Εικασία του Αρτέν για αρχικές ρίζες

Στη θεωρία των αριθμών, η εικασία του Αρτέν για τις αρχικές ρίζες δηλώνει ότι ένας δεδομένος ακέραιος α που δεν είναι ούτε τετραγωνικός αριθμός ούτε -1 είναι μια αρχική ρίζα σε άπειρους πρώτους αριθμούς p. Η εικασία αποδίδει επίσης μια ασυμπτωτική πυκνότητα σε αυτούς τους πρώτους αριθμούς. Αυτή η εικαστική πυκνότητα ισούται με τη σταθερά του Αρτέν ή ένα ρητό πολλαπλάσιο αυτής.

Η εικασία διατυπώθηκε από τον Εμίλ Αρτέν στον Χέλμουτ Χάσε στις 27 Σεπτεμβρίου 1927, σύμφωνα με το σημειωματάριο του τελευταίου. Η εικασία παραμένει άλυτη μέχρι το 2024. Στην πραγματικότητα, δεν υπάρχει καμία μοναδική τιμή του a για την οποία να αποδεικνύεται η εικασία του Αρτέν.

Σχηματισμός

Έστω α ένας ακέραιος αριθμός που δεν είναι τετραγωνικός και δεν είναι −1. Ας γράψουμε a = a₀b² με a₀ χωρίς τετράγωνο. Συμβολίζουμε με S(a)) το σύνολο των πρώτων αριθμών p που είναι τέτοιοι ώστε ο a να είναι μια αρχική ρίζα modulo p. Τότε η εικασία δηλώνει

1. Η S(a) έχει θετική ασυμπτωτική πυκνότητα μέσα στο σύνολο των πρώτων αριθμών. Ειδικότερα, το S(a) είναι άπειρο.
2. Υπό τις προϋποθέσεις ότι το a δεν είναι τέλεια δύναμη και ότι το a₀ δεν είναι συμβατό με το 1 modulo 4 (ακολουθία A085397 στην OEIS), η πυκνότητα αυτή είναι ανεξάρτητη από το a και ισούται με τη σταθερά του Αρτέν, η οποία μπορεί να εκφραστεί ως άπειρο γινόμενο

1. $C_{\mathrm {Artin} }=\prod _{p\ \mathrm {prime} }\left(1-{\frac {1}{p(p-1)}}\right)=0.3739558136\ldots$ (ακολουθία A005596 στην OEIS).

Παρόμοιοι εικαστικοί τύποι γινομένων υπάρχουν για την πυκνότητα όταν το a δεν ικανοποιεί τις παραπάνω συνθήκες. Σε αυτές τις περιπτώσεις, η εικαστική πυκνότητα είναι πάντα ένα ρητό πολλαπλάσιο του C_Artin.

Παράδειγμα

Παραδείγματος χάριν, ας πάρουμε a = 2. Η εικασία ισχυρίζεται ότι το σύνολο των πρώτων p για το οποίο το 2 είναι μία αρχική ρίζα έχει την παραπάνω πυκνότητα C_Artin. Το σύνολο αυτών των πρώτων αριθμών είναι (ακολουθία A001122 στην OEIS))

S(2) = {3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491, ...}.

Διαθέτει 38 στοιχεία μικρότερα από 500 και υπάρχουν 95 πρώτοι αριθμοί μικρότεροι από 500. Η αναλογία (η οποία υποθετικά τείνει προς C_Artin)) είναι 38/95 = 2/5 = 0.4.

Μερικά αποτελέσματα

Το 1967, ο Κρίστοφερ Χούλεϊ δημοσίευσε μια υπό όρους απόδειξη της εικασίας, υποθέτοντας ορισμένες περιπτώσεις της γενικευμένης υπόθεσης Ρίμαν.

Χωρίς τη γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν, δεν υπάρχει μία μόνο τιμή του a για την οποία να αποδεικνύεται η εικασία του Αρτέν. Ο ΝΤ. Ρ. Χιθ-Μπράουν απέδειξε το 1986 (Πόρισμα 1) ότι τουλάχιστον μία από τις τιμές 2, 3 ή 5 είναι αρχική ρίζα modulo απείρως πολλούς πρώτους p. Απέδειξε επίσης (Πόρισμα 2) ότι υπάρχουν το πολύ δύο πρώτοι για τους οποίους η εικασία του Αρτέν αποτυγχάνει.

Μερικές παραλλαγές του προβλήματος του Αρτέν

Ελλειπτική καμπύλη

Μια ελλειπτική καμπύλη $E$ που δίνεται από τη σχέση $y^{2}=x^{3}+ax+b$, οι Λανγκ και Τρότερ έδωσαν μια εικασία για ρητά σημεία στην $E(\mathbb {Q} )$ ανάλογη με την εικασία της αρχικής ρίζας του Αρτέν.

Συγκεκριμένα, είπαν ότι υπάρχει μια σταθερά $C_{E}$ για ένα δεδομένο σημείο άπειρης τάξης $P$ στο σύνολο των ρητών σημείων $E(\mathbb {Q} )$ τέτοια ώστε ο αριθμός $N(P)$ των πρώτων αριθμών ($p\leq x$) για τους οποίους η αναγωγή του σημείου $P{\pmod {p}}$ που συμβολίζεται με ${\bar {P}}$ παράγει το σύνολο των σημείων του $\mathbb {F_{p}}$ στο ${\bar {E}}(\mathbb {F_{p}} )$, δίνεται από τη σχέση $N(P)\sim C_{E}\left({\frac {x}{\log x}}\right)$., Εδώ αποκλείουμε τους πρώτους αριθμούς που διαιρούν τους παρονομαστές των συντεταγμένων του $P$.

Οι Γκούπτα και Μέρτι απέδειξαν την εικασία των Λανγκ και Τρότερ για το $E/\mathbb {Q}$ με μιγαδικό πολλαπλασιασμό υπό τη Γενικευμένη Υπόθεση Ρίμαν, για πρώτους που χωρίζονται στο σχετικό φανταστικό τετραγωνικό σώμα.

Ακριβής διάταξη

Ο Κρισναμούρτι πρότεινε το ερώτημα πόσο συχνά η περίοδος του δεκαδικού αναπτύγματος $1/p$ ενός πρώτου αριθμού $p$ είναι άρτια.

Ο ισχυρισμός είναι ότι η περίοδος του δεκαδικού αναπτύγματος ενός πρώτου στη βάση $g$ είναι άρτια αν και μόνο αν $g^{\left({\frac {p-1}{2^{j}}}\right)}\not \equiv 1{\bmod {p}}$ όπου $j\geq 1$ and $j$ είναι μοναδικό και p είναι τέτοιο ώστε $p\equiv 1+2^{j}\mod {2^{j}}$.

Το αποτέλεσμα αποδείχθηκε από τον Χάσε το 1966.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών

Δείτε επίσης

• Θεωρία αριθμών
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Φυσικός λογάριθμος
• Πρώτος αριθμός Μερσέν
• e (μαθηματική σταθερά)
• Πρώτος αριθμός
• Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί
• Γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν
• Φυσικός αριθμός
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Αριθμητική πρόοδος
• Συνάρτηση Όιλερ
• Ευκλείδειος χώρος

Βιβλιογραφία

• Kanemitsu, Shigeru· Jia, Chaohua (14 Μαρτίου 2013). Number Theoretic Methods: Future Trends. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-3675-5. 
• Frei, Günther· Lemmermeyer, Franz (16 Ιανουαρίου 2014). Emil Artin and Helmut Hasse: The Correspondence 1923-1958. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-0348-0715-9. 
• Narkiewicz, Wladyslaw (29 Ιουνίου 2013). Elementary and Analytic Theory of Algebraic Numbers. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-07001-7. 
• Paterson, Kenneth G.· Applications, Institute of Mathematics and Its (3 Δεκεμβρίου 2003). Cryptography and Coding: 9th IMA International Conference, Cirencester, UK, December 16-18, 2003, Proceedings. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-20663-7. 
• Bennett, M. A.· Berndt, Bruce (17 Μαρτίου 2023). Number Theory for the Millennium III. CRC Press. ISBN 978-0-429-61141-4. 
• Sándor, József· Mitrinovic, Dragoslav S. (17 Νοεμβρίου 2005). Handbook of Number Theory I. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4020-4215-7. 
• Rosen, Michael (18 Απριλίου 2013). Number Theory in Function Fields. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-6046-0. 
• Kraft, James S.· Washington, Lawrence C. (19 Απριλίου 2016). An Introduction to Number Theory with Cryptography. CRC Press. ISBN 978-1-4822-1442-0. 
• Meyers, Robert A. (5 Οκτωβρίου 2011). Mathematics of Complexity and Dynamical Systems. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4614-1805-4. 
• Schinzel, Andrzej (2007). Selecta: Diophantine problems and polynomials. European Mathematical Society. ISBN 978-3-03719-038-8. 

Παραπομπές

• Berndt, Bruce (31 Ιουλίου 2024). Number Theory for the Millennium II. CRC Press. ISBN 978-0-429-61140-7. 
• Dickson, L. E. (1919). History of the Theory of Numbers. Carnegie Institute of Washington. σελ. 31. OL 6616242M.  Reprinted by Chelsea Publishing, New York, 1971, ISBN 0-8284-0086-5.
• Posamentier, Alfred S. (1 Ιουλίου 2022). The Secret Lives of Numbers: Numerals and Their Peculiarities in Mathematics and Beyond. Rowman & Littlefield. ISBN 978-1-63388-761-9. 
• Lovász, László· Ruzsa, Imre (24 Ιανουαρίου 2014). Erdös Centennial. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-39286-3. 

Πηγές

• Alphonse de Polignac, Recherches nouvelles sur les nombres premiers. Comptes Rendus des Séances de l'Académie des Sciences (1849)
• «Artin's conjecture for primitive roots - Queen's University» (PDF). 
• Weisstein, Eric W., "ArtinsConstant" από το MathWorld.
• Singer, I. M.· Thorpe, J. A. (28 Μαΐου 2015). Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry. Springer. ISBN 978-1-4615-7347-0. 
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0