Υπόθεση H του Σίνζελ

Στα μαθηματικά, η υπόθεση H του Σίνζελ είναι ένα από τα πιο διάσημα ανοιχτά προβλήματα στο θέμα της θεωρίας αριθμών. Πρόκειται για μια πολύ ευρεία γενίκευση ευρέως ανοικτών εικασιών, όπως η εικασία των δίδυμων πρώτων αριθμών. Η υπόθεση πήρε το όνομά της από τον Αντρέι Σίνζελ.

Δήλωση

Η υπόθεση ισχυρίζεται ότι για κάθε πεπερασμένη συλλογή $\{f_{1},f_{2},\ldots ,f_{k}\}$ μη σταθερών μη αναγώγιμων πολυωνύμων πάνω στους ακέραιους αριθμούς με θετικούς πρώτους συντελεστές, ισχύει μία από τις ακόλουθες συνθήκες:

1. Υπάρχουν άπειροι θετικοί ακέραιοι $n$ τέτοιοι ώστε όλοι οι $f_{1}(n),f_{2}(n),\ldots ,f_{k}(n)$ να είναι ταυτόχρονα πρώτοι αριθμοί, ή
2. Υπάρχει ένας ακέραιος $m>1$ (που ονομάζεται «σταθερός διαιρέτης»), ο οποίος εξαρτάται από τα πολυώνυμα, ο οποίος διαιρεί πάντα το γινόμενο $f_{1}(n)f_{2}(n)\cdots f_{k}(n)$. (Ή, ισοδύναμα: Υπάρχει ένας πρώτος $p$ τέτοιος ώστε για κάθε $n$ να υπάρχει ένα $i$ τέτοιο ώστε το $p$ να διαιρεί το $f_{i}(n)$).

Η δεύτερη προϋπόθεση ικανοποιείται από σύνολα όπως $f_{1}(x)=x+4,f_{2}(x)=x+7$, αφού $(x+4)(x+7)$ είναι πάντα διαιρετό με το 2. Είναι εύκολο να δούμε ότι αυτή η προϋπόθεση εμποδίζει την πρώτη προϋπόθεση να είναι αληθής. Η υπόθεση του Σίνζελ ουσιαστικά ισχυρίζεται ότι η συνθήκη 2 είναι ο μόνος τρόπος για να μην ισχύει η συνθήκη 1.

Δεν είναι γνωστή καμία αποτελεσματική τεχνική για να προσδιοριστεί αν η πρώτη προϋπόθεση ισχύει για ένα δεδομένο σύνολο πολυωνύμων, αλλά η δεύτερη είναι εύκολο να ελεγχθεί: Έστω $Q(x)=f_{1}(x)f_{2}(x)\cdots f_{k}(x)$ και υπολογίζουμε τον μέγιστο κοινό διαιρέτη των $\deg(Q)+1$ διαδοχικών τιμών του $Q(n)$. Μπορεί κανείς να δει με την προεκβολή με πεπερασμένες διαφορές ότι αυτός ο διαιρέτης θα διαιρέσει επίσης και όλες τις άλλες τιμές του $Q(n)$.

Η υπόθεση του Σίνζελ βασίζεται στην προηγούμενη εικασία Μπουνιακόφσκι, για ένα απλό πολυώνυμο, και στις εικασίες Χάρντι-Λίτλγουντ και την εικασία του Ντίκσον για πολλαπλά γραμμικά πολυώνυμα. Με τη σειρά της επεκτείνεται από την εικασία Μπέιτμαν-Χορν.

Παραδείγματα

Ως απλό παράδειγμα με $k=1$,

$x^{2}+1$

Ωστόσο, αυτό δεν έχει αποδειχθεί. Ήταν μια από τις εικασίες του Λαντάου και ανάγεται στον Όιλερ, ο οποίος παρατήρησε σε μια επιστολή του προς τον Γκόλντμπαχ το 1752 ότι το $n^{2}+1$ είναι συχνά πρώτος αριθμός για $n$ μέχρι το 1500.

Ως άλλο παράδειγμα, ας πάρουμε $k=2$ με $f_{1}(x)=x$ και $f_{2}(x)=x+2$. Η υπόθεση τότε συνεπάγεται την ύπαρξη απείρως πολλών δίδυμων πρώτων αριθμών, ένα βασικό και διαβόητο ανοιχτό πρόβλημα.

Παραλλαγές

Όπως αποδείχθηκε από τους Σίνζελ και Σερπίνσκι είναι ισοδύναμο με το εξής: αν δεν ισχύει η συνθήκη 2, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένας θετικός ακέραιος $n$ τέτοιος ώστε όλα τα $f_{i}(n)$ να είναι ταυτόχρονα πρώτοι, για οποιαδήποτε επιλογή μη αναγώγιμων ολοκληρωτικών πολυωνύμων $f_{i}(x)$ με θετικούς πρώτους συντελεστές.

Αν οι κορυφαίοι συντελεστές ήταν αρνητικοί, θα μπορούσαμε να περιμένουμε αρνητικές πρώτες τιμές- πρόκειται για έναν ακίνδυνο περιορισμό.

Πιθανώς δεν υπάρχει κανένας πραγματικός λόγος να περιοριστούν τα πολυώνυμα με ακέραιους συντελεστές, παρά τα πολυώνυμα με ακέραιες τιμές (όπως το ${\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{2}}x+1$, το οποίο παίρνει ακέραιες τιμές για όλους τους ακέραιους $x$, παρόλο που οι συντελεστές δεν είναι ακέραιοι).

Προηγούμενα αποτελέσματα

Η ειδική περίπτωση ενός απλού γραμμικού πολυωνύμου είναι το θεώρημα του Ντίριχλετ για την αριθμητική πρόοδο, ένα από τα σημαντικότερα αποτελέσματα της θεωρίας αριθμών. Στην πραγματικότητα, αυτή η ειδική περίπτωση είναι η μόνη γνωστή περίπτωση της Υπόθεσης H του Σίνζελ. Δεν γνωρίζουμε αν η υπόθεση ισχύει για οποιοδήποτε δεδομένο πολυώνυμο βαθμού μεγαλύτερου του $1$ ούτε για οποιοδήποτε σύστημα περισσότερων του ενός πολυωνύμων.

Πολλοί μαθηματικοί προσπάθησαν να προσεγγίσουν την υπόθεση του Σίνζελ με σχεδόν πρωταρχικές τιμές, Μεταξύ αυτών, πιο συγκεκριμένα, το θεώρημα του Τσεν δηλώνει ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί $n$ τέτοιοι ώστε ο $n+2$ να είναι είτε πρώτος είτε ημιπρώτος και ο Ιβάνιεκ απέδειξε ότι υπάρχουν άπειροι ακέραιοι αριθμοί $n$ για τους οποίους ο $n$ $n^{2}+1$ είναι είτε πρώτος είτε ημιπρώτος. Οι Σκορομπογκάτοφ και Σοφός απέδειξαν ότι σχεδόν όλα τα πολυώνυμα οποιουδήποτε σταθερού βαθμού ικανοποιούν την υπόθεση H του Σίνζελ

Έστω $P(x)$ ένα πολυώνυμο ακέραιων τιμών με κοινό παράγοντα $d$, και έστω $Q(x)={\frac {P(x)}{d}}$. Τότε το $Q(x)$ είναι ένα πρωτογενές πολυώνυμο ακέραιων τιμών. Ο Ρόναλντ Τζόζεφ Μίεχ απέδειξε χρησιμοποιώντας το κόσκινο Μπρεν (Brun) ότι $\Omega (Q(n))\leq k$ άπειρες φορές και επομένως $\Omega (P(n))\leq m$ άπειρες φορές, όπου $n$ εκτείνεται σε θετικούς ακέραιους αριθμούς. Οι αριθμοί $k$ και $m=k+\Omega (d)$ δεν εξαρτώνται από το $n$ και $k<D\cdot (\ln(D)+2.8)$, όπου $D$ είναι ο βαθμός του πολυωνύμου $Q(x)$. Αυτό το θεώρημα είναι επίσης γνωστό ως θεώρημα του Μίεχ. Η απόδειξη του θεωρήματος του Μίεχ χρησιμοποιεί το κόσκινο Μπρεν.

Εάν υπάρχει ένα υποθετικό πιθανοτικό κόσκινο πυκνότητας, χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Μίεχ μπορεί να αποδειχθεί η υπόθεση H του Σίντζελ σε όλες τις περιπτώσεις με μαθηματική επαγωγή.

Προοπτικές και εφαρμογές

Η υπόθεση αυτή δεν είναι πιθανώς προσβάσιμη με τις τρέχουσες μεθόδους της αναλυτικής θεωρίας αριθμών, αλλά χρησιμοποιείται πλέον αρκετά συχνά για την απόδειξη αποτελεσμάτων υπό όρους, παραδείγματος χάριν στη διοφαντική γεωμετρία. Η σύνδεση αυτή οφείλεται στους Ζαν-Λουί Κολλιό-Θελέν και Ζαν-Ζακ Σανσούκ. Για περισσότερες εξηγήσεις και αναφορές σχετικά με τη σύνδεση αυτή δείτε τις σημειώσεις του Σουίνερτον-Ντάιερ. Καθώς το εικαστικό αποτέλεσμα είναι τόσο ισχυρό στη φύση του, είναι πιθανό να αποδειχθεί ότι είναι υπερβολικά αναμενόμενο.

Επέκταση για να συμπεριληφθεί η εικασία Γκόλντμπαχ

Η υπόθεση δεν καλύπτει την εικασία του Γκόλντμπαχ, αλλά μια στενά συνδεδεμένη εκδοχή της (υπόθεση H_N) την καλύπτει. Αυτό απαιτεί ένα επιπλέον πολυώνυμο $F(x)$ το οποίο στο πρόβλημα Γκόλντμπαχ θα ήταν απλώς $x$ για το οποίο

N − F(n)

απαιτείται επίσης να είναι πρώτος αριθμός. Αυτό αναφέρεται στο βιβλίο των Χάλμπερσταμ και Ρίσερτ, Μέθοδοι κόσκινου. Η εικασία εδώ παίρνει τη μορφή μιας δήλωσης όταν το N είναι αρκετά μεγάλο, και υπό την προϋπόθεση ότι

$f_{1}(n)f_{2}(n)\cdots f_{k}(n)(N-F(n))$

δεν έχει σταθερό διαιρέτη > 1. Τότε θα πρέπει να είμαστε σε θέση να απαιτήσουμε την ύπαρξη n τέτοιου ώστε N − F(n) να είναι και θετικός και πρώτος αριθμός- και με όλους τους f_i(n) πρώτους αριθμούς.

Δεν είναι γνωστές πολλές περιπτώσεις αυτών των εικασιών, αλλά υπάρχει μια λεπτομερής ποσοτική θεωρία ( βλ. εικασία Μπέιτεμαν-Χορν).

Τοπική ανάλυση

Η συνθήκη της μη ύπαρξης σταθερού πρώτου διαιρέτη είναι καθαρά τοπική (εξαρτάται μόνο από τους πρώτους, δηλαδή). Με άλλα λόγια, ένα πεπερασμένο σύνολο μη αναγώγιμων πολυωνύμων ακέραιων τιμών χωρίς τοπικό εμπόδιο στο να πάρουν άπειρες πρώτες τιμές εικάζεται ότι παίρνουν άπειρες πρώτες τιμές.

να ανάλογο που αποτυγχάνει

Η ανάλογη εικασία με την αντικατάσταση των ακεραίων αριθμών από τον δακτύλιο μονομεταβλητών πολυωνύμων πάνω από ένα πεπερασμένο σώμα είναι λανθασμένη. Παραδείγματος χάριν, ο Σουάν παρατήρησε το 1962 (για λόγους που δεν σχετίζονται με την Υπόθεση Η) ότι το πολυώνυμο

$x^{8}+u^{3}\,$

πάνω στον δακτύλιο F₂[u] είναι μη αναγωγίσιμο και δεν έχει σταθερό πρώτο πολυωνυμικό διαιρέτη (άλλωστε, οι τιμές του στα x = 0 και x = 1 είναι σχετικά πρώτα πολυώνυμα), αλλά όλες οι τιμές του καθώς το x τρέχει πάνω στον F₂[u] είναι σύνθετες. Παρόμοια παραδείγματα μπορούν να βρεθούν με την αντικατάσταση του F₂ από οποιοδήποτε πεπερασμένο πεδίο- τα εμπόδια σε μια κατάλληλη διατύπωση της Υπόθεσης H πάνω από το F[u] όπου το F είναι ένα πεπερασμένο σώμα, δεν είναι πλέον μόνο τοπικά, αλλά εμφανίζεται ένα νέο συνολικό εμπόδιο χωρίς κλασικό παράλληλο, υποθέτοντας ότι η υπόθεση H είναι στην πραγματικότητα σωστή.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών

Δείτε επίσης

• Θεωρία αριθμών
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Φυσικός λογάριθμος
• Πρώτος αριθμός Μερσέν
• Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί
• e (μαθηματική σταθερά)
• Πρώτος αριθμός
• Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί
• Γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν
• Φυσικός αριθμός
• Εικασία του Λεζάντρ
• Εικασία του Μπουνιακόφσκι
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Αριθμητική πρόοδος
• Συνάρτηση Όιλερ
• Ευκλείδειος χώρος

Βιβλιογραφία

• Crandall, Richard· Pomerance, Carl B. (7 Απριλίου 2006). Prime Numbers: A Computational Perspective. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-28979-3. 
• Ahlswede, Rudolf (14 Δεκεμβρίου 2006). General Theory of Information Transfer and Combinatorics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-46244-6. 
• Serre, Jean-Pierre (1 Δεκεμβρίου 2013). Galois Cohomology. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-59141-9. 
• Waldschmidt, Michel (1998). Number Theory: Ramanujan Mathematical Society, January 3-6, 1996, Tiruchirapalli, India. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-0606-7. 
• Colliot-Thélène, Jean-Louis· Skorobogatov, Alexei N. (30 Ιουλίου 2021). The Brauer–Grothendieck Group. Springer Nature. ISBN 978-3-030-74248-5. 
• Alladi, Krishnaswami· Elliott, P. D. T. A. (21 Δεκεμβρίου 2013). Analytic and Elementary Number Theory: A Tribute to Mathematical Legend Paul Erdos. Springer. ISBN 978-1-4757-4507-8. 
• Grechuk, Bogdan (2024). Polynomial Diophantine Equations: A Systematic Approach. Springer Nature. ISBN 978-3-031-62949-5. 
• Györy, Kálmán· Iwaniec, Henryk (13 Φεβρουαρίου 2012). Number Theory in Progress. Walter de Gruyter. ISBN 978-3-11-028558-1. 
• Koninck, Jean-Marie De· Luca, Florian (31 Ιουλίου 2023). Analytic Number Theory: Exploring the Anatomy of Integers. American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-7385-3. 
• Pollack, Paul (14 Οκτωβρίου 2009). Not Always Buried Deep: A Second Course in Elementary Number Theory. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-4880-7. 
• Dieulefait, Luis (8 Οκτωβρίου 2015). Arithmetic and Geometry. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-46254-0. 

Παραπομπές

• Crandall, Richard· Pomerance, Carl B. (2005). Prime Numbers: A Computational Perspective (Second έκδοση). New York: en:Springer-Verlag. doi:10.1007/0-387-28979-8. ISBN 0-387-25282-7. MR 2156291. Zbl 1088.11001. 
• Guy, Richard K. (2004). Unsolved problems in number theory (Third έκδοση). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001. 
• Pollack, Paul (2008). «An explicit approach to hypothesis H for polynomials over a finite field». Στο: De Koninck, Jean-Marie· Granville, Andrew· Luca, Florian, επιμ. Anatomy of integers. Based on the CRM workshop, Montreal, Canada, March 13–17, 2006. CRM Proceedings and Lecture Notes. 46. Providence, RI: American Mathematical Society. σελίδες 259–273. ISBN 978-0-8218-4406-9. Zbl 1187.11046. 
• Swan, R. G. (1962). «Factorization of Polynomials over Finite Fields». Pacific Journal of Mathematics 12 (3): 1099–1106. doi:10.2140/pjm.1962.12.1099. https://projecteuclid.org/euclid.pjm/1103036322. 
• Sorini, Laerte (2001). "Un Metodo Euristico per la Soluzione della Congettura di Giuga". Quaderni di Economia, Matematica e Statistica, DESP, Università di Urbino Carlo Bo (in Italian). 68. ISSN 1720-9668.

Πηγές

• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0 
• Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, New York: Copernicus, ISBN 978-0-387-97993-9 
• Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2005), Prime Numbers: A Computational Perspective (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-25282-7 
• Singer, I. M.· Thorpe, J. A. (28 Μαΐου 2015). Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry. Springer. ISBN 978-1-4615-7347-0. 
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0