Εικασία Μπέιτμαν-Χορν

Στη θεωρία των αριθμών, η εικασία των Μπέιτμαν-Χορν είναι μια δήλωση σχετικά με τη συχνότητα των πρώτων αριθμών μεταξύ των τιμών ενός συστήματος πολυωνύμων, η οποία πήρε το όνομά της από τους μαθηματικούς Πολ Τ. Μπέιτμαν και Ρότζερ Α. Χορν που την πρότειναν το 1962. Παρέχει μια τεράστια γενίκευση εικασιών όπως η εικασία των Χάρντι και Λίτλγουντ για την πυκνότητα των δίδυμων πρώτων αριθμών ή η εικασία τους για τους πρώτους αριθμούς της μορφής n² + 1; Αποτελεί επίσης μια ενίσχυση της υπόθεσης H του Σίνζελ.

Ορισμός

Η εικασία Μπέιτμαν-Χορν παρέχει μια εικαστική πυκνότητα για θετικούς ακέραιους αριθμούς για τους οποίους ένα δεδομένο σύνολο πολυωνύμων έχει όλες τις πρώτες τιμές. Για ένα σύνολο m διαφορετικών μη αναγώγιμων πολυωνύμων ƒ₁, ..., ƒ_m με ακέραιους συντελεστές, μια προφανής αναγκαία συνθήκη για να παράγουν τα πολυώνυμα ταυτόχρονα απείρως συχνά πρώτες τιμές είναι ότι ικανοποιούν την ιδιότητα του Μπουνιακόφσκι, ότι δηλαδή δεν υπάρχει ένας πρώτος αριθμός p που να διαιρεί το γινόμενό τους f(n) για κάθε θετικό ακέραιο n. Διότι, αν υπήρχε ένας τέτοιος πρώτος p, το να έχουμε όλες τις τιμές των πολυωνύμων ταυτόχρονα πρώτες για ένα δεδομένο n θα σήμαινε ότι τουλάχιστον μία από αυτές πρέπει να είναι ίση με το p, πράγμα που μπορεί να συμβεί μόνο για πεπερασμένες πολλές τιμές του n, αλλιώς θα υπήρχε ένα πολυώνυμο με άπειρες πολλές ρίζες, ενώ η εικασία είναι πώς να δώσουμε συνθήκες όπου οι τιμές είναι ταυτόχρονα πρώτες για άπειρα πολλά n.

Ένας ακέραιος n είναι πρωτογενής για το δεδομένο σύστημα πολυωνύμων αν κάθε πολυώνυμο ƒ_i(n) παράγει έναν πρώτο αριθμό όταν του δίνεται n ως όρισμα. Αν P(x) είναι ο αριθμός των πρώτων ακεραίων που παράγουν πρώτους αριθμούς μεταξύ των θετικών ακεραίων μικρότερων του x, τότε η εικασία Μπέιτμαν-Χορν δηλώνει ότι

$P(x)\sim {\frac {C}{D}}\int _{2}^{x}{\frac {dt}{(\log t)^{m}}},\,$

όπου D είναι το γινόμενο των βαθμών των πολυωνύμων και όπου C είναι το γινόμενο επί των πρώτων p

$C=\prod _{p}{\frac {1-N(p)/p}{(1-1/p)^{m}}}\$

με $N(p)$ τον αριθμό των λύσεων του

$f(n)\equiv 0{\pmod {p}}.\$

Η ιδιότητα Μπουνιακόφσκι συνεπάγεται $N(p)<p$ για όλους τους πρώτους αριθμούς p, οπότε κάθε παράγοντας στο άπειρο γινόμενο C είναι θετικός. Διαισθητικά αναμένει κανείς τότε φυσικά ότι η σταθερά C είναι η ίδια θετική, και με λίγη δουλειά αυτό μπορεί να αποδειχθεί. (Χρειάζεται δουλειά διότι ορισμένα άπειρα γινόμενα θετικών αριθμών είναι ίσα με το μηδέν).

Αρνητικοί αριθμοί

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, η εικασία δεν είναι αληθής: το απλό πολυώνυμο ƒ₁(x) = −x παράγει μόνο αρνητικούς αριθμούς όταν του δίνεται θετικό όρισμα, οπότε το κλάσμα των πρώτων αριθμών μεταξύ των τιμών του είναι πάντα μηδέν. Υπάρχουν δύο εξίσου έγκυροι τρόποι να βελτιώσουμε την εικασία για να αποφύγουμε αυτή τη δυσκολία:

• Μπορεί κανείς να απαιτήσει όλα τα πολυώνυμα να έχουν θετικούς αρχικούς συντελεστές, έτσι ώστε μόνο ένας σταθερός αριθμός των τιμών τους να είναι αρνητικός.
• Είναι επίσης δυνατό να επιτρέπονται αρνητικοί αρχικοί συντελεστές, αλλά να θεωρηθεί ένας αρνητικός αριθμός ως πρώτος όταν η απόλυτη τιμή του είναι πρώτος.

Είναι λογικό να επιτρέπουμε στους αρνητικούς αριθμούς να λογίζονται ως πρώτοι αριθμοί ως ένα βήμα προς τη διατύπωση γενικότερων εικασιών που ισχύουν και για άλλα συστήματα αριθμών εκτός των ακεραίων, αλλά ταυτόχρονα είναι εύκολο απλά να αναιρέσουμε τα πολυώνυμα αν χρειαστεί για να αναφερθούμε στην περίπτωση όπου οι κορυφαίοι συντελεστές είναι θετικοί.

Παραδείγματα

Αν το σύστημα των πολυωνύμων αποτελείται μόνο από το πολυώνυμο ƒ₁(x) = x τότε οι τιμές n για τις οποίες το ƒ₁(n) είναι πρώτος αριθμός είναι οι ίδιοι οι πρώτοι αριθμοί, και η εικασία γίνεται μια επαναδιατύπωση του θεωρήματος των πρώτων αριθμών.

Αν το σύστημα των πολυωνύμων αποτελείται από τα δύο πολυώνυμα ƒ₁(x) = x και ƒ₂(x) = x + 2, τότε οι τιμές του n για τις οποίες τόσο το ƒ₁(n) όσο και το ƒ₂(n) είναι πρώτοι αριθμοί είναι απλώς οι μικρότεροι από τους δύο πρώτους αριθμούς σε κάθε ζεύγος δίδυμων πρώτων αριθμών. Σε αυτή την περίπτωση, η εικασία Μπέιτμαν-Χορν ανάγεται στην εικασία Χάρντι-Λίτλγουντ για την πυκνότητα των δίδυμων πρώτων αριθμών, σύμφωνα με την οποία ο αριθμός των ζευγών δίδυμων πρώτων αριθμών μικρότερων από x είναι

$\pi _{2}(x)\sim 2\prod _{p\geq 3}{\frac {p(p-2)}{(p-1)^{2}}}{\frac {x}{(\log x)^{2}}}\approx 1.32{\frac {x}{(\log x)^{2}}}.$

Αναλογία για πολυώνυμα σε πεπερασμένο σώμα

Όταν οι ακέραιοι αντικαθίστανται από τον πολυωνυμικό δακτύλιο F[u] για ένα πεπερασμένο σώμα F, μπορεί κανείς να ρωτήσει πόσο συχνά ένα πεπερασμένο σύνολο πολυωνύμων f_i(x) στο F[u][x] παίρνει ταυτόχρονα μη αναγώγιμες τιμές στο F[u] όταν αντικαθιστούμε τα x με στοιχεία του F[u]. Οι γνωστές αναλογίες μεταξύ των ακεραίων και του F[u] υποδηλώνουν ένα ανάλογο της εικασίας Μπέιτμαν-Χορν πάνω στον F[u], αλλά το ανάλογο είναι λάθος. Παραδείγματος χάριν, τα δεδομένα υποδηλώνουν ότι το πολυώνυμο

$x^{3}+u\,$

στο F₃[u][x] παίρνει (ασυμπτωτικά) τον αναμενόμενο αριθμό μη αναγώγιμων τιμών όταν το x τρέχει πάνω σε πολυώνυμα στο F₃[u] περιττού βαθμού, αλλά φαίνεται να παίρνει (ασυμπτωτικά) διπλάσιες μη αναγώγιμες τιμές από τις αναμενόμενες όταν το x τρέχει πάνω σε πολυώνυμα με βαθμό 2 mod 4, ενώ (αποδεδειγμένα) δεν παίρνει καθόλου μη αναγώγιμες τιμές όταν το x τρέχει πάνω σε μη σταθερά πολυώνυμα με βαθμό πολλαπλάσιο του 4. Μία ανάλογη εικασία των Μπέιτμαν-Χορν πάνω στο F[u] που ταιριάζει σε αριθμητικά δεδομένα χρησιμοποιεί έναν πρόσθετο παράγοντα στην ασυμπτωτική που εξαρτάται από την τιμή του d mod 4, όπου d είναι ο βαθμός των πολυωνύμων στο F[u] πάνω στα οποία γίνεται δειγματοληψία του x.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών

Δείτε επίσης

• Θεωρία αριθμών
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Φυσικός λογάριθμος
• Πρώτος αριθμός Μερσέν
• Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί
• e (μαθηματική σταθερά)
• Πρώτος αριθμός
• Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί
• Γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν
• Φυσικός αριθμός
• Εικασία του Λεζάντρ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Αριθμητική πρόοδος
• Συνάρτηση Όιλερ
• Ευκλείδειος χώρος

Βιβλιογραφία

• Geer, Gerard B. M. van der· Moonen, B. J. J. (24 Νοεμβρίου 2006). Number Fields and Function Fields – Two Parallel Worlds. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-8176-4447-5. 
• Lozano-Robledo, Álvaro (21 Μαρτίου 2019). Number Theory and Geometry: An Introduction to Arithmetic Geometry. American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-5016-8. 
• Ramaré, Olivier (3 Μαρτίου 2022). Excursions in Multiplicative Number Theory. Springer Nature. ISBN 978-3-030-73169-4. 
• Hazewinkel, Michiel (31 Αυγούστου 1997). Encyclopaedia of Mathematics: Supplement. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-7923-4709-5. 
• Garcia, Stephan Ramon· Miller, Steven J. (13 Ιουνίου 2019). 100 Years of Math Milestones: The Pi Mu Epsilon Centennial Collection. American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-3652-0. 
• Bach, Eric· Shallit, Jeffrey Outlaw (1996). Algorithmic Number Theory: Efficient algorithms. MIT Press. ISBN 978-0-262-02405-1. 
• Guy, Richard (9 Μαρτίου 2013). Unsolved Problems in Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-26677-0. 
• Coppel, W. A. (12 Αυγούστου 2009). Number Theory: An Introduction to Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-89485-0. 
• Lang, Serge (6 Δεκεμβρίου 2012). Math Talks for Undergraduates. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-1476-2. 
• Narkiewicz, Władysław (2 Σεπτεμβρίου 2011). Rational Number Theory in the 20th Century: From PNT to FLT. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-85729-532-3. 
• Landman, Bruce· Nathanson, Melvyn B. (7 Απριλίου 2009). Combinatorial Number Theory: Proceedings of the 'Integers Conference 2007', Carrollton, Georgia, USA, October 24—27, 2007. Walter de Gruyter. ISBN 978-3-11-020850-4. 

Παραπομπές

• Bateman, Paul T.; Horn, Roger A. (1962), «A heuristic asymptotic formula concerning the distribution of prime numbers», Mathematics of Computation 16 (79): 363–367, doi:10.2307/2004056,  
• Guy, Richard K. (2004), Unsolved problems in number theory (3rd έκδοση), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-20860-2,  
• Friedlander, John; Granville, Andrew (1991), «Limitations to the equi-distribution of primes. IV.», Proceedings of the Royal Society A 435 (1893): 197–204, doi:10.1098/rspa.1991.0138 .
• Soren Laing Alethia-Zomlefer; Lenny Fukshansky; Stephan Ramon Garcia (25 July 2018), ONE CONJECTURE TO RULE THEM ALL: BATEMAN–HORN, σελ. 1–45 
• Sorini, Laerte (2001). "Un Metodo Euristico per la Soluzione della Congettura di Giuga". Quaderni di Economia, Matematica e Statistica, DESP, Università di Urbino Carlo Bo (in Italian). 68. ISSN 1720-9668.

Πηγές

• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0 
• Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, New York: Copernicus, ISBN 978-0-387-97993-9 
• Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2005), Prime Numbers: A Computational Perspective (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-25282-7 
• Singer, I. M.· Thorpe, J. A. (28 Μαΐου 2015). Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry. Springer. ISBN 978-1-4615-7347-0. 
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0