Εικασία του Μπουνιακόφσκι

Η εικασία Μπουνιακόφσκι (ή εικασία του Μπουνιακόφσκι) δίνει ένα κριτήριο για ένα πολυώνυμο $f(x)$ σε μία μεταβλητή με ακέραιους συντελεστές να δίνει άπειρες πρώτες τιμές στην ακολουθία$f(1),f(2),f(3),\ldots .$ Διατυπώθηκε το 1857 από τον Ρώσο μαθηματικό Βίκτορ Μπουνιακόφσκι. Οι ακόλουθες τρεις συνθήκες είναι απαραίτητες για να έχει η $f(x)$ την επιθυμητή ιδιότητα παραγωγής πρώτων αριθμών:

1. Ο πρώτος συντελεστής είναι θετικός ακέραιος
2. Το πολυώνυμο είναι μη αναγώγιμο στους ρητούς (και ακέραιους), και
3. Δεν υπάρχει κοινός παράγοντας για όλες τις απείρως πολλές τιμές $f(1),f(2),f(3),\ldots$. (Συγκεκριμένα, οι συντελεστές της $f(x)$ θα πρέπει να είναι σχετικά πρώτοι. Δεν είναι απαραίτητο οι τιμές f(n) να είναι κατά ζεύγη σχετικά πρώτοι).

Η εικασία του Μπουνιακόφσκι υποστηρίζει ότι αυτές οι συνθήκες είναι επαρκείς: αν το $f(x)$ ικανοποιεί τις (1)-(3), τότε το $f(n)$ είναι πρώτος αριθμός για άπειρους θετικούς ακέραιους $n$.

Μια φαινομενικά ασθενέστερη αλλά ισοδύναμη δήλωση με την εικασία του Μπουνιακόφσκι είναι ότι για κάθε ακέραιο πολυώνυμο $f(x)$ που ικανοποιεί τις (1)-(3), το $f(n)$ είναι πρώτος για τουλάχιστον έναν θετικό ακέραιο $n$: αλλά τότε, αφού το μεταφρασμένο πολυώνυμο $f(x+n)$ εξακολουθεί να ικανοποιεί τις (1)-(3), ενόψει της ασθενέστερης δήλωσης το $f(m)$ είναι πρώτος για τουλάχιστον έναν θετικό ακέραιο $m>n$, οπότε το $f(n)$ είναι πράγματι πρώτος για απείρως πολλούς θετικούς ακέραιους $n$. Η εικασία του Μπουνιακόφσκι είναι μια ειδική περίπτωση της υπόθεσης H του Σίνζελ, ένα από τα πιο διάσημα ανοιχτά προβλήματα στη θεωρία των αριθμών.

Συζήτηση των τριών συνθηκών

Η πρώτη συνθήκη είναι απαραίτητη, διότι αν ο πρώτος συντελεστής είναι αρνητικός, τότε $f(x)<0$ για όλα τα μεγάλα $x$, και επομένως ο $f(n)$ δεν είναι (θετικός) πρώτος αριθμός για μεγάλους θετικούς ακέραιους $n$. (Αυτό απλώς ικανοποιεί τη σύμβαση του προσήμου ότι οι πρώτοι αριθμοί είναι θετικοί).

Η δεύτερη συνθήκη είναι απαραίτητη διότι αν $f(x)=g(x)h(x)$ όπου τα πολυώνυμα $g(x)$ και $h(x)$ έχουν ακέραιους συντελεστές, τότε έχουμε $f(n)=g(n)h(n)$ για όλους τους ακέραιους $n$, αλλά οι $g(x)$ και $h(x)$ παίρνουν τις τιμές 0 και $\pm 1$ μόνο πεπερασμένες φορές, οπότε η $f(n)$ είναι σύνθετη για όλα τα μεγάλα $n$.

Η δεύτερη συνθήκη αποτυγχάνει επίσης για τα αναγώγιμα πολυώνυμα πάνω στους ρητούς.

Παραδείγματος χάριν, το ακέραιο πολυώνυμο $P(x)=(1/12)\cdot x^{4}+(11/12)\cdot x^{2}+2$ δεν ικανοποιεί τη συνθήκη (2), αφού $P(x)=(1/12)\cdot (x^{4}+11x^{2}+24)=(1/12)\cdot (x^{2}+3)\cdot (x^{2}+8)$, οπότε τουλάχιστον ένας από τους δύο τελευταίους παράγοντες πρέπει να είναι διαιρέτης του $12$ για να έχουμε $P(x)$ πρώτος, πράγμα που ισχύει μόνο αν $|x|\leq 3$. Οι αντίστοιχες τιμές είναι $2,3,7,17$, οπότε αυτοί είναι οι μόνοι τέτοιοι πρώτοι αριθμοί για ολοκληρώματα $x$, αφού όλοι αυτοί οι αριθμοί είναι πρώτοι. Αυτό δεν αποτελεί αντιπαράδειγμα της εικασίας Μπουνιακόφσκι, αφού η συνθήκη (2) αποτυγχάνει.

Η τρίτη συνθήκη, ότι οι αριθμοί $f(n)$ έχουν gcd 1, είναι προφανώς απαραίτητη, αλλά είναι κάπως λεπτή και γίνεται καλύτερα κατανοητή με ένα αντιπαράδειγμα. Ας θεωρήσουμε τον $f(x)=x^{2}+x+2$, ο οποίος έχει θετικό κύριο συντελεστή και είναι μη αναγώγιμος, και οι συντελεστές είναι σχετικά πρώτοι- ωστόσο ο $f(n)$ είναι αρτιός για όλους τους ακέραιους $n$, και έτσι είναι πρώτος μόνο πεπερασμένες φορές (δηλαδή στο $n=0,-1$, όταν $f(n)=2$).

Στην πράξη, ο ευκολότερος τρόπος για να επαληθεύσουμε την τρίτη συνθήκη είναι να βρούμε ένα ζεύγος θετικών ακεραίων $m$ και $n$ τέτοιων ώστε $f(m)$ και $f(n)$ να είναι σχετικά πρώτοι. Γενικά, για κάθε πολυώνυμο ακέραιων τιμών $f(x)=c_{0}+c_{1}x+\cdots +c_{d}x^{d}$ μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε $\gcd\{f(n)\}_{n\geq 1}=\gcd(f(m),f(m+1),\dots ,f(m+d))$ για κάθε ακέραιο $m$, οπότε το gcd δίνεται από τις τιμές του $f(x)$ σε κάθε διαδοχικό $d+1$ ακέραιο. Στο παραπάνω παράδειγμα, έχουμε $f(-1)=2,f(0)=2,f(1)=4$ και έτσι το gcd είναι $2$, το οποίο συνεπάγεται ότι το $x^{2}+x+2$ έχει αρτιές τιμές στους ακεραίους.

Εναλλακτικά, όταν ένα ακέραιο πολυώνυμο $f(x)$ γράφεται στη βάση πολυωνύμων με διωνυμικό συντελεστή: $f(x)=a_{0}+a_{1}{\binom {x}{1}}+\cdots +a_{d}{\binom {x}{d}},$

κάθε συντελεστής $a_{i}$ είναι ακέραιος και $\gcd\{f(n)\}_{n\geq 1}=\gcd(a_{0},a_{1},\dots ,a_{d}).$ Στο παραπάνω παράδειγμα, αυτό είναι: $x^{2}+x+2=2{\binom {x}{2}}+2{\binom {x}{1}}+2,$ και οι συντελεστές στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης έχουν gcd 2.

Χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο gcd, μπορεί να αποδειχθεί ότι $\gcd\{f(n)\}_{n\geq 1}=1$ αν και μόνο αν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι $m$ και $n$ τέτοιοι ώστε $f(m)$ και $f(n)$ να είναι σχετικά πρώτοι.

Παραδείγματα

Ένα απλό τετραγωνικό πολυώνυμο

Μερικές πρώτες τιμές του πολυωνύμου $f(x)=x^{2}+1$ παρατίθενται στον ακόλουθο πίνακα. (Οι τιμές του $x$ σχηματίζουν την OEIS ακολουθία A005574- εκείνες του $x^{2}+1$ σχηματίζουν την A002496}).

$x$	1	2	4	6	10	14	16	20	24	26	36	40	54	56	66	74	84	90	94	110	116	120
$x^{2}+1$	2	5	17	37	101	197	257	401	577	677	1297	1601	2917	3137	4357	5477	7057	8101	8837	12101	13457	14401

Το ότι το $n^{2}+1$ πρέπει να είναι πρώτος αριθμός απείρως συχνά είναι ένα πρόβλημα που τέθηκε για πρώτη φορά από τον Όιλερ, και είναι επίσης η πέμπτη εικασία των Χάρντι-Λίτλγουντ και το τέταρτο πρόβλημα του Λαντάου. Παρά τις εκτεταμένες αριθμητικές αποδείξεις δεν είναι γνωστό αν η ακολουθία αυτή εκτείνεται επ' άπειρον.

Κυκλοτομικά πολυώνυμα

Τα κυκλοτομικά πολυώνυμα $\Phi _{k}(x)$ για $k=1,2,3,\ldots$ ικανοποιούν τις τρεις συνθήκες της εικασίας του Μπουνιακόφσκι, οπότε για όλα τα k, θα πρέπει να υπάρχουν άπειροι πολλοί φυσικοί αριθμοί n τέτοιοι ώστε το $\Phi _{k}(n)$ να είναι πρώτος. Μπορεί να αποδειχθεί ότι αν για όλα τα k, υπάρχει ένας ακέραιος n > 1 με $\Phi _{k}(n)$ πρώτος, τότε για όλα τα k, υπάρχουν άπειροι πολλοί φυσικοί αριθμοί n με $\Phi _{k}(n)$ πρώτος.

H παρακάτω ακολουθία δίνει τον μικρότερο φυσικό αριθμό n > 1 τέτοιο ώστε ο $\Phi _{k}(n)$ να είναι πρώτος, για $k=1,2,3,\ldots$:

3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 5, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 6, 2, 4, 3, 2, 10, 2, 22, 2, 2, 4, 6, 2, 2, 2, 2, 2, 14, 3, 61, 2, 10, 2, 14, 2, 15, 25, 11, 2, 5, 5, 2, 6, 30, 11, 24, 7, 7, 2, 5, 7, 19, 3, 2, 2, 3, 30, 2, 9, 46, 85, 2, 3, 3, 3, 11, 16, 59, 7, 2, 2, 22, 2, 21, 61, 41, 7, 2, 2, 8, 5, 2, 2, ... (ακολουθία A085398 στην OEIS).

Η ακολουθία αυτή είναι γνωστό ότι περιέχει μερικούς μεγάλους όρους: ο 545ος όρος είναι 2706, ο 601ος είναι 2061 και ο 943ος είναι 2042. Αυτή η περίπτωση της εικασίας του Μπουνιακόφσκι πιστεύεται ευρέως, αλλά και πάλι δεν είναι γνωστό αν η ακολουθία εκτείνεται επ' άπειρον.

Συνήθως, υπάρχει ένας ακέραιος αριθμός $n$ μεταξύ 2 και $\phi (k)$ (όπου $\phi$ είναι η συνάρτηση του Ὀιλερ, οπότε $\phi (k)$ είναι ο βαθμός ενός πολυωνύμου της $\Phi _{k}(n)$), ώστε $\Phi _{k}(n)$ να είναι πρώτος, αλλά υπάρχουν εξαιρέσεις, οι πρώτες είναι:

1, 2, 25, 37, 44, 68, 75, 82, 99, 115, 119, 125, 128, 159, 162, 179, 183, 188, 203, 213, 216, 229, 233, 243, 277, 289, 292, ....

Μερικά αποτελέσματα: μόνο το θεώρημα του Ντίριχλετ

Μέχρι σήμερα, η μόνη περίπτωση της εικασίας του Μπουνιακόφσκι που έχει αποδειχθεί είναι αυτή των πολυωνύμων βαθμού 1. Πρόκειται για το θεώρημα του Ντίριχλετ, το οποίο δηλώνει ότι όταν $a$ και $m$ είναι σχετικά πρώτοι ακέραιοι αριθμοί υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί $p\equiv a{\pmod {m}}$. Αυτή είναι η εικασία του Μπουνιακόφσκι για την $f(x)=a+mx$ (ή $a-mx$ αν $m<0$). Η τρίτη συνθήκη στην εικασία του Μπουνιακόφσκι για ένα γραμμικό πολυώνυμο $mx+a$ είναι ισοδύναμη με το να είναι $a$ και $m$ σχετικά πρώτοι.

Καμία μεμονωμένη περίπτωση της εικασίας του Μπουνιακόφσκι για βαθμό μεγαλύτερο του 1 δεν αποδεικνύεται, αν και αριθμητικές ενδείξεις σε υψηλότερους βαθμούς είναι συνεπείς με την εικασία.

Γενικευμένη εικασία Μπουνιακόφσκι

Βλ.:Υπόθεση H του Σίνζελ

Με δεδομένο $k\geq 1$ πολυώνυμα με θετικούς βαθμούς και ακέραιους συντελεστές, καθένα από τα οποία ικανοποιεί τις τρεις συνθήκες, ας υποθέσουμε ότι για κάθε πρώτο $p$ υπάρχει ένα $n$ τέτοιο ώστε καμία από τις τιμές των $k$ πολυωνύμων στο $n$ να μην διαιρείται με το $p$. Δεδομένων αυτών των υποθέσεων, εικάζεται ότι υπάρχουν άπειροι θετικοί ακέραιοι $n$ τέτοιοι ώστε όλες οι τιμές αυτών των $k$ πολυωνύμων στο $x=n$ να είναι πρώτοι. Αυτή η εικασία είναι ισοδύναμη με τη γενικευμένη εικασία Ντίκσον και την υπόθεση H του Σίνζελ.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών

Δείτε επίσης

• Θεωρία αριθμών
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Φυσικός λογάριθμος
• Πρώτος αριθμός Μερσέν
• Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί
• e (μαθηματική σταθερά)
• Πρώτος αριθμός
• Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί
• Γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν
• Φυσικός αριθμός
• Εικασία του Λεζάντρ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Υπόθεση H του Σίνζελ
• Συνάρτηση Όιλερ
• Ευκλείδειος χώρος

Βιβλιογραφία

• Grechuk, Bogdan (2024). Polynomial Diophantine Equations: A Systematic Approach. Springer Nature. ISBN 978-3-031-62949-5. 
• Koninck, Jean-Marie De· Doyon, Nicolas (19 Μαΐου 2021). The Life of Primes in 37 Episodes. American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-6489-9. 
• Ramaré, Olivier (3 Μαρτίου 2022). Excursions in Multiplicative Number Theory. Springer Nature. ISBN 978-3-030-73169-4. 
• Johnston, William (1 Απριλίου 2022). The Calculus of Complex Functions. American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-6565-0. 
• Handschuh, Helena· Lysyanskaya, Anna (8 Αυγούστου 2023). Advances in Cryptology – CRYPTO 2023: 43rd Annual International Cryptology Conference, CRYPTO 2023, Santa Barbara, CA, USA, August 20–24, 2023, Proceedings, Part II. Springer Nature. ISBN 978-3-031-38545-2. 
• Ramaré, Olivier (3 Μαρτίου 2022). Excursions in Multiplicative Number Theory. Springer Nature. ISBN 978-3-030-73169-4. 
• Krenn, Stephan· Shulman, Haya (9 Δεκεμβρίου 2020). Cryptology and Network Security: 19th International Conference, CANS 2020, Vienna, Austria, December 14–16, 2020, Proceedings. Springer Nature. ISBN 978-3-030-65411-5. 
• Handschuh, Helena· Lysyanskaya, Anna (8 Αυγούστου 2023). Advances in Cryptology – CRYPTO 2023: 43rd Annual International Cryptology Conference, CRYPTO 2023, Santa Barbara, CA, USA, August 20–24, 2023, Proceedings, Part II. Springer Nature. ISBN 978-3-031-38545-2. 
• Sheppard, Barnaby (24 Ιουλίου 2014). The Logic of Infinity. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-05831-6. 
• Cremona, John· Jones, John (22 Μαρτίου 2024). LuCaNT: LMFDB, Computation, and Number Theory. American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-7260-3. 
• Grechuk, Bogdan (21 Σεπτεμβρίου 2021). Landscape of 21st Century Mathematics: Selected Advances, 2001–2020. Springer Nature. ISBN 978-3-030-80627-9. 

Παραπομπές

• Ed Pegg, Jr., "Bouniakowsky conjecture" από το MathWorld.
• Rupert, Wolfgang M. (1998-08-05). «Reducibility of polynomials f(x, y) modulo p». arXiv:math/9808021
• Bouniakowsky, V. (1857). «Sur les diviseurs numériques invariables des fonctions rationnelles entières». Mém. Acad. Sc. St. Pétersbourg 6: 305–329. 
• Pollack, Paul (2008). «An explicit approach to hypothesis H for polynomials over a finite field». Στο: De Koninck, Jean-Marie· Granville, Andrew· Luca, Florian, επιμ. Anatomy of integers. Based on the CRM workshop, Montreal, Canada, March 13–17, 2006. CRM Proceedings and Lecture Notes. 46. Providence, RI: American Mathematical Society. σελίδες 259–273. ISBN 978-0-8218-4406-9. Zbl 1187.11046. 
• Swan, R. G. (1962). «Factorization of Polynomials over Finite Fields». Pacific Journal of Mathematics 12 (3): 1099–1106. doi:10.2140/pjm.1962.12.1099. https://projecteuclid.org/euclid.pjm/1103036322. 
• Sorini, Laerte (2001). "Un Metodo Euristico per la Soluzione della Congettura di Giuga". Quaderni di Economia, Matematica e Statistica, DESP, Università di Urbino Carlo Bo (in Italian). 68. ISSN 1720-9668.

Πηγές

• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0 
• Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, New York: Copernicus, ISBN 978-0-387-97993-9 
• Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2005), Prime Numbers: A Computational Perspective (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-25282-7 
• Singer, I. M.· Thorpe, J. A. (28 Μαΐου 2015). Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry. Springer. ISBN 978-1-4615-7347-0. 
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0