Physics Letters B 450 (4): 388–396, doi:10.1016/s0370-2693(99)00172-0, http://www.secamlocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatkin/zeta/aneva.pdf .

Wolf, M. (2020), «Will a physicist prove the Riemann hypothesis?», Reports on Progress in Physics 83 (4): 036001, doi:10.1088/1361-6633/ab3de7, PMID 31437818, https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1361-6633/ab3de7 .

Elizalde, Emilio (1994), Zeta regularization techniques with applications, World Scientific, ISBN 978-981-02-1441-8 . Here the author explains in what sense the problem of Hilbert–Polya is related with the problem of the Gutzwiller trace formula and what would be the value of the sum $\exp(i\gamma )$ taken over the imaginary parts of the zeros.
Pollack, Paul (2008). «An explicit approach to hypothesis H for polynomials over a finite field». Στο: De Koninck, Jean-Marie· Granville, Andrew· Luca, Florian, επιμ. Anatomy of integers. Based on the CRM workshop, Montreal, Canada, March 13–17, 2006. CRM Proceedings and Lecture Notes. 46. Providence, RI: American Mathematical Society. σελίδες 259–273. ISBN 978-0-8218-4406-9. Zbl 1187.11046.

Πηγές

Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0
Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, New York: Copernicus, ISBN 978-0-387-97993-9
Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2005), Prime Numbers: A Computational Perspective (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-25282-7
Singer, I. M.· Thorpe, J. A. (28 Μαΐου 2015). Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry. Springer. ISBN 978-1-4615-7347-0.
Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4.
Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ
Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0

[original-1] Hardy, G. H.; Littlewood, J. E. (1923). «Some Problems of 'Partitio Numerorum.' III. On the Expression of a Number as a Sum of Primes.». Acta Math. 44 (44): 1–70. doi:10.1007/BF02403921. .

[2] Hensley, Douglas; Richards, Ian (1974). «Primes in intervals». Acta Arith. 25 (1973/74): 375–391. doi:10.4064/aa-25-4-375-391.
MR 396440
.

[3] Richards, Ian (1974). «On the Incompatibility of Two Conjectures Concerning Primes». Bull. Amer. Math. Soc. 80: 419–438. doi:10.1090/S0002-9904-1974-13434-8.

[4] «K-Tuple Permissible Patterns». www.opertech.com. Ανακτήθηκε στις 11 Ιανουαρίου 2025.

[5] «Admissible prime constellations». sweet.ua.pt. Ανακτήθηκε στις 12 Ιανουαρίου 2025.

[6] «Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου - σελίδα 63» (PDF).

[7] «447-tuple calculations». Ανακτήθηκε στις 12 Αυγούστου 2008.

[:0-8] 8,0 ^8,1 «Prime gaps of less than 70 million». aimath.org. Ανακτήθηκε στις 12 Ιανουαρίου 2025.

[9] Klarreich, Erica (19 Μαΐου 2013). «Unheralded Mathematician Bridges the Prime Gap». Quanta Magazine (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 12 Ιανουαρίου 2025.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]