Εικασία Χίλμπερτ-Πόλια

Στα μαθηματικά, η εικασία Χίλμπερτ-Πόλια δηλώνει ότι τα μη τετριμμένα μηδενικά της συνάρτησης ζήτα του Ρίμαν αντιστοιχούν σε ιδιοτιμές ενός Αυτοσυζυγούς τελεστή. Πρόκειται για μια πιθανή προσέγγιση της υπόθεσης Ρίμαν, μέσω της φασματικής θεωρίας.

Ιστορία

Σε μια επιστολή του προς τον Άντριου Οδλύζκο, με ημερομηνία 3 Ιανουαρίου 1982, ο Τζορτζ Πώλιας ανέφερε ότι ενώ βρισκόταν στο Γκέτινγκεν γύρω στο 1912 με 1914 του ζητήθηκε από τον Έντμουντ Λαντάου ένας φυσικός λόγος για τον οποίο η υπόθεση Ρίμαν θα έπρεπε να είναι αληθής, και πρότεινε ότι αυτό θα συνέβαινε αν τα φανταστικά μέρη t των μηδενικών

{\tfrac {1}{2}}+it

της συνάρτησης Ζήτα του Ρίμαν αντιστοιχούσε σε ιδιοτιμές ενός αυτοσυνδυασμένου τελεστή.^[1] Η πρώτη δημοσιευμένη δήλωση της εικασίας φαίνεται να είναι στο Μοντγκόμερι (1973)^[1]^[2]

Ο Ντέιβιντ Χίλμπερτ δεν εργάστηκε στους κεντρικούς τομείς της αναλυτικής θεωρίας αριθμών, αλλά το όνομά του έγινε γνωστό για την εικασία Χίλμπερτ-Πόλια λόγω μιας ιστορίας που διηγήθηκε ο Ερνστ Χέλινγκερ, μαθητής του Χίλμπερτ, στον Αντρέ Βάιλ. Ο Χέλινγκερ είπε ότι ο Χίλμπερτ ανακοίνωσε στο σεμινάριό του στις αρχές της δεκαετίας του 1900 ότι περίμενε ότι η υπόθεση Ρίμαν θα ήταν συνέπεια της εργασίας του Φρέντολμ για τις ολοκληρωτικές εξισώσεις με συμμετρικό πυρήνα.^[3]^[4]^[5]^[6]

δεκαετία του 1950 και ο τύπος ίχνους του Σέλμπεργκ

Την εποχή της συνομιλίας του Πόλια με τον Λαντάου, δεν υπήρχαν πολλές βάσεις για τέτοιου είδους εικασίες. Ωστόσο, ο Σέλμπεργκ στις αρχές της δεκαετίας του 1950 απέδειξε μια δυαδικότητα μεταξύ του φάσματος μήκους μιας επιφάνειας Ρίμαν και των ιδιοτιμών του τελεστή Λαπλάς. Αυτός ο λεγόμενος τύπος ίχνους του Σέλμπεργκ είχε μια εντυπωσιακή ομοιότητα με τους ρητούς τύπους, γεγονός που έδωσε αξιοπιστία στην εικασία των Χίλμπερτ-Πόλια.

δεκαετία του 1970 και τυχαίοι πίνακες

Ο Χαγκ Μοντγκόμερι διερεύνησε και διαπίστωσε ότι η στατιστική κατανομή των μηδενικών στην κρίσιμη γραμμή έχει μια ορισμένη ιδιότητα, η οποία σήμερα ονομάζεται Υπόθεση συσχέτισης ζεύγους του Μοντγκόμερι. Τα μηδενικά τείνουν να μην συγκεντρώνονται πολύ κοντά μεταξύ τους, αλλά να απωθούνται.^[2] Επισκεπτόμενος το 1972 το Ινστιτούτο Προηγμένων Μελετών, έδειξε αυτό το αποτέλεσμα στον Φρήμαν Ντάυσον, έναν από τους θεμελιωτές της θεωρίας των τυχαίων πινάκων.

Ο Ντάισον είδε ότι η στατιστική κατανομή που βρήκε ο Μοντγκόμερι φαινόταν να είναι η ίδια με την κατανομή συσχέτισης ζεύγους για τις ιδιοτιμές ενός τυχαίου ερμιτιανού πίνακα. Αυτές οι κατανομές έχουν σημασία στη φυσική - οι ιδιοκαταστάσεις μιας Χαμιλτονιανής, παραδείγματος χάριν οι ενεργειακές στάθμες ενός ατομικού πυρήνα, ικανοποιούν τέτοιες στατιστικές. Μεταγενέστερες εργασίες επιβεβαίωσαν σε μεγάλο βαθμό τη σύνδεση μεταξύ της κατανομής των μηδενικών της συνάρτησης ζήτα του Ρίμαν και των ιδιοτιμών ενός τυχαίου ερμιτιανού πίνακα που προέρχεται από το μοναδιαίο σύνολο του Γκαουσιανού, και πιστεύεται πλέον ότι και οι δύο υπακούουν στις ίδιες στατιστικές. Έτσι, η εικασία Χίλμπερτ-Πόλια έχει πλέον μια πιο στέρεη βάση, αν και δεν έχει οδηγήσει ακόμη σε απόδειξη της υπόθεσης Ρίμαν^[7].

Μεταγενέστερες εξελίξεις

Το 1998, ο Αλέν Κον διατύπωσε έναν τύπο ίχνους που είναι στην πραγματικότητα ισοδύναμος με την υπόθεση Ρίμαν. Αυτό ενίσχυσε την αναλογία με τον τύπο ίχνους Σέλμπεργκ σε σημείο που να δίνει ακριβείς δηλώσεις. Δίνει μια γεωμετρική ερμηνεία του ρητού τύπου της θεωρίας αριθμών ως ιχνοστοιχείο στη μη αντιμεταθετική γεωμετρία των τάξεων Αντέλ^[8].

Πιθανή σύνδεση με την κβαντομηχανική

Μια πιθανή σύνδεση του τελεστή Χίλμπερτ - Πόλια με την κβαντομηχανική δόθηκε από τον Πόλια. Ο τελεστής της εικασίας Χίλμπερτ-Πόλια είναι της μορφής ${\tfrac {1}{2}}+iH$ όπου $H$ είναι η Χαμιλτονιανή ενός σωματιδίου μάζας $m$ που κινείται υπό την επίδραση ενός δυναμικού $V(x)$ . Η εικασία Ρίμαν είναι ισοδύναμη με τον ισχυρισμό ότι η Χαμιλτονιανή είναι Ερμιτιανή, ή ισοδύναμα ότι η $V$ είναι πραγματική.

Χρησιμοποιώντας τη θεωρία διαταραχών πρώτης τάξης, η ενέργεια της nth ιδιόμορφης κατάστασης σχετίζεται με την τιμή προσδοκίας του δυναμικού:

E_{n}=E_{n}^{0}+\left.\left\langle \varphi _{n}^{0}\right|V\left|\varphi _{n}^{0}\right.\right\rangle

όπου $E_{n}^{0}$ και $\varphi _{n}^{0}$ είναι οι ιδιοτιμές και οι ιδιοκαταστάσεις της Χαμιλτονιανής του ελεύθερου σωματιδίου. Η εξίσωση αυτή μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι μια ολοκληρωτική εξίσωση Φρέντολμ πρώτου είδους, με τις ενέργειες $E_{n}$ . Τέτοιες ολοκληρωτικές εξισώσεις μπορούν να επιλυθούν με τη βοήθεια του πυρήνα επίλυσης, έτσι ώστε το δυναμικό να μπορεί να γραφεί ως εξής

V(x)=A\int _{-\infty }^{\infty }\left(g(k)+{\overline {g(k)}}-E_{k}^{0}\right)\,R(x,k)\,dk

όπου $R(x,k)$ είναι ο πυρήνας της επίλυσης, $A$ είναι μια πραγματική σταθερά και

g(k)=i\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}-\rho _{n}\right)\delta (k-n)

όπου $\delta (k-n)$ είναι η συνάρτηση δέλτα του Ντιράκ, και οι $\rho _{n}$ είναι οι «μη τετριμμένες» ρίζες της συνάρτησης ζήτα $\zeta (\rho _{n})=0$ .

Οι Μάικλ Μπέρι και Τζόναθαν Κίτινγκ υπέθεσαν ότι η Χαμιλτονιανή H είναι στην πραγματικότητα κάποια κβάντωση της κλασικής Χαμιλτονιανής xp όπου p είναι η κανονική ορμή που σχετίζεται με το x^[9] Ο απλούστερος ερμιτιανός τελεστής που αντιστοιχεί στην xp είναι

{\hat {H}}={\tfrac {1}{2}}({\hat {x}}{\hat {p}}+{\hat {p}}{\hat {x}})=-i\left(x{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}+{\frac {1}{2}}\right).

Αυτή η βελτίωση της εικασίας Χίλμπερτ-Πόλια είναι γνωστή ως «εικασία Μπέρι» (ή «εικασία Μπέρι-Κίτινγκ»). Από το 2008, απέχει ακόμη αρκετά από το να είναι συγκεκριμένη, καθώς δεν είναι σαφές σε ποιο χώρο θα πρέπει να ενεργεί αυτός ο τελεστής για να έχουμε τη σωστή δυναμική, ούτε πώς να τον κανονικοποιήσουμε για να έχουμε τις αναμενόμενες λογαριθμικές διορθώσεις. Οι Μπέρι και Κίτινγκ υπέθεσαν ότι εφόσον αυτός ο τελεστής είναι αναλλοίωτος υπό διαστολές, ίσως η οριακή συνθήκη f(nx) = f(x) για ακέραιο n μπορεί να βοηθήσει να πάρουμε τα σωστά ασυμπτωτικά αποτελέσματα που ισχύουν για μεγάλα n.

{\frac {1}{2}}+i{\frac {2\pi n}{\log n}}.

^[10]

Τον Μάρτιο του 2017 δημοσιεύθηκε μια εργασία των Καρλ Μ. Μπέντερ, Ντόρτζε Κ. Μπρόντι και Μάρκους Π. Μύλλερ ^[11] η οποία βασίζεται στην προσέγγιση του Μπέρι στο πρόβλημα. Εισήγαγαν τον τελεστή

{\hat {H}}={\frac {1}{1-e^{-i{\hat {p}}}}}\left({\hat {x}}{\hat {p}}+{\hat {p}}{\hat {x}}\right)\left(1-e^{-i{\hat {p}}}\right)

ο οποίος, όπως ισχυρίστηκαν, ικανοποιούσε κάποιες τροποποιημένες εκδοχές των όρων της εικασίας Χίλμπερτ-Πόλια. Ο Ζαν Μπελισάρ επέκρινε την εργασία αυτή^[12] και οι συγγραφείς απάντησαν με διευκρινίσεις.^[13] Επιπλέον, ο Φρέντερικ Μόξλεϊ προσέγγισε το πρόβλημα με μια εξίσωση Σρέντινγκερ^[14]

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

Broughan, Kevin (2 Νοεμβρίου 2017). Equivalents of the Riemann Hypothesis: Volume 1, Arithmetic Equivalents. Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-19541-6.
Garcia, Stephan Ramon· Miller, Steven J. (13 Ιουνίου 2019). 100 Years of Math Milestones: The Pi Mu Epsilon Centennial Collection. American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-3652-0.
Jr, John Forbes Nash· Rassias, Michael Th (5 Ιουλίου 2016). Open Problems in Mathematics. Springer. ISBN 978-3-319-32162-2.
Crandall, Richard· Pomerance, Carl B. (7 Απριλίου 2006). Prime Numbers: A Computational Perspective. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-28979-3.
Mayergoyz, I. D. (2013). Plasmon Resonances in Nanoparticles. World Scientific. ISBN 978-981-4350-65-5.
Mezzadri, F.· Snaith, N. C. (21 Ιουνίου 2005). Recent Perspectives in Random Matrix Theory and Number Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-62058-1.
Lemos, Márcia (7 Μαρτίου 2017). Exchanges between Literature and Science from the 1800s to the 2000s: Converging Realms. Cambridge Scholars Publishing. ISBN 978-1-4438-7605-6.
Meckes, Elizabeth S. (1 Αυγούστου 2019). The Random Matrix Theory of the Classical Compact Groups. Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-31799-3.
Ivić, A. (2013). The Theory of Hardy's Z-Function. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-02883-8.
Schiff, Joel L. (18 Νοεμβρίου 2020). The Mathematical Universe: From Pythagoras to Planck. Springer Nature. ISBN 978-3-030-50649-0.
Albers, Donald· Alexanderson, Gerald L. (18 Σεπτεμβρίου 2008). Mathematical People: Profiles and Interviews. CRC Press. ISBN 978-1-4398-6517-0.

Παραπομπές

↑ ^1,0 ^1,1 Odlyzko, Andrew, Correspondence about the origins of the Hilbert–Polya Conjecture, http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/polya/index.html .
↑ ^2,0 ^2,1 Montgomery, Hugh L. (1973), «The pair correlation of zeros of the zeta function», Analytic number theory, Proc. Sympos. Pure Math., XXIV, Providence, R.I.: American Mathematical Society, σελ. 181–193 .
↑ Broughan, K. (2017), Equivalents of the Riemann Hypothesis Volume 2: Analytic Equivalents, Cambridge University Press, σελ. 192, ISBN 978-1107197121
↑ Dieudonne, J. (1981), History of Functional Analysis, Instituto de Matemática Pura e Aplicada do Conselho Nacional de Pesquisas, σελ. 106, ISBN 978-0444861481
↑ Endres, S.; Steiner, F. (2009), «The Berry–Keating operator on $L^{2}({\mathbb {R} }_{>},{\rm {d}}x)$ and on compact quantum graphs with general self-adjoint realizations», Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 43 (9): 37, doi:10.1088/1751-8113/43/9/095204
↑ Simon, B. (2015), Operator Theory: A Comprehensive Course in Analysis, Part 4, American Mathematical Soc., σελ. 42, ISBN 978-1-4704-1103-9
↑ Rudnick, Zeev; Sarnak, Peter (1996), «Zeros of Principal L-functions and Random Matrix Theory», Duke Mathematical Journal 81 (2): 269–322, doi:10.1215/s0012-7094-96-08115-6, http://www.math.tau.ac.il/~rudnick/papers/zeta.dvi.gz .
↑ Connes, Alain (1999). «Trace formula in noncommutative geometry and the zeros of the Riemann zeta function». Selecta Mathematica 5: 29–106. doi:10.1007/s000290050042. .
↑ Berry, Michael V.; Keating, Jonathan P. (1999a), «H = xp and the Riemann zeros», στο: Keating, Jonathan P.; Khmelnitski, David E.; Lerner, Igor V., επιμ., Supersymmetry and Trace Formulae: Chaos and Disorder, New York: Plenum, σελ. 355–367, ISBN 978-0-306-45933-7, http://empslocal.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/berry-keating2.pdf .
↑ Berry, Michael V.; Keating, Jonathan P. (1999b), «The Riemann zeros and eigenvalue asymptotics», SIAM Review 41 (2): 236–266, doi:10.1137/s0036144598347497, http://empslocal.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/berry-keating1.pdf .
↑ Bender, Carl M.; Brody, Dorje C.; Müller, Markus P. (2017), «Hamiltonian for the Zeros of the Riemann Zeta Function», Physical Review Letters 118 (13): 130201, doi:10.1103/PhysRevLett.118.130201, PMID 28409977 .
↑ Belissard, Jean (2017). «Comment on "Hamiltonian for the Zeros of the Riemann Zeta Function"».
arXiv:1704.02644
[quant-ph]
.
↑ Bender, Carl M.; Brody, Dorje C.; Müller, Markus P. (2017). «Comment on 'Comment on "Hamiltonian for the zeros of the Riemann zeta function"'». arXiv:1705.06767 quant-ph
↑ Moxley, Frederick (2017). «A Schrödinger equation for solving the Bender-Brody-Müller conjecture». AIP Conference Proceedings. 1905. 13Th Imt-Gt International Conference on Mathematics, pp. 030024. doi:10.1063/1.5012170. Bibcode: 2017AIPC.1905c0024M.

Aneva, B. (1999), «Symmetry of the Riemann operator», Physics Letters B 450 (4): 388–396, doi:10.1016/s0370-2693(99)00172-0, http://www.secamlocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatkin/zeta/aneva.pdf .

Wolf, M. (2020), «Will a physicist prove the Riemann hypothesis?», Reports on Progress in Physics 83 (4): 036001, doi:10.1088/1361-6633/ab3de7, PMID 31437818, https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1361-6633/ab3de7 .

Elizalde, Emilio (1994), Zeta regularization techniques with applications, World Scientific, ISBN 978-981-02-1441-8 . Here the author explains in what sense the problem of Hilbert–Polya is related with the problem of the Gutzwiller trace formula and what would be the value of the sum $\exp(i\gamma )$ taken over the imaginary parts of the zeros.
Pollack, Paul (2008). «An explicit approach to hypothesis H for polynomials over a finite field». Στο: De Koninck, Jean-Marie· Granville, Andrew· Luca, Florian, επιμ. Anatomy of integers. Based on the CRM workshop, Montreal, Canada, March 13–17, 2006. CRM Proceedings and Lecture Notes. 46. Providence, RI: American Mathematical Society. σελίδες 259–273. ISBN 978-0-8218-4406-9. Zbl 1187.11046.

Πηγές

Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0
Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, New York: Copernicus, ISBN 978-0-387-97993-9
Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2005), Prime Numbers: A Computational Perspective (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-25282-7
Singer, I. M.· Thorpe, J. A. (28 Μαΐου 2015). Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry. Springer. ISBN 978-1-4615-7347-0.
Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4.
Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ
Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0

[odlyzko-1] 1,0 ^1,1 Odlyzko, Andrew, Correspondence about the origins of the Hilbert–Polya Conjecture, http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/polya/index.html .

[montgomery-2] 2,0 ^2,1 Montgomery, Hugh L. (1973), «The pair correlation of zeros of the zeta function», Analytic number theory, Proc. Sympos. Pure Math., XXIV, Providence, R.I.: American Mathematical Society, σελ. 181–193 .

[broughan-3] Broughan, K. (2017), Equivalents of the Riemann Hypothesis Volume 2: Analytic Equivalents, Cambridge University Press, σελ. 192, ISBN 978-1107197121

[dieudonne-4] Dieudonne, J. (1981), History of Functional Analysis, Instituto de Matemática Pura e Aplicada do Conselho Nacional de Pesquisas, σελ. 106, ISBN 978-0444861481

[5] Endres, S.; Steiner, F. (2009), «The Berry–Keating operator on $L^{2}({\mathbb {R} }_{>},{\rm {d}}x)$ and on compact quantum graphs with general self-adjoint realizations», Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 43 (9): 37, doi:10.1088/1751-8113/43/9/095204

[simon-6] Simon, B. (2015), Operator Theory: A Comprehensive Course in Analysis, Part 4, American Mathematical Soc., σελ. 42, ISBN 978-1-4704-1103-9

[7] Rudnick, Zeev; Sarnak, Peter (1996), «Zeros of Principal L-functions and Random Matrix Theory», Duke Mathematical Journal 81 (2): 269–322, doi:10.1215/s0012-7094-96-08115-6, http://www.math.tau.ac.il/~rudnick/papers/zeta.dvi.gz .

[8] Connes, Alain (1999). «Trace formula in noncommutative geometry and the zeros of the Riemann zeta function». Selecta Mathematica 5: 29–106. doi:10.1007/s000290050042. .

[bk99a-9] Berry, Michael V.; Keating, Jonathan P. (1999a), «H = xp and the Riemann zeros», στο: Keating, Jonathan P.; Khmelnitski, David E.; Lerner, Igor V., επιμ., Supersymmetry and Trace Formulae: Chaos and Disorder, New York: Plenum, σελ. 355–367, ISBN 978-0-306-45933-7, http://empslocal.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/berry-keating2.pdf .

[10] Berry, Michael V.; Keating, Jonathan P. (1999b), «The Riemann zeros and eigenvalue asymptotics», SIAM Review 41 (2): 236–266, doi:10.1137/s0036144598347497, http://empslocal.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/berry-keating1.pdf .

[11] Bender, Carl M.; Brody, Dorje C.; Müller, Markus P. (2017), «Hamiltonian for the Zeros of the Riemann Zeta Function», Physical Review Letters 118 (13): 130201, doi:10.1103/PhysRevLett.118.130201, PMID 28409977 .

[12] Belissard, Jean (2017). «Comment on "Hamiltonian for the Zeros of the Riemann Zeta Function"».
arXiv:1704.02644
[quant-ph]
.

[13] Bender, Carl M.; Brody, Dorje C.; Müller, Markus P. (2017). «Comment on 'Comment on "Hamiltonian for the zeros of the Riemann zeta function"'». arXiv:1705.06767 quant-ph

[14] Moxley, Frederick (2017). «A Schrödinger equation for solving the Bender-Brody-Müller conjecture». AIP Conference Proceedings. 1905. 13Th Imt-Gt International Conference on Mathematics, pp. 030024. doi:10.1063/1.5012170. Bibcode: 2017AIPC.1905c0024M.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]