Κατασκευή νεύσεως

Κατασκευή νεύσεως

Στη γεωμετρία, η Κατασκευή νεύσεως ή απλά νεύσις, είναι μια γεωμετρική μέθοδος κατασκευής που χρησιμοποιήθηκε στην αρχαιότητα από τους Έλληνες μαθηματικούς.

Γεωμετρική κατασκευή

Η κατασκευή νεύσεως συνίσταται στην εισαγωγή ενός στοιχειώδους μήκους γραμμής (a) μεταξύ δύο συγκεκριμένων ευθειών (l και m), έτσι ώστε το στοιχειώδες μήκος ή η προέκτασή του να διέρχεται από ένα συγκεκριμένο σημείο P. Με άλλα λόγια, το ένα άκρο του στοιχειώδους μήκους πρέπει να βρίσκεται πάνω στο l, το άλλο πάνω στο m, ενώ το στοιχειώδες μήκος είναι «κεκλιμένο» προς το P.

Το σημείο P ονομάζεται πόλος νεύσεως, η γραμμή l η κατευθυντήρια ή κατευθυντήρια γραμμή και η γραμμή m η γραμμή σύλληψης. Το μήκος a ονομάζεται διάσταση.

Μια κατασκευή νεύσεως μπορεί να πραγματοποιηθεί με τη βοήθεια ενός σημαδεμένου χάρακα που περιστρέφεται γύρω από το σημείο P (αυτό μπορεί να γίνει με την τοποθέτηση μιας καρφίτσας στο σημείο P και στη συνέχεια πιέζοντας τον χάρακα πάνω στην καρφίτσα). Στο σχήμα το ένα άκρο του χάρακα σημειώνεται με ένα κίτρινο μάτι με σταυρόνημα: αυτό είναι η αρχή της διαίρεσης της κλίμακας στο χάρακα. Μια δεύτερη σήμανση στο χάρακα (το μπλε μάτι) υποδεικνύει την απόσταση a από την αρχή. Το κίτρινο μάτι μετακινείται κατά μήκος της γραμμής l, έως ότου το μπλε μάτι συμπέσει με τη γραμμή m. Η θέση του στοιχειώδους μήκους που βρέθηκε με αυτόν τον τρόπο εμφανίζεται στο σχήμα ως σκούρα μπλε ράβδος.

Τριχοτόμηση μιας γωνίας

Νεύσις για τριχοτόμηση γωνίας

Έστω l η οριζόντια γραμμή στο διπλανό διάγραμμα. Η γωνία a (αριστερά του σημείου B) είναι το αντικείμενο της τριχοτόμησης. Αρχικά, σχεδιάζεται ένα σημείο Α στην ακτίνα της γωνίας, σε απόσταση μιας μονάδας από το Β. Σχεδιάζεται κύκλος ακτίνας ΑΒ. Στη συνέχεια, μπαίνει στο παιχνίδι η σημειολογία του χάρακα: το ένα σημάδι του χάρακα τοποθετείται στο Α και το άλλο στο Β. Κρατώντας τον χάρακα (αλλά όχι το σημάδι) να αγγίζει το Α, ο χάρακας ολισθαίνει και περιστρέφεται μέχρι το ένα σημάδι να βρεθεί πάνω στον κύκλο και το άλλο πάνω στην ευθεία I. Το σημάδι στον κύκλο χαρακτηρίζεται ως C και το σημάδι στη γραμμή χαρακτηρίζεται ως D. Η γωνία b = CDB είναι ίση με το ένα τρίτο της γωνίας a.

Χρήση Νεύσεως

Η Κατασκευή νεύσεως ήταν σημαντική, διότι μερικές φορές παρέχουν ένα μέσο για την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων που δεν είναι δυνατόν να λυθούν μόνο με τη βοήθεια διαβήτη και χάρακα. Παραδείγματα είναι η τριχοτόμηση οποιασδήποτε γωνίας σε τρία ίσα μέρη και ο διπλασιασμός του κύβου. Μαθηματικοί όπως ο Αρχιμήδης ο Συρακούσιος (287-212 π.Χ.) και ο Πάππος ο Αλεξανδρεύς (290-350 μ.Χ.) χρησιμοποιούσαν ελεύθερα τη Κατασκευή νεύσεως - ο Σερ Ισαάκ Νεύτων (1642-1726) ακολούθησε τη γραμμή σκέψης τους και χρησιμοποίησε επίσης κατασκευές νεύσεων. Παρά ταύτα, σταδιακά η τεχνική αυτή έπαψε να χρησιμοποιείται.

Κανονικά πολύγωνα

Το 2002, ο Α. Μπαραγκάρ έδειξε ότι κάθε σημείο που μπορεί να κατασκευαστεί με σημειωμένο χάρακα και πυξίδα βρίσκεται σε έναν πύργο πεδίων πάνω από το $\mathbb {Q}$,

$\mathbb {Q} =K_{0}\subset K_{1}\subset \dots \subset K_{n}=K$, έτσι ώστε ο βαθμός της επέκτασης σε κάθε βήμα να μην είναι μεγαλύτερος από 6. Από όλα τα πολύγωνα πρώτης δύναμης κάτω από το 128-gons, αυτό είναι αρκετό για να δείξουμε ότι το κανονικό 23-, 29-, 43-, 47-, 49-, 53-, 59-, 67-, 71-, 79-, 83-, 89-, 103-, 107-, 113-, 121-, και 127-gons δεν μπορούν να κατασκευαστούν με κατασκευή νεύσεως (Αν ένα κανονικό p-gon είναι κατασκευάσιμο, τότε $\zeta _{p}=e^{\frac {2\pi i}{p}}$είναι κατασκευάσιμο, και σε αυτές τις περιπτώσεις το p - 1 έχει έναν πρώτο παράγοντα μεγαλύτερο του 5.) Τα 3-, 4-, 5-, 6-, 8-, 10-, 12-, 15-, 16-, 17-, 20-, 24-, 30-, 32-, 34-, 40-, 48-, 51-, 60-, 64-, 68-, 80-, 85-, 96-, 102-, 120- και 128-gons μπορούν να κατασκευαστούν μόνο με μια ευθεία και πυξίδα, και τα 7-, 9-, 13-, 14-, 18-, 19-, 21-, 26-, 27-, 28-, 35-, 36-, 37-, 38-, 39-, 42-, 52-, 54-, 56-, 57-, 63-, 65-, 70-, 72-, 73-, 74-, 76-, 78-, 81-, 84-, 91-, 95-, 97-, 104-, 105-, 108-, 109-, 111-, 112-, 114-, 117-, 119-, και 126-gons με γωνιακή τριχοτόμηση. Ωστόσο, δεν είναι γενικά γνωστό αν όλα τα πεμπτοβάθμια (πολυώνυμα πέμπτης τάξης) έχουν ρίζες κατασκευάσιμες νεύσεων, κάτι που είναι σχετικό για τα 11-, 25-, 31-, 41-, 61-, 101-, και 125-gons.. Οι Μπέντζαμιν και Σνάιντερ έδειξαν το 2014 ότι το κανονικό 11-gon είναι κατασκευάσιμη νεύσεως. τα 25-, 31-, 41-, 61-, 101- και 125-gons παραμένουν ανοιχτά προβλήματα. Γενικότερα, η κατασκευασιμότητα όλων των δυνάμεων του 5 μεγαλύτερων από το ίδιο το 5 με σημειωμένο χάρακα και διαβήτη είναι ένα ανοιχτό πρόβλημα, μαζί με όλους τους πρώτους αριθμούς μεγαλύτερους από το 11 της μορφής p = 2^r3^s5^t + 1 όπου t > 0 (όλοι οι πρώτοι αριθμοί που είναι μεγαλύτεροι από το 11 και ίσοι με έναν περισσότερο από έναν κανονικό αριθμό που διαιρείται με το 10).

Μειωμένη δημοτικότητα

Ο ιστορικός των μαθηματικών Τ. Λ. Χιθ (T. L. Heath), πρότεινε ότι ο Έλληνας μαθηματικός Οινοπίδης (περ. 440 π.Χ.) ήταν ο πρώτος που θέσπισε την κατασκευή με διαβήτη και χάρακα για την κατασκευή νεύσεως . Η αρχή της αποφυγής της κατασκευής νεύσεως ίσως διαδόθηκε από τον Ιπποκράτη (περ. 430 π.Χ.), ο οποίος καταγόταν από το ίδιο νησί με τον Οινοπίδη και ο οποίος ήταν -από όσο γνωρίζουμε- ο πρώτος που έγραψε ένα συστηματικά οργανωμένο εγχειρίδιο γεωμετρίας. Εκατό χρόνια μετά από αυτόν ο Ευκλείδης απέφευγε και αυτός τις κατασκευές νεύσεων στο πολύ σημαδιακό εγχειρίδιό του, τα Στοιχεία.

Η επόμενη επίθεση κατά της Κατασκευής νεύσεως ήρθε όταν, στον τέταρτο αιώνα π.Χ., ο ιδεαλισμός του Πλάτωνος κέρδισε έδαφος. Υπό την επιρροή του αναπτύχθηκε μια ιεραρχία τριών κατηγοριών γεωμετρικών κατασκευών. Κατεβαίνοντας από τις «αφηρημένες και ευγενείς» στις «μηχανικές και γήινες», οι τρεις κατηγορίες ήταν οι εξής:

1. κατασκευές μόνο με ευθείες γραμμές και κύκλους («διαβήτη» και χάρακα),
2. κατασκευές που επιπλέον χρησιμοποιούν κωνικές τομές (ελλείψεις, παραβολές, υπερβολές),
3. κατασκευές που χρειάζονταν ακόμη άλλα μέσα κατασκευής, όπως π.χ. νεύσις.

Τελικά, η χρήση Κατασκευής νεύσεως κρίθηκε αποδεκτή μόνο όταν οι δύο άλλες, ανώτερες κατηγορίες κατασκευών δεν προσέφεραν λύση. Η Κατασκευή νεύσεως έγινε ένα είδος έσχατης λύσης που επικαλούνταν μόνο όταν όλες οι άλλες, πιο αξιοσέβαστες, μέθοδοι είχαν αποτύχει. Η χρήση της Κατασκευής νεύσεως εκεί όπου θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν άλλες μέθοδοι κατασκευής στιγματίστηκε από τον ύστερο Έλληνα μαθηματικό Πάππος της Αλεξάνδρειας (γρ. 325 μ.Χ.) ως «όχι αμελητέο σφάλμα».

Δημοσιεύσεις

• Bell, John L. (1999). The Art of the Intelligible: An Elementary Survey of Mathematics in its Conceptual Development. Kluwer. ISBN 0-7923-5972-0. 
• Euclid (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements, Translated from the Text of Heiberg, with Introduction and Commentary. 1 (Books I and II). Μτφρ. Heath, Thomas L. (Reprint of 2nd (1925) έκδοση). Dover.  On-line text at archive.org
• Bourke, Paul (Ιουλίου 1997). «Calculating the area and centroid of a polygon». 
• Simon Plouffe (1998). «The Computation of Certain Numbers Using a Ruler and Compass». Journal of Integer Sequences 1: 13. ISSN 1530-7638. Bibcode: 1998JIntS...1...13P. http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/compass.html. 

• Avron, Arnon (1990). «On strict strong constructibility with a compass alone». Journal of Geometry 38 (1–2): 12–15. doi:10.1007/BF01222890. 

• Boyer, Carl B. (1985), A History of Mathematics, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-02391-5 
• Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (2011), A History of Mathematics (3rd έκδοση), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-471-54397-8, https://www.wiley.com/en-us/A+History+of+Mathematics%2C+3rd+Edition-p-9780470525487 

• Akopyan, A.V.· Zaslavsky, A.A. (2007). Geometry of Conics. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4323-9. 
• Artzy, Rafael (2008), Linear Geometry, Dover, ISBN 978-0-486-46627-9 
• Boyer, Carl B. (2004), History of Analytic Geometry, Dover, ISBN 978-0-486-43832-0, https://books.google.com/books?id=2T4i5fXZbOYC 
• Brannan, David A.; Esplen, Matthew F.; Gray, Jeremy J. (1999), Geometry, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-59787-6, https://books.google.com/books?id=q49lhAzXTFEC 
• Pickover, Clifford A. 2008. Archimedes to Hawking: Laws of Science and the Great Minds Behind Them. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-533611-5.

Δείτε επίσης

• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Στοιχεία του Ευκλείδη
• Ευκλείδειος χώρος
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Μιγαδικός αριθμός
• τοπολογικος ισομορφισμός
• Παραβολή (γεωμετρία)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Πάππος ο Αλεξανδρεύς
• Κέντρο μάζας
• Τετραγωνισμός παραβολής
• Διαβήτης (όργανο)
• Περί σφαίρας και κυλίνδρου
• Αρχή του Αρχιμήδη
• Κέντρο βάρους
• Εγγεγραμμένος και Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι τριγώνου
• Κωνική τομή
• Παραλληλόγραμμο
• Οινοπίδης ο Χίος

Παραπομπές

• R. Boeker, 'Neusis', in: Paulys Realencyclopädie der Classischen Altertumswissenschaft, G. Wissowa red. (1894–), Supplement 9 (1962) 415–461.–In German. The most comprehensive survey; however, the author sometimes has rather curious opinions.
• T. L. Heath, A history of Greek Mathematics (2 volumes; Oxford 1921).
• H. G. Zeuthen, Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum [= The Theory of Conic Sections in Antiquity] (Copenhagen 1886; reprinted Hildesheim 1966).

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Euclid’s elements of geometry - The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885) Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Όστιν
• Τα οπτικά του Ευκλείδη Διδακτορική Διατριβή - ΕΑΔΔ
• “Αρχιμήδους Βιβλίο Λημμάτων” – Πραγματεία του Νικολάου Λ. Κεχρή Ανοιχτή βιβλιοθήκη
• Virtual book about Archimedes Chris Rorres - Drexel University
• A History of Greek Mathematics, Τόμος 1
• A History of Greek Mathematics: Τόμος 2
• Advanced Euclidean Geometry
• Methods for Euclidean Geometry.
• The Beginnings and Evolution of Algebra ...Neusis page 25
• Exploring Classical Greek Construction Problems with Interactive Geometry ...Neusis page 23 ...
• From the Beginning to Plato: Routledge History of Philosophy Volume 1..., page 301
• Pappus of Alexandria: Book 4 of the Collection: Edited With Translation and ... page 231"
• From the Beginning to Plato: Routledge History of Philosophy Volume 1. page 309...
• Tangled Origins Of The Leibnizian Calculus, The: A Case Study Of A ...: ..page 274
• A History of Kinematics from Zeno to Einstein: On the Role of Motion in the .... -Neusis construction, page 40....
• Unipotent and Nilpotent Classes in Simple Algebraic Groups and Lie Algebras..

Πηγές

• Knorr, Wilbur Richard (1 Ιανουαρίου 1993). The Ancient Tradition of Geometric Problems. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-67532-9. 
• Alsina, Claudi· Nelsen, Roger B. (30 Ιανουαρίου 2023). A Panoply of Polygons. American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-7184-2. 
• Brunschwig, Jacques· Lloyd, Geoffrey Ernest Richard (2000). Greek Thought: A Guide to Classical Knowledge. Harvard University Press. ISBN 978-0-674-00261-6. 
• http://planetmath.org/ArchimedesCalculus