Εικασία Αγκόχ-Γκιούγκα

Στη θεωρία των αριθμών η εικασία Αγκόχ-Γκιούγκα^[1]^[2] για τους αριθμούς Μπερνούλι B_k υποστηρίζει ότι ο p είναι πρώτος αριθμός αν και μόνο αν

pB_{p-1}\equiv -1{\pmod {p}}.

Η εικασία πήρε το όνομά της από τους Τακάσι Αγκόχ και Τζουζέπε Γκιούγκα.

Ισοδύναμη διατύπωση

Η εικασία όπως διατυπώθηκε παραπάνω οφείλεται στον Τακάσι Αγκόχ (1990)- μια ισοδύναμη διατύπωση οφείλεται στον Τζουζέπε Γκιούγκα, από το 1950, σύμφωνα με την οποία το p είναι πρώτος αριθμός αν και μόνο αν

1^{p-1}+2^{p-1}+\cdots +(p-1)^{p-1}\equiv -1{\pmod {p}}

το οποίο μπορεί επίσης να γραφτεί ως

\sum _{i=1}^{p-1}i^{p-1}\equiv -1{\pmod {p}}.

Είναι τετριμμένο να δείξουμε ότι το να είναι το p πρώτος αριθμός αρκεί για να ισχύει η δεύτερη ισοδυναμία, αφού αν το p είναι πρώτος αριθμός, το μικρό θεώρημα του Φερμά δηλώνει ότι

a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}

για $a=1,2,\dots ,p-1$ , και η ισοδυναμία προκύπτει, αφού $p-1\equiv -1{\pmod {p}}.$

Κατάσταση

Η δήλωση εξακολουθεί να αποτελεί εικασία, καθώς δεν αποδείχθηκε ακόμη ότι αν ένας αριθμός n δεν είναι πρώτος (δηλαδή ο n είναι σύνθετος), τότε ο τύπος δεν ισχύει. Έγινε αποδεκτό ότι ένας σύνθετος αριθμός n ικανοποιεί τον τύπο αν και μόνο αν είναι και αριθμός Καρμάικλ^[3] και αριθμός Γκιούγκα, και ότι αν υπάρχει τέτοιος αριθμός, έχει τουλάχιστον 13.800 ψηφία (Borwein, Borwein, Borwein, Girgensohn 1996^[4]). Ο Λαέρτ Σορίνι, τέλος, σε μια εργασία του 2001 έδειξε ότι ένα πιθανό αντιπαράδειγμα θα πρέπει να είναι ένας αριθμός n μεγαλύτερος από 10³⁶⁰⁶⁷, ο οποίος αντιπροσωπεύει το όριο που πρότεινε ο Μπεντόκι για την τεχνική επίδειξης που προσδιόρισε ο Γκιούγκα στη δική του εικασία.

Σχέση με το θεώρημα του Γουίλσον

Η εικασία Αγκόχ-Γκιούγκα παρουσιάζει ομοιότητα με το θεώρημα του Γουίλσον^[5], το οποίο έχει αποδειχθεί αληθές. Το θεώρημα του Γουίλσον δηλώνει ότι ένας αριθμός p είναι πρώτος αν και μόνο αν

το οποίο μπορεί επίσης να γραφτεί ως

\prod _{i=1}^{p-1}i\equiv -1{\pmod {p}}.

Για έναν περιττό πρώτο αριθμό p έχουμε

\prod _{i=1}^{p-1}i^{p-1}\equiv (-1)^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}},

και για p=2 έχουμε

\prod _{i=1}^{p-1}i^{p-1}\equiv (-1)^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}.

Έτσι, η αλήθεια της εικασίας Αγκόχ-Γκιούγκα σε συνδυασμό με το θεώρημα του Γουίλσον θα έδινε: ένας αριθμός p είναι πρώτος αν και μόνο αν

\sum _{i=1}^{p-1}i^{p-1}\equiv -1{\pmod {p}}

και

\prod _{i=1}^{p-1}i^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}.

Παραδείγματα

Παράδειγμα 1:

Έστω $n:=30.$

Τότε το $n$ dέχει τους πρώτους διαιρέτες $p=2,3$ και $5$ . Ισχύουν τα ακόλουθα::

{\begin{aligned}p=2&\quad {\text{διαιρεί το}}&{\frac {n}{p}}-1={\frac {30}{2}}-1&=&15-1&=&14\\p=3&\quad {\text{διαιρεί το}}&{\frac {n}{p}}-1={\frac {30}{3}}-1&=&10-1&=&9\\p=5&\quad {\text{διαιρεί το}}&{\frac {n}{p}}-1={\frac {30}{5}}-1&=&6-1&=&5\end{aligned}}

Επομένως, $n=30$ είναι ένας αριθμός Γκιούγκα.

Παράδειγμα 2:

Οι πρώτοι επτά αριθμοί Γκιούγκα είναι οι εξής:

30, 858, 1722, 66198, 2214408306, 24423128562, 432749205173838 … ((ακολουθία A007850 στην OEIS))

Τα στοιχεία της Γκιούγκα που είναι γνωστά μέχρι σήμερα

3 παράγοντες:^[6]
- 30 = 2 · 3 · 5
4 παράγοντες:
- 858 = 2 · 3 · 11 · 13
- 1722 = 2 · 3 · 7 · 41
5 παράγοντες:
- 66.198 = 2 · 3 · 11 · 17 · 59
6 παράγοντες:
- 2.214.408.306 = 2 · 3 · 11 · 23 · 31 · 47.057
- 24.423.128.562 = 2 · 3 · 7 · 43 · 3041 · 4447
7 παράγοντες:
- 432.749.205.173.838 = 2 · 3 · 7 · 59 · 163 · 1381 · 775.807
- 14.737.133.470.010.574 = 2 · 3 · 7 · 71 · 103 · 67.213 · 713.863
- 550.843.391.309.130.318 = 2 · 3 · 7 · 71 · 103 · 61.559 · 29.133.437
8 παράγοντες:
- 244.197.000.982.499.715.087.866.346 = 2 · 3 · 11 · 23 · 31 · 47.137 · 28.282.147 · 3.892.535.183
- 554.079.914.617.070.801.288.578.559.178 = 2 · 3 · 11 · 23 · 31 · 47.059 · 2.259.696.349 · 110.725.121.051
- 1.910.667.181.420.507.984.555.759.916.338.506 = 2 · 3 · 7 · 43 · 1831 · 138.683 · 2.861.051 · 1.456.230.512.169.437
10 παράγοντες:
- 4.200.017.949.707.747.062.038.711.509.670.656.632.404.195.753.751.630.609.228.764.416.142.557.211.582.098.432.545.190.323.474.818 = 2 · 3 · 11 · 23 · 31 · 47.059 · 2.217.342.227 · 1.729.101.023.519 · 8.491.659.218.261.819.498.490.029.296.021 · 58.254.480.569.119.734.123.541.298.976.556.403

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

Brewer, George (13 Ιουνίου 2017). Prime Symmetry and Particle Physics. Troubador Publishing Ltd. ISBN 978-1-78803-645-0.
Landman, Bruce (18 Ιουνίου 2014). Integers: Annual Volume 2013. Walter de Gruyter GmbH & Co KG. ISBN 978-3-11-029816-1.
Hong, Hoon· Yap, Chee (1 Αυγούστου 2014). Mathematical Software -- ICMS 2014: 4th International Conference, Seoul, South Korea, August 5-9, 2014, Proceedings. Springer. ISBN 978-3-662-44199-2.
Vinet, Luc (1 Ιανουαρίου 1997). Advances in Mathematical Sciences--CRM's 25 Years. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-7013-6.
Lignon, Daniel (5 Νοεμβρίου 2024). Dictionnaire de (presque) tous les nombres entiers. Editions Ellipses. ISBN 978-2-340-10019-0.
Looijen, Maarten (1 Ιανουαρίου 2016). Over getallen gesproken - Talking about numbers. Van Haren. ISBN 978-94-018-0469-1.
Guy, Richard (9 Μαρτίου 2013). Unsolved Problems in Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-26677-0.
Jameson, G. J. O. (17 Απριλίου 2003). The Prime Number Theorem. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-89110-3.
Hazewinkel, M. (1 Δεκεμβρίου 2013). Encyclopaedia of Mathematics: Monge—Ampère Equation — Rings and Algebras. Springer. ISBN 978-1-4899-3791-9.
Morrison, Karen· Hamshaw, Nick (12 Ιουλίου 2012). Cambridge IGCSE Mathematics Core and Extended Coursebook with CD-ROM. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-60627-2.

Παραπομπές

↑ «Agoh-Giuga conjecture». planetmath.org. Ανακτήθηκε στις 4 Ιανουαρίου 2025.
↑ «A Note on Giuga's Conjecture - Cambridge University Press» (PDF).
↑ «The Prime Glossary: Carmichael number». t5k.org. Ανακτήθηκε στις 4 Ιανουαρίου 2025.
↑ Skerritt, Matthew (2014). Hong, Hoon, επιμ. «Computation of an Improved Lower Bound to Giuga’s Primality Conjecture» (στα αγγλικά). Mathematical Software – ICMS 2014 (Berlin, Heidelberg: Springer): 341–345. doi:10.1007/978-3-662-44199-2_53. ISBN 978-3-662-44199-2. https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-662-44199-2_53.
↑ Dence, Joseph B.· Dence, Thomas P. (20 Ιανουαρίου 1999). Elements of the Theory of Numbers. Academic Press. ISBN 978-0-12-209130-8.
↑ «Primzahlen Zahlentheorie - Bekannte Giuga-Zahlen. - σελίδα 83» (PDF).

Conjectures about prime numbers.
Borwein, D.· Borwein, J. M. (1996). Conjectura de Agoh–Giuga.
Giuga, Giuseppe (1951). "Su una presumibile proprietà caratteristica dei numeri primi". Ist.Lombardo Sci. Lett., Rend., Cl. Sci. Mat. Natur. (in Italian). 83: 511–518. ISSN 0375-9164 Zbl 0045.01801.
Agoh, Takashi (1995). "On Giuga's conjecture". Manuscripta Mathematica. 87 (4): 501–510. doi:10.1007/bf02570490. Zbl 0845.11004.
Borwein, D.; Borwein, J. M.; Borwein, P. B.; Girgensohn, R. (1996). "Giuga's Conjecture on Primality" (PDF). American Mathematical Monthly. 103 (1): 40–50. CiteSeerX 10.1.1.586.1424. doi:10.2307/2975213. JSTOR 2975213. Zbl 0860.11003. Archived from the original (PDF) on 2005-05-31. Retrieved 2005-05-29.
Sorini, Laerte (2001). "Un Metodo Euristico per la Soluzione della Congettura di Giuga". Quaderni di Economia, Matematica e Statistica, DESP, Università di Urbino Carlo Bo (in Italian). 68. ISSN 1720-9668

Πηγές

Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0
Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, New York: Copernicus, ISBN 978-0-387-97993-9
Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2005), Prime Numbers: A Computational Perspective (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-25282-7
Singer, I. M.· Thorpe, J. A. (28 Μαΐου 2015). Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry. Springer. ISBN 978-1-4615-7347-0.
Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4.
Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ
Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0

[1] «Agoh-Giuga conjecture». planetmath.org. Ανακτήθηκε στις 4 Ιανουαρίου 2025.

[2] «A Note on Giuga's Conjecture - Cambridge University Press» (PDF).

[3] «The Prime Glossary: Carmichael number». t5k.org. Ανακτήθηκε στις 4 Ιανουαρίου 2025.

[4] Skerritt, Matthew (2014). Hong, Hoon, επιμ. «Computation of an Improved Lower Bound to Giuga’s Primality Conjecture» (στα αγγλικά). Mathematical Software – ICMS 2014 (Berlin, Heidelberg: Springer): 341–345. doi:10.1007/978-3-662-44199-2_53. ISBN 978-3-662-44199-2. https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-662-44199-2_53.

[5] Dence, Joseph B.· Dence, Thomas P. (20 Ιανουαρίου 1999). Elements of the Theory of Numbers. Academic Press. ISBN 978-0-12-209130-8.

[6] «Primzahlen Zahlentheorie - Bekannte Giuga-Zahlen. - σελίδα 83» (PDF).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]